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# 数学代写|泛函分析代写Functional Analysis代考|MATH3402 The Classical Banach Spaces

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## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Sequence Spaces

Besides the finite-dimensional spaces $\mathbb{K}^{d}$, perhaps the simplest examples of Banach spaces are provided by the class of sequence spaces. By definition, these are spaces of sequences which, endowed with a suitable norm, turn into Banach spaces. Here we introduce the most important sequence spaces, viz. $c_{0}$ and $\ell^{p}, 1 \leqslant p \leqslant \infty$.

The Spaces $c_{0}$ and $\ell^{\infty}$ The space $c_{0}$ consisting of all scalar sequences $a=\left(a_{k}\right){k \geqslant 1}$ satisfying $\lim {k \rightarrow \infty} a_{k}=0$ is a Banach space with respect to the supremum norm
$$|a|_{\infty}:=\sup {k \geqslant 1}\left|a{k}\right| .$$
A justification of this notation is given in the next paragraph. That this is indeed a norm is left as an exercise; the proof of completeness runs as follows. Suppose $\left(a^{(n)}\right){n \geqslant 1}$ is a Cauchy sequence in $c{0}$. Then each coordinate sequence $\left(a_{k}^{(n)}\right){n \geqslant 1}$ is Cauchy in $\mathbb{K}$ and therefore has a limit which we denote by $a{k}$. We wish to prove that the sequence $a:=\left(a_{k}\right){k \geqslant 1}$ belongs to $c{0}$ and that $\lim {n \rightarrow \infty}\left|a^{(n)}-a\right|{\infty}=0$.

Fix $\varepsilon>0$ and choose $N$ so large that $\left|a^{(n)}-a^{(m)}\right|_{\infty}<\varepsilon$ for all $m, n \geqslant N$. Choose $N^{\prime}$ so large that $\left|a_{k}^{(N)}\right|<\varepsilon$ for all $k \geqslant N^{\prime}$. Then, for $k \geqslant N^{\prime}$,
$$\left|a_{k}\right| \leqslant\left|a_{k}-a_{k}^{(N)}\right|+\left|a_{k}^{(N)}\right|=\lim {m \rightarrow \infty}\left|a{k}^{(m)}-a_{k}^{(N)}\right|+\left|a_{k}^{(N)}\right| \leqslant \varepsilon+\varepsilon=2 \varepsilon .$$
It follows that $\lim {k \rightarrow \infty}\left|a{k}\right|=0$, so $a \in c_{0}$.

## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Spaces of Continuous Functions

It is a standard result in any introductory course in Analysis that the uniform limit of a sequence of continuous functions is continuous. The following theorem recasts this result as a completeness result.

Theorem $2.2$ (Completeness). Let $K$ be a compact topological space. The space $C(K)$ is a Banach space with respect to the supremum norm
$$|f|_{\infty}:=\sup _{x \in K}|f(x)| .$$
The elementary verification that this is indeed a norm is left to the reader. The above supremum is finite (and actually a maximum) since $K$ is compact.

Proof Suppose that $\left(f_{n}\right){n \geqslant 1}$ is a Cauchy sequence in $C(K)$. Then for each $x \in K$, $\left(f{n}(x)\right){n \geqslant 1}$ is a Cauchy sequence in $\mathbb{K}$ and therefore convergent to some limit in $\mathbb{K}$ which we denote by $f(x)$. We will prove that the function $f$ thus defined is continuous and that $\lim {n \rightarrow \infty}\left|f_{n}-f\right|_{\infty}=0$.

Fix $\varepsilon>0$ and choose $N \geqslant 1$ so large that $\left|f_{n}-f_{m}\right|_{\infty}<\varepsilon$ for all $m, n \geqslant N$. Then in particular for all $m, n \geqslant N$ and all $x \in K$ we have $\left|f_{n}(x)-f_{m}(x)\right|<\varepsilon$. Passing to the limit $m \rightarrow \infty$ while keeping $n$ fixed we obtain
$$\left|f_{n}(x)-f(x)\right| \leqslant \varepsilon .$$

## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Sequence Spaces

$$|a|{\infty}:=\sup k \geqslant 1|a k| .$$ 下一段给出了这种表示法的理由。这确实是一种规范，留作练习；完整性证明如下。认为 $\left(a^{(n)}\right) n \geqslant 1$ 是一个柯西序列 $c 0$. 然后每 个坐标序列 $\left(a{k}^{(n)}\right) n \geqslant 1$ 柯西在吗㢟因此有一个限制，我们表示为 $a k$. 我们希望证明序列 $a:=\left(a_{k}\right) k \geqslant 1$ 属于 $c 0$ 然后 $\lim n \rightarrow \infty\left|a^{(n)}-a\right| \infty=0$

$$\left|a_{k}\right| \leqslant\left|a_{k}-a_{k}^{(N)}\right|+\left|a_{k}^{(N)}\right|=\lim m \rightarrow \infty\left|a k^{(m)}-a_{k}^{(N)}\right|+\left|a_{k}^{(N)}\right| \leqslant \varepsilon+\varepsilon=2 \varepsilon .$$

## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Spaces of Continuous Functions

$$|f|{\infty}:=\sup {x \in K}|f(x)| .$$

$$\left|f_{n}(x)-f(x)\right| \leqslant \varepsilon .$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。