Posted on Categories:Atomic and Molecular Physics, 原子物理, 物理代写

# 物理代写|原子物理代考Atomic and Molecular Physics代考|CSIR2022 A remark

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## 物理代写|原子物理代考Atomic and Molecular Physics代考|A remark

The combination of the orthogonality and completeness of a set of eigenfunctions allows one to work out a functional representation of the $\delta$-Dirac function ${ }^{5}$

$$\sum_{n} \Psi_{n}^{*}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \Psi_{n}(\mathbf{r})=\delta\left(\mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r}\right)$$
which will prove very useful in many practical quantum mechanical calculations.

## 物理代写|原子物理代考Atomic and Molecular Physics代考|Commuting properties

The picture so far elaborated makes it clear that when a wavefunction is simultaneously eigenfunction of two different operators, then both the corresponding observables have well defined values in that state. This is not at all a trivial conclusion, deserving full explanation.

Assuming a discrete non-degenerate spectrum for both $\hat{F}$ and $\hat{G}$ operators, let $\Psi_{n}$ be a wavefunction such that
\begin{aligned} &\hat{F} \Psi_{n}=f_{n} \Psi_{n} \rightarrow \hat{G} \hat{F} \Psi_{n}=f_{n} \hat{G} \Psi_{n}=f_{n} g_{n} \Psi_{n} \ &\hat{G} \Psi_{n}=g_{n} \Psi_{n} \rightarrow \hat{F} \hat{G} \Psi_{n}=g_{n} \hat{F} \Psi_{n}=g_{n} f_{n} \Psi_{n} \end{aligned}
$$(\hat{G} \hat{F}-\hat{F} \hat{G}) \Psi_{n}=\left(f_{n} g_{n}-g_{n} f_{n}\right) \Psi_{n}=0$$
or, equivalently: $[\hat{G}, \hat{F}]=0$. Therefore: if two physical quantities have well-defined values for a system in a given state, then the corresponding operators commute.
The opposite is true as well. Let us suppose that
$$[\hat{G}, \hat{F}]=0 \quad \text { with } \hat{G} \Psi_{n}=g_{n} \Psi_{n}$$
$$\hat{F}\left(\hat{G} \Psi_{n}\right)=\hat{G}\left(\hat{F} \Psi_{n}\right)=g_{n}\left(\hat{F} \Psi_{n}\right)$$
proving that $\hat{F} \Psi_{n}$ is in fact eigenfunction of $\hat{G}$ with eigenvalue $g_{n}$. Since the assumed features of the spectrum, $\hat{F} \Psi_{n}$ should differ from $\Psi_{n}$ to within a suitable multiplicative factor that, for further convenience, we label $f_{n}$ and formally it holds
$$\hat{F} \Psi_{n}=f_{n} \Psi_{n} .$$
In conclusion, if two operators commute, then there exists a common set of eigenfunctions.

## 物理代写|原子物理代考Atomic and Molecular Physics代考|A remark

$$\sum_{n} \Psi_{n}^{*}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \Psi_{n}(\mathbf{r})=\delta\left(\mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r}\right)$$

## 物理代写|原子物理代考Atomic and Molecular Physics代考|Commuting properties

$$\hat{F} \Psi_{n}=f_{n} \Psi_{n} \rightarrow \hat{G} \hat{F} \Psi_{n}=f_{n} \hat{G} \Psi_{n}=f_{n} g_{n} \Psi_{n} \quad \hat{G} \Psi_{n}=g_{n} \Psi_{n} \rightarrow \hat{F} \hat{G} \Psi_{n}=g_{n} \hat{F} \Psi_{n}=g_{n} f_{n} \Psi_{n}$$

$$(\hat{G} \hat{F}-\hat{F} \hat{G}) \Psi_{n}=\left(f_{n} g_{n}-g_{n} f_{n}\right) \Psi_{n}=0$$

$$[\hat{G}, \hat{F}]=0 \quad \text { with } \hat{G} \Psi_{n}=g_{n} \Psi_{n}$$

$$\hat{F}\left(\hat{G} \Psi_{n}\right)=\hat{G}\left(\hat{F} \Psi_{n}\right)=g_{n}\left(\hat{F} \Psi_{n}\right)$$

$$\hat{F} \Psi_{n}=f_{n} \Psi_{n} .$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。