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# 物理代写|粒子物理代写Particle Physics代考|PHYS125 The group SU(3)

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## 物理代写|粒子物理代写Particle Physics代考|The group SU(3)

In this chapter we shall describe the main properties of the group $S U(3)$ and its representations. As will become clear in the following chapters, $S U(3)$ is related to a symmetry of fundamental importance in particle physics. Here we shall present its mathematical structure.
$S U(3)$ is the group which is isomorphic to that of unitary $3 \times 3$ matrices of determinant equal to $+1$. Thus, the general element $u$ satisfies the conditions
$$u^{\dagger} u=\mathbf{1}=u u^{\dagger} \text { and } \operatorname{det} u=1$$
and, consequently, is characterised by eight real parameters.

## 物理代写|粒子物理代写Particle Physics代考|The representations of $\mathbf SU(3) The representations of$\mathbf{S U ( 3 )}$. To construct the irreducible representations of$S U(3)$and the corresponding Clebsch-Gordan decomposition rules, we shall follow the tensor method used for$S U(2)$. Modulo a few special features of$S U(2)$and the combinatoric complications as we move on to higher groups and representations, the method is applicable to all members of the unitary series and even beyond. • The trivial (singlet) representation 1. As usual, this is the representation in which all elements of the group are represented by the number 1 . • The defining (3) representation. Three complex quantities$\psi^i, i=1,2,3$, are said to be the components of a triplet (3) of$S U(3)$, if they transform according to $$\psi^{i^{\prime}}=u_j^i \psi^i \quad\left(\psi^{\prime}=u \psi\right) \forall u \in S U(3)$$ • The conjugate$\overline{\mathbf{3}}$of the defining representation. Three complex quantities$\chi_i, i=1,2,3$, are defined to be the components of an anti-triplet$\overline{\mathbf{3}}$of$S U(3)$, if they transform according to $$\chi_i^{\prime}=u_i^{\dagger j} \chi_j \quad\left(\chi^{\prime}=\chi u^{\dagger}\right) \forall u \in S U(3)$$ An immediate consequence of this definition is that, if$\psi^i$is a triplet, the complex conjugates$\psi^{i^*}$form an anti-triplet, since then,$\psi^{\dagger}$, whose components are exactly the$\psi^{i *}$, indeed transform according to${\psi^{\prime}}^{\prime}=\psi^{\dagger} u^{\dagger}$. Thus, the consistent notation of the components of$\psi^{\dagger}$is$\psi_i^{\dagger}$with one lower index. Also, notice that given two triplets$\psi$and$\chi$, the quantities$\psi^{\dagger} \chi=\psi^{i *} \chi^i$and its Hermitian conjugate$\chi^{\dagger} \psi$are invariant (singlets) under$S U(3)$. ## 粒子物理代写 ## 物理代写|粒子物理代写Particle Physics代考|The group SU(3) 在本章中，我们将描述组的主要属性$S U(3)$及其表示。正如在以下章节中将变得清楚的那样，$S U(3)$与粒子物理学中具有根本重 要性的对称性有关。这里我们将介绍它的数学结构。$S U(3)$是与酉同构的群$3 \times 3$行列式矩阵等于$+1$. 因此，一般元龶$u$满足条件 $$u^{\dagger} u=\mathbf{1}=u u^{\dagger} \text { and } \operatorname{det} u=1$$ 因此，其特征在于八个实参数。 ## 物理代写|粒子物理代写Particle Physics代考|The representations of \$\mathbf $\mathrm{SU}(3)$

• 平凡 (单线态) 表示 1 . 像往常一样，这是组中所有元表都由数字 1 表示的表示。
• 定义 (3) 表示。三复数 $\psi^i, i=1,2,3$, 被称为是三元组 (3) 的组成部分 $S U(3)$, 如果他们根据
$$\psi^{i^{\prime}}=u_j^i \psi^i \quad\left(\psi^{\prime}=u \psi\right) \forall u \in S U(3)$$
• 共轭 $\overline{\mathbf{3}}$ 的定义表示。三西数 $\chi_i, i=1,2,3$, 被定义为反三元組的分量 $\overline{\mathbf{3}}$ 的 $S U(3)$ ，如果他们根据
$$\chi_i^{\prime}=u_i^{\dagger j} \chi_j \quad\left(\chi^{\prime}=\chi u^{\dagger}\right) \forall u \in S U(3)$$
这个定义的直接结果是，如果 $\psi^i$ 是三元组，里共轭 $\psi^{i^*}$ 形成一个反三元组，从那时起， $\psi^{\dagger}$ ，其分量恰好是 $\psi^{i *}$ ，确实根据 $\psi^{\prime \prime}=\psi^{\dagger} u^{\dagger}$. 因此，组件的一致表示法 $\psi^{\dagger}$ 是 $\psi_i^{\dagger}$ 个较低的指数。
另外，请注意给定两个三元组 $\psi$ 和 $\chi$, 数量 $\psi^{\dagger} \chi=\psi^{i *} \chi^i$ 及其厄米特共轭 $\chi^{\dagger} \psi$ 在下是不变的（单线态) $S U(3)$.

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