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数学代写|随机分析代写Stochastic Analysis in Finance代考|MATH581 Conditional Expectation

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数学代写|随机分析代写Stochastic Analysis in Finance代考|Conditional Expectation

Let $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ be a probability space. Then we have the following.
Theorem 1.3.1 Let $\mathcal{G}$ be a sub- $\sigma$-algebra, and $X$ be a non-negative random variable. Then there exists a non-negative random variable $Y$ satisfying the following two conditions.
(1) $Y$ is G-measurable.
(2) $E[Y, B]=E[X, B]$ for any $B \in \mathcal{G}$.
Moreover, if $Y^{\prime}$ is another non-negative random variable satisfying Conditions
(1) and (2), then $Y^{\prime}=Y$ a.s.
Proof Let $X_n=X \wedge n, n=0,1,2, \ldots$ Since $E\left[X_n^2\right]<\infty$, by Proposition 1.2.3 there are $Y_n \in \mathcal{L}{\mathcal{G}}^2, n=1,2, \ldots$, such that $E\left[Y_n, B\right]=E\left[X_n, B\right]$ for any $B \in \mathcal{G}$. Let $Y_0=0$. Then $Y_0 \in \mathcal{L}{\mathcal{G}}^2$ and $E\left[Y_0, B\right]=E\left[X_0, B\right]=0$ for any $B \in \mathcal{G}$. Let $A_{n, m}=\left{Y_n-Y_m<0\right}$ for $n>m \geqq 0$. Then we see that $A_{n, m} \in \mathcal{G}$. Since $X_n \geqq X_m$, we see that
$$E\left[Y_n-Y_m, A_{n, m}\right]=E\left[X_n-X_m, A_{n, m}\right] \geqq 0 .$$

This shows that $P\left(Y_n-Y_m<0\right)=0, n>m \geqq 0$, and so $P\left(Y_n \geqq Y_m\right)=1$. Let $1_{\Omega_0} Y_n, n=1,2, \ldots$, are non-decreasing sequences of non-negative random variables, we see that for $B \in \mathcal{G}$
$$E[Y, B]=\lim {n \rightarrow \infty} E\left[1{\Omega_0} Y_n, B\right]=\lim {n \rightarrow \infty} E\left[Y_n, B\right]=\lim {n \rightarrow \infty} E\left[X_n, B\right]=E[X, B] .$$
This implies our first assertion.
Suppose that $Y^{\prime}$ is a non-negative random variable satisfying Conditions (1) and (2). Let $A_n=\left{Y^{\prime} \geqq Y+\frac{1}{n}, Y \leqq n\right}, n \geqq 1$. Then we see that $A_n \in \mathcal{G}$ and $E\left[Y, A_n\right]<\infty$. Therefore we see that $$E\left[Y, A_n\right]+\frac{1}{n} P\left(A_n\right) \leqq E\left[Y, A_n\right]+E\left[Y^{\prime}-Y, A_n\right]=E\left[Y^{\prime}, A_n\right]=E\left[X, A_n\right]=E\left[Y, A_n\right] .$$ This implies that $P\left(A_n\right)=0$. Note that $$\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n=\left{Y^{\prime}>Y\right}$$

数学代写|随机分析代写Stochastic Analysis in Finance代考|Jensen’s Inequality for Conditional Expectations

Definition 1.4.1 Let $-\infty \leqq a<b \leqq \infty$. We say that $\varphi:(a, b) \rightarrow \mathbf{R}$ is a convex function, if
$$\varphi(\lambda x+(1-\lambda) y) \leqq \lambda \varphi(x)+(1-\lambda) \varphi(y)$$
for any $x, y \in(a, b)$ and $\lambda \in[0,1]$.
Proposition 1.4.1 Let $-\infty \leqq a<b \leqq \infty$, and $\varphi:(a, b) \rightarrow \mathbf{R}$ be a convex function. Then we have the following.
(1) $\varphi:(a, b) \rightarrow \mathbf{R}$ is a continuous function.
(2) For any $x \in(a, b)$, there is $c \in \mathbf{R}$ such that
$$\varphi(y) \geqq \varphi(x)+c(y-x), \quad y \in(a, b) .$$
We give the proof of Proposition 1.4.1 in Appendix 8.2.
Corollary 1.4.1 Let $\varphi: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ be a convex function. Then there are $\left(a_n, b_n\right) \in$ $\mathbf{R} \times \mathbf{R}, n=1,2, \ldots$, such that
$$\varphi(x)=\sup _n\left(a_n x+b_n\right), \quad x \in \mathbf{R} .$$
Proof By Proposition 1.4.1, we see that there is $c_z \in \mathbf{R}$ for any $z \in \mathbf{Q}$ such that
$$\varphi(x) \geqq \varphi(z)+c_z(x-z), \quad x \in \mathbf{R}$$

数学代写|随机分析代写Stochastic Analysis in Finance代考|Conditional Expectation

(1) $Y$ 是 G 可测量的。
(2) $E[Y, B]=E[X, B]$ 对于任何 $B \in \mathcal{G}$.

$$E\left[Y_n-Y_m, A_{n, m}\right]=E\left[X_n-X_m, A_{n, m}\right] \geqq 0 .$$

$$E[Y, B]=\lim n \rightarrow \infty E\left[1 \Omega_0 Y_n, B\right]=\lim n \rightarrow \infty E\left[Y_n, B\right]=\lim n \rightarrow \infty E\left[X_n, B\right]=E[X, B] .$$

$$E\left[Y, A_n\right]+\frac{1}{n} P\left(A_n\right) \leqq E\left[Y, A_n\right]+E\left[Y^{\prime}-Y, A_n\right]=E\left[Y^{\prime}, A_n\right]=E\left[X, A_n\right]=E\left[Y, A_n\right] .$$

〈left 的分隔符缺失或无法识别

数学代写|随机分析代写Stochastic Analysis in Finance代考|Jensen’s Inequality for Conditional Expectations

$$\varphi(\lambda x+(1-\lambda) y) \leqq \lambda \varphi(x)+(1-\lambda) \varphi(y)$$

(1) $\varphi:(a, b) \rightarrow \mathbf{R}$ 是一个连续函数。
(2) 对于任何 $x \in(a, b)$ ，有 $c \in \mathbf{R}$ 这样
$$\varphi(y) \geqq \varphi(x)+c(y-x), \quad y \in(a, b) .$$

$$\varphi(x)=\sup _n\left(a_n x+b_n\right), \quad x \in \mathbf{R} .$$

$$\varphi(x) \geqq \varphi(z)+c_z(x-z), \quad x \in \mathbf{R}$$

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。