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# 数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|MATH2022 Characterization of Extensions

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## 数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Characterization of Extensions

In Chapter 19 , we saw that every element in the field $Q(\sqrt{2})$ has the particularly simple form $a+b \sqrt{2}$, where $a$ and $b$ are rational. On the other hand, the elements of $Q(\pi)$ have the more complicated form
$$\left(a_n \pi^n+a_{n-1} \pi^{n-1}+\cdots+a_0\right) /\left(b_m \pi^m+b_{m-1} \pi^{m-1}+\cdots+b_0\right),$$
where the a’s and $b$ ‘s are rational. The fields of the first type have a great deal of algebraic structure. This structure is the subject of this chapter.
Definition Types of Extensions
Let $E$ be an extension field of a field $F$ and let $a \in E$. We call a algebraic over $F$ if $a$ is the zero of some nonzero polynomial in $F[x]$. If $a$ is not algebraic over $F$, it is called transcendental over $F$. An extension $E$ of $F$ is called an algebraic extension of $F$ if every element of $E$ is algebraic over $F$. If $E$ is not an algebraic extension of $F$, it is called a transcendental extension of $F$. An extension of $F$ of the form $F(a)$ is called a simple extension of $F$.

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Let $E$ be an extension field of the field $F$ and let $a \in E$. If a is transcendental over $F$, then $F(a) \approx F(x)$. If a is algebraic over $F$, then $F(a) \approx F[x] /\langle p(x)\rangle$, where $p(x)$ is a polynomial in $F[x]$ of minimum degree such that $p(a)=0$. Moreover, $p(x)$ is irreducible over $F$.

PROOF Consider the homomorphism $\phi: F[x] \rightarrow F(a)$ given by $f(x) \rightarrow f(a)$. If $a$ is transcendental over $F$, then $\operatorname{Ker} \phi={0}$, and so we may extend $\phi$ to an isomorphism $\bar{\phi}: F(x) \rightarrow F(a)$ by defining $\bar{\phi}(f(x) / g(x))=f(a) / g(a)$.

If $a$ is algebraic over $F$, then $\operatorname{Ker} \phi \neq{0}$; and, by Theorem 16.5, there is a polynomial $p(x)$ in $F[x]$ such that $\operatorname{Ker} \phi=\langle p(x)\rangle$ and $p(x)$ has minimum degree among all nonzero elements of $\operatorname{Ker} \phi$. Thus, $p(a)=0$ and, since $p(x)$ is a polynomial of minimum degree with this property, it is irreducible over $F$.

## 数学代写|抽象代数代写抽象代数代考|扩展的表征

$$\left(a_n \pi^n+a_{n-1} \pi^{n-1}+\cdots+a_0\right) /\left(b_m \pi^m+b_{m-1} \pi^{m-1}+\cdots+b_0\right),$$
，其中a和$b$是有理的。第一种类型的域具有大量的代数结构。这个结构是本章的主题。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。