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# 数学代写|随机分析代写Stochastic Analysis in Finance代考|MATH4512 Zero-one Laws and Dichotomies

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## 数学代写|随机分析代写Stochastic Analysis in Finance代考|Zero-one Laws and Dichotomies

An important property of Gaussian measures is the so called $0-1$ law which asserts that certain sets of special form may have measure only 0 or 1 (see [21] for proofs).

Theorem 6.1. Let $\gamma$ be a Radon Gaussian measure on a locally convex space $X$.
(i) For every $\gamma$-measurable affine subspace $L \subset X$ we have either $\gamma(L)=0$ or $\gamma(L)=1$.
(ii) Let $\left{e_n\right}$ be an orthonormal basis in $H(\gamma)$ and let a $\gamma$-measurable set $E$ be such that, for every $n$ and every rational number $r$, the sets $E$ and $E+$ re $e_n$ coincide up to a set of measure zero. Then either $\gamma(E)=0$ or $\gamma(E)=1$. In particular, this is true if a $\gamma$-measurable set $E$ is invariant with respect to the shifts by vectors re ${ }_n$.

Another classical alternative in the theory of Gaussian measure is the Hajek-Feldman theorem on equivalence and singularity.

Theorem 6.2. Let $\mu$ and $\nu$ be Radon Gaussian measures on the same space. Then either $\mu \sim \nu$ or $\mu \perp \nu$.
One more important fact is the following Fernique theorem.
Theorem 6.3. Let $\gamma$ be a centered Radon Gaussian measure and let a $\gamma$-measurable function $q$ be a seminorm on a $\gamma$-measurable linear subspace of full measure. Then $\exp \left(\varepsilon q^2\right) \in L^1(\gamma)$ for some $\varepsilon>0$.

## 数学代写|随机分析代写Stochastic Analysis in Finance代考|The Ornstein–Uhlenbeck Semigroup

Let $\gamma$ be a centered Radon Gaussian measure on a locally convex space $X$; as usual, one can assume that this is the standard Gaussian measure on $\mathbb{R}^{\infty}$. The Ornstein-Uhlenbeck semigroup is defined by the formula
$$T_t f(x)=\int_X f\left(e^{-t} x-\sqrt{1-e^{-2 t}} y\right) \gamma(d y), \quad f \in \mathcal{L}^p(\gamma)$$
A simple verification of the fact that $\left{T_t\right}_{t \geq 0}$ is a strongly continuous semigroup on all $L^p(\gamma), 1 \leq p<\infty$, can be found in [21]; the semigroup property means that
$$T_{t+s} f=T_s T_s f, \quad t, s \geq 0 .$$

An important feature of this semigroup is that the measure $\gamma$ is invariant for it, that is,
$$\int_X T_t f(x) \gamma(d x)=\int_X f(x) \gamma(d x) .$$

## 数学代写|随机分析代写金融中的随机分析代考| 0 – 1定律和二分法

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(i) For every $\gamma$-可测仿射子空间 $L \subset X$ 我们有两个 $\gamma(L)=0$ 或 $\gamma(L)=1$.
(ii)让 $\left{e_n\right}$ 中的一组标准正交基 $H(\gamma)$ 让一个 $\gamma$可测集 $E$ 要这样，对每一个人 $n$ 每个有理数 $r$，集合 $E$ 和 $E+$ re $e_n$ 重合到一组度量为零的值。那么要么 $\gamma(E)=0$ 或 $\gamma(E)=1$。特别地，如果a $\gamma$可测集 $E$ 对于向量re的位移是不变的吗 ${ }_n$.

## 数学代写|随机分析代写金融中的随机分析代考| Ornstein-Uhlenbeck半群

$$T_t f(x)=\int_X f\left(e^{-t} x-\sqrt{1-e^{-2 t}} y\right) \gamma(d y), \quad f \in \mathcal{L}^p(\gamma)$$

$$T_{t+s} f=T_s T_s f, \quad t, s \geq 0 .$$

$$\int_X T_t f(x) \gamma(d x)=\int_X f(x) \gamma(d x) .$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。