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# 数学代写|离散数学代写Discrete Mathematics代考|MTH645 Lots of Identities

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## 数学代写|离散数学代写Discrete Mathematics代考|Lots of Identities

There are many interesting relations valid for the Fibonacci numbers. For example, what is the sum of the first $n$ Fibonacci numbers? We have
\begin{aligned} 0 &=0, \ 0+1 &=1, \ 0+1+1 &=2, \ 0+1+1+2 &=4, \ 0+1+1+2+3 &=7, \ 0+1+1+2+3+5 &=12, \ 0+1+1+2+3+5+8 &=20, \ 0+1+1+2+3+5+8+13 &=33 . \end{aligned}
Staring at these numbers for a while, it is not hard to recognize that by adding 1 to the right-hand sides we get Fibonacci numbers; in fact, we get Fibonacci numbers two steps after the last summand. As a formula, we have
$$F_0+F_1+F_2+\cdots+F_n=F_{n+2}-1 .$$
Of course, at this point this is only a conjecture, an unproven mathematical statement we believe to be true. To prove it, we use induction on $n$ (since the Fibonacci numbers are defined by recurrence, induction is the natural and often only proof method at hand).

## 数学代写|离散数学代写Discrete Mathematics代考|A Formula for the Fibonacci Numbers

How large are the Fibonacci numbers? Is there a simple formula that expresses $F_n$ as a function of $n$ ?

An easy way out, at least for the author of a book, is to state the answer right away:
Theorem 4.3.1 The Fibonacci numbers are given by the formula
$$F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right) .$$

Proof. It is straightforward to check that this formula gives the right value for $n=0,1$, and then one can prove its validity for all $n$ by induction.

## 数学代写|离散数学代写Discrete Mathematics代考|Lots of Identities

$0=0,0+1=1,0+1+1=2,0+1+1+2=4,0+1+1+2+3=7,0+1+1+2+3+5=12,0+1+2+3+8=20$

-个式，我们有
$$F_0+F_1+F_2+\cdots+F_n=F_{n+2}-1$$

## 数学代写|离散数学代写Discrete Mathematics代考|A Formula for the FibonacciNumbers

$$F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right) .$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。