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# 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|KMA254 GAMMA AND BETA FUNCTIONS

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## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|GAMMA AND BETA FUNCTIONS

The real Gamma function is defined by
$$\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty} e^{-t} t^{x-1} d t \quad \text { for } x>0$$
We note that for $x \leq 0$ the above infinite integral does not exist. Now the complex function represented by the integral
$$\int_{0}^{\infty} e^{-t} t^{z-1} d t$$
where the principal value of $\vec{t}^{-1}$ is taken, is analytic in the right half-plane $\operatorname{Re}{z}>0$ and coincides with $\Gamma(x)$ on the positive real axis and hence is the only such analytic function by the identity theorem for analytic functions, and we define
$$\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty} e^{-t} t^{z-1} d t \quad \text { for } \operatorname{Re}{z}>0$$
where the principal value of $t^{-1}$ is taken.
Consider the contour integral
$$\int e_{C}^{t} t^{z-1} d t$$

## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|LINEAR DEPENDENCE OF ANALYTIC FUNCTIONS

We shall here discuss the concept of linear dependence of a finite set of analytic functions.

A finite set of analytic functions $f_{1}(z), f_{2}(z), \ldots, f_{n}(z)$, all defined in a given open region $R$, is said to be linearly dependent if constants $c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{n}$, not all 0 , can be found such that
$$c_{1} f_{1}(z)+c_{2} f_{2}(z)+\ldots+c_{n} f_{n}(z)=0 \text { in } R$$
and linearly independent if otherwise, i.e. if the above relation holds and $f_{1}(z), f_{2}(z), \ldots, f_{n}(z)$ are linearly independent, then $c_{1}=c_{2}=\ldots=c_{n}=0$.

A useful criterion of linear dependence of a set of analytic functions may be obtained in terms of Wronskian of the functions defined as follows.

The Wronskian of the functions $f_{1}(z), f_{2}(z), \ldots f_{n}(z)$, to be denoted by $\Delta\left(f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{n}\right)$ and defined by
(4.1)
$$\Delta\left(f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{n}\right)=\left|\begin{array}{cccc} f_{1} & f_{2} & \ldots & f_{n} \ f_{1}^{\prime} & f_{2}^{\prime} & \ldots & f_{n}^{\prime} \ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \ f_{1}^{(n-1)} & f_{2}^{(n-1)} & \ldots & f_{n}^{(n-1)} \end{array}\right|$$

# 常微分方程代写

## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|GAMMA AND BETA FUNCTIONS

$$\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty} e^{-t} t^{x-1} d t \quad \text { for } x>0$$

$$\int_{0}^{\infty} e^{-t} t^{z-1} d t$$

$$\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty} e^{-t} t^{z-1} d t \quad \text { for } \operatorname{Re} z>0$$

$$\int e_{C}^{t} t^{z-1} d t$$

## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|LINEAR DEPENDENCE OF ANALYTIC FUNCTIONS

$$c_{1} f_{1}(z)+c_{2} f_{2}(z)+\ldots+c_{n} f_{n}(z)=0 \text { in } R$$

(4.1)定义

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。