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# 数学代写|泛函分析代写Functional Analysis代考|MATH567 The Radon–Nikody´m Theorem

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If $f: \Omega \rightarrow \mathbb{K}$ is integrable with respect to the measure $\mu$, then the $\mathbb{K}$-valued measure
$$v(F):=\int_F f \mathrm{~d} \mu, \quad F \in \mathscr{F},$$
is absolutely continuous with respect to $\mu$, that is, $\mu(F)=0$ implies $v(F)=0$. The following theorem provides a converse under a $\sigma$-finiteness assumption.

Theorem 2.46 (Radon-Nikodým). Let $(\Omega, \mathscr{F}, \mu)$ be a $\sigma$-finite measure space. If the measure $v: \mathscr{F} \rightarrow \mathbb{K}$ is absolutely continuous with respect to $\mu$, then there exists a unique $g \in L^1(\Omega, \mu)$ such that
$$v(F)=\int_F g \mathrm{~d} \mu, \quad F \in \mathscr{F} .$$
Proof Uniqueness being clear, the proof is devoted to proving existence. By considering real and imaginary parts separately it suffices to consider the case of real scalars. Then, decomposing $v$ into positive and negative parts via the Jordan decomposition, it suffices to consider the case where $v$ is a finite nonnegative measure.
Consider the set
$$S:=\left{f \in L^1(\Omega, \mu): f \geqslant 0, \int_F f \mathrm{~d} \mu \leqslant v(F) \text { for all } F \in \mathscr{F}\right} .$$
Then $0 \in S$, so $S$ is nonempty. Let
$$M:=\sup {f \in S} \int{\Omega} f \mathrm{~d} \mu .$$
For all $f \in S$ we have $\int_{\Omega} f \mathrm{~d} \mu \leqslant v(\Omega)$ and therefore $M \leqslant v(\Omega)<\infty$.

## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Integration with Respect to K-Valued Measures

A measurable function $f$ is said to be integrable with respect to a $\mathbb{K}$-valued measure $\mu$ if it is integrable with respect to $|\mu|$. The function $f$ is integrable with respect to a real measure $\mu$ if and only if it is integrable with respect to the measures $\mu^{+}$and $\mu^{-}$, where $\mu=\mu^{+}-\mu^{-}$is the Jordan decomposition, and $f$ is integrable with respect to a complex measure $\mu$ if and only if $f$ is integrable with respect to the real and imaginary parts of $\mu$.

The integral of an integrable function $f$ with respect to a real measure $\mu$ is defined by
$$\int_{\Omega} f \mathrm{~d} \mu:=\int_{\Omega} f \mathrm{~d} \mu^{+}-\int_{\Omega} f \mathrm{~d} \mu^{-},$$
and the integral of an integrable function $f$ with respect to a complex measure $\mu$ by
$$\int_{\Omega} f \mathrm{~d} \mu:=\int_{\Omega} f \mathrm{~d} \operatorname{Re} \mu+i \int_{\Omega} f \mathrm{~d} \operatorname{Im} \mu .$$
Proposition 2.49. If $f$ is integrable with respect to a $\mathbb{K}$-valued measure $\mu$, then
$$\left|\int_{\Omega} f \mathrm{~d} \mu\right| \leqslant \int_{\Omega}|f| \mathrm{d}|\mu| .$$
Proof First let $f=\sum_{n=1}^N c_n \mathbf{1}{F_n}$ be a simple function, with the sets $F_n \in \mathscr{F}$ disjoint. Then $$\left|\int{\Omega} f \mathrm{~d} \mu\right|=\left|\sum_{n=1}^N c_n \mu\left(F_n\right)\right| \leqslant \sum_{n=1}^N\left|c_n\right|\left|\mu\left(F_n\right)\right| \leqslant \sum_{n=1}^N\left|c_n\right||\mu|\left(F_n\right)=\int_{\Omega}|f| \mathrm{d}|\mu|$$

## 泛函分析代写

$$v(F):=\int_F f \mathrm{~d} \mu, \quad F \in \mathscr{F},$$

$$v(F)=\int_F g \mathrm{~d} \mu, \quad F \in \mathscr{F} .$$

〈left 的分隔符缺失或无法识别

$$M:=\sup f \in S \int \Omega f \mathrm{~d} \mu .$$

## 数学代写泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Integration with Respect to K-Valued Measures

$$\int_{\Omega} f \mathrm{~d} \mu:=\int_{\Omega} f \mathrm{~d} \mu^{+}-\int_{\Omega} f \mathrm{~d} \mu^{-},$$

$$\int_{\Omega} f \mathrm{~d} \mu:=\int_{\Omega} f \mathrm{~d} \operatorname{Re} \mu+i \int_{\Omega} f \mathrm{~d} \operatorname{Im} \mu .$$
$$\left|\int_{\Omega} f \mathrm{~d} \mu\right| \leqslant \int_{\Omega}|f| \mathrm{d}|\mu| .$$

$$\left|\int \Omega f \mathrm{~d} \mu\right|=\left|\sum_{n=1}^N c_n \mu\left(F_n\right)\right| \leqslant \sum_{n=1}^N\left|c_n\right|\left|\mu\left(F_n\right)\right| \leqslant \sum_{n=1}^N\left|c_n\right||\mu|\left(F_n\right)=\int_{\Omega}|f| \mathrm{d}|\mu|$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。