如果你也在 怎样代写数论Number theory MAST90136个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory（或旧时的算术或高等算术）是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯（1777-1855）说：”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象（例如有理数）或定义为整数的概括（例如代数整数）的属性。
数论Number theory整数既可以被视为本身，也可以被视为方程的解（刁藩几何）。数论中的问题通常最好通过研究分析对象（例如黎曼Zeta函数）来理解，这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性（分析数论）。人们也可以研究实数与有理数的关系，例如，由后者逼近的实数（Diophantine逼近）。
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数学代写|数论代写Number Theory代考|Fermat’s Theorem for Prime Moduli
A first immediate question is, Can we reduce an exponent which is larger than a given modulus $n$ in the same way we can reduce numbers in the base, that is, by dividing by $n$ and taking the remainder? This turns out to be not true, and here is a simple example:
Example 5.1. Question: What is $2^9$ modulo 5 ?
Correct solution method: $2^9=512$, and $512(\bmod 5)=2$.
Incorrect solution method: Reducing the exponent 9 modulo 5 gives a new exponent of $4.2^4=16$ and $16(\bmod 5)=1$, which evidently is wrong!
Hence we see that in general we cannot reduce exponents by the modulus the way we can do with numbers in the base. This is an issue we need to deal with since we could be asked to compute, say, $2^{90}$ modulo 5 . Surely there is a better and faster way to obtain this least non-negative residue than to multiply out the value $2^{90}$ (which, by the way is a number with 28 decimal digits). Fortunately, there is indeed a reduction method for exponents, which we asked you in Problem $4.17$ to form a conjecture about by looking at data. It may help to look back at that problem now.
数学代写|数论代写Number Theory代考|Euler’s Function and Euler’s Theorem
Working about a century after Fermat, Euler saw a way to generalize Fermat’s Theorem to congruences involving an arbitrary modulus $n$. The key idea was to find what quantity with respect to $n$ is the analog of $p-1$ in Fermat’s Theorem. To this end, Euler introduced a function which takes in a positive integer $n$ and returns the number of elements in the range ${1,2, \ldots, n}$ which are relatively prime to $n$. He denoted this function using the Greek letter phi ( $\phi$, pronounced “phee”), so it is often referred to as “the Euler $\phi$ function” as well as “Euler’s Function.” We note immediately that if $p$ is prime, then $\phi(p)=p-1$ since every non-zero element of $\mathbb{Z}_p$ is relatively prime to $p$. This function will be the key to generalizing Fermat’s Theorem to arbitrary moduli. Let us look at some examples.
Example 5.4. (a) It is easy to check that $\phi(2)=1, \phi(3)=2$, $\phi(4)=2, \phi(5)=4, \phi(6)=2, \phi(7)=6, \phi(8)=4, \phi(9)=6$, $\phi(10)=4$, and so on.
(b) Computing $\phi(20)$, we have that the non-zero elements of $\mathbb{Z}_{20}$ which are relatively prime to 20 are ${1,3,7,9,11,13,17,19}$, so $\phi(20)=8$. Looking ahead to our next result, let us observe that whereas $\phi(4) \phi(5)=2 \cdot 4=8=\phi(20), \phi(2) \phi(10)=1 \cdot 4=4 \neq$ $\phi(20)$. This is resulting from the fact that 4 and 5 are relatively prime, but 2 and 10 are not.
(c) Computing $\phi(120)$ “by hand” would be possible but difficult. The next theorem tells us how to break down a “$\phi$-calculation” into smaller parts.
Our next theorem tells us how compute Euler’s Function for any positive integer $n$ by computing it for each of $n$ ‘s prime-power factors and then multiplying these answers together. This is what we did in Example 5.4, Part (b) by computing $\phi\left(2^2\right)$ and $\phi(5)$ to get $\phi(20)$ Again, the key is that 4 and 5 are relatively prime.
Theorem 5.3. (a) If $p$ is prime and if $k$ is a positive integer exponent, then
$$
\phi\left(p^k\right)=p^k-p^{k-1}=p^{k-1}(p-1) .
$$
(b) If $m_1$ and $m_2$ are relatively prime, then $\phi\left(m_1 m_2\right)=\phi\left(m_1\right) \phi\left(m_2\right)$.
数论代写
数学代写数论代写Number Theory代考|Fermat’s Theorem for Prime Moduli
第一个直接的问题是，我们可以咸少大于给定模数的指数吗拟以同样的方式，我们可以咸少基数中的数字，即除以 $n$ 并采取其余 的? 事实证明这不是真的，这里有一个简单的例子:
例 5.1。问: 什么是 $2^9$ 模 5 ?
正确的解决方法: $2^9=512 ＼mathrm{~ ， 和 ~} 512(\bmod 5)=2$.
不正确的求解方法: 将指数 9 模 5 减少得到新的指数 $4.2^4=16$ 和 $16(\bmod 5)=1$ ，这显然是错误的!
因此我们看到，一般来说，我们不能像处理基数中的数字那样通过模数来减少指数。这是一个我们需要处理的问题，因为我们可能 会被要求计算，比如说， $2^{90}$ 模 5 。肯定有一种更好更快的方法来获得这个最小的非负残差，而不是乘以这个值 $2^{90}$ (顺便说一
下，这是一个 28 位十进制数字的数字)。幸运的是，确实有一种椷少指数的方法，我们在问题中问过你 $4.17$ 通过龺看数据来形成 一个猜想。现在回顾一下这个问题可能会有所邦助。
数学代写数论代写Number Theory代考|Euler’s Function and Euler’s Theorem
在费马之后大约一个世纪的工作，欧拉发现了一种将费马定理推广到涉及任意模的同余的方法 $n$. 关键思想是找到相对于 $n$ 是的类比 $p-1$ 在费马定理中。为此，欧拉引入了一个接收正整数的函数 $n$ 并返回范围内的元俦数 $1,2, \ldots, n$ 相对质数 $n$. 他用希腊字母 phi 为每个非零元挈 $\mathbb{Z}p$ 相对质数 $p$. 这个函数将是将费马定理堆广到任意槻的关键。让我们看一些例子。 例 5.4。 $(\mathrm{a}$ ）很容易检荁 $\phi(2)=1, \phi(3)=2, \phi(4)=2, \phi(5)=4, \phi(6)=2, \phi(7)=6, \phi(8)=4, \phi(9)=6, \phi(10)=4$ ， 等等。 (b) 计算 $\phi(20)$ ，我们有非零元溸 $\mathbb{Z}{20}$ 与 20 互质的是 $1,3,7,9,11,13,17,19$ ，所以 $\phi(20)=8$. 展望我们的下一个结果，让我 们观察一下，而 $\phi(4) \phi(5)=2 \cdot 4=8=\phi(20), \phi(2) \phi(10)=1 \cdot 4=4 \neq \phi(20)$. 这是因为 4 和 5 互质，但 2 和 10 不是。
(c) 计算 $\phi(120)$ “手工”是可能的，但很困难。下一个定理告诉我们如何分解” $\phi$-计算”分成更小的部分。
我们的下一个定理吾诉我们如何计算任何正整数的欧拉函数 $n$ 通过计算每个 $n$ 的主要功率因数，然后将这些答案相乘。这就是我们 在示例 5.4，部分 (b) 中所做的，通过计算 $\phi\left(2^2\right)$ 和 $\phi(5)$ 要得到 $\phi(20)$ 同样，关键是 4 和 5 互质。
定理 5.3。(a) 如果 $p$ 是拜数，如果 $k$ 是 个正整数指数，那么
$$
\phi\left(p^k\right)=p^k-p^{k-1}=p^{k-1}(p-1) .
$$
(b) 如果 $m_1$ 和 $m_2$ 是相对质数，那么 $\phi\left(m_1 m_2\right)=\phi\left(m_1\right) \phi\left(m_2\right)$.
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。