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数理逻辑入门Introduction To Mathematical logic在19世纪中期作为数学的一个子领域出现，反映了两个传统的交汇：形式化的哲学逻辑和数学。 “数理逻辑，也被称为’逻辑学’、’符号逻辑’、’逻辑代数’，最近还被简单地称为’形式逻辑’，是在上个世纪过程中借助人工符号和严格的演绎方法阐述的一套逻辑理论。”在这次出现之前，逻辑是与修辞学、计算学、通过三段论和哲学一起研究。20世纪上半叶出现了基本结果的爆发，同时伴随着对数学基础的激烈争论。
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数学代写|数理逻辑入门代写Introduction To Mathematical logic代考|SoUndNESS OF N
We show the soundness and completeness theorems for the proof system $\mathcal{N}$ for FOL. As in the case of PL, soundness is an easy task.
Theorem 11.1 For every $\Gamma \subseteq \mathrm{WFF}{\mathrm{FOL}}, A \in \mathrm{WFF}{\mathrm{FOL}}: \Gamma \vdash_{\mathcal{N}} A \Rightarrow \Gamma \models A$.
Proof. Axioms A0-A3 and MP are the same as for PL and their validity follows from the proof of the soundness Theorem $6.15$ for PL. Validity of A4 was shown in Exercise 9.10.
It suffices to show that $\exists$ I preserves truth, i.e. that $M \models B \rightarrow C$ implies $M \models \exists x B \rightarrow C$ for arbitrary structure $M$ (in particular, one for which $M=\Gamma$ ), provided $x$ is not free in $C$. In fact, it is easier to show the contrapositive implication from $M \not \exists \exists x \rightarrow C$ to $M \not \models$ $B \rightarrow C$. So suppose $M \not \exists x B \rightarrow C$, i.e., $M \not \models_v \exists x B \rightarrow C$ for some
$v$. Then $M=v \exists x B$ and $M \forall_v C$. Hence $M={v[x \mapsto a]} B$ for some
a. Since $M \not \models_v C$ and $x \notin \mathcal{V}(C)$, it follows from Lemma $9.7$ that also $M \not \models_{v[x \mapsto \underline{a}]} C$, hence $M \not \bigoplus_{v[x \mapsto \underline{a}]} B \rightarrow C$, i.e., $M \not \models B \rightarrow C$. QED (11.1)
By the same argument as in Corollary 6.16, every satisfiable FOL theory is consistent or, equivalently, inconsistent FOL theory is unsatisfiable:
Corollary 11.2 $\Gamma \vdash_{\mathcal{N}} \perp \Rightarrow \operatorname{Mod}(\Gamma)=\varnothing$.
Proof. If $\Gamma \vdash_{\mathcal{N}} \perp$ then, by the theorem, $\Gamma \models \perp$, i.e., for any $M: M \models$ $\Gamma \Rightarrow M \models \perp$. But there is no $M$ such that $M \models \perp$, so $\operatorname{Mod}(\Gamma)=\varnothing$.
QED (11.2)
数学代写|数理逻辑入门代写Introduction To Mathematical logic代考|Completeness of $\mathcal{N}$
As in the case of $\mathrm{PL}$, we prove the opposite of Corollary $11.2$, namely, that every consistent FOL-theory is satisfiable. Starting with a consistent theory $\Gamma$, we have to show that there is a model satisfying $\Gamma$. The procedure is thus very similar to the one applied for PL (which you might repeat before reading this section). Its main point was expressed in Lemma 6.18, which has the following counterpart:
Lemma 11.3 The following formulations of completeness are equivalent:
(1) For any $\Gamma \subseteq \mathrm{WFF}{\mathrm{FOL}}: \Gamma H_N \perp \Rightarrow \operatorname{Mod}(\Gamma) \neq \varnothing$ (2) For any $\Gamma \subseteq \mathrm{WFF}{\mathrm{FOL}}: \Gamma \models A \Rightarrow \Gamma \vdash_{\mathcal{N}} A$.
Proof. (1) $\Rightarrow$ (2). Assuming (1) and $\Gamma \models A$, we consider first the special case of a closed $A$. Then $\operatorname{Mod}(\Gamma, \neg A)=\varnothing$ and so $\Gamma, \neg A \vdash_{\mathcal{N}} \perp$ by (1). By Deduction Theorem $\Gamma \vdash_N \neg A \rightarrow \perp$, so $\Gamma \vdash_N A$ by PL.
This result for closed $A$ yields the general version: If $\Gamma \models A$ then $\Gamma \models \forall(A)$ by Fact $9.27$. By the argument above $\Gamma \vdash_N \forall(A)$, and so $\Gamma \vdash_{\mathcal{N}} A$ by Lemma 8.24.(1) and MP.
(2) $\Rightarrow$ (1). This is shown by exactly the same argument as for PL in the proof of Lemma 6.18.
QED (11.3)
数理逻辑入门代写
数学代写|数理逻辑入门代写Introduction To Mathematical logic代 考|SoUndNESS OF N
我们展示了证明系统的可靠性和完备性定理 $\mathcal{N}$ 对于 FOL。与 PL 的情况一样，健全性是一项容易的任务。
定理 $11.1$ 对于每个 $\Gamma \subseteq \mathrm{WFFFOL}, A \in \mathrm{WFFFOL}: \Gamma \vdash_{\mathcal{N}} A \Rightarrow \Gamma \models A$.
证明。公理 $A 0-A 3$ 和 MP 与 $P L$ 相同，它们的有效性来自稳健性定理的证明6.15对于PL。A4 的有效性在练习 $9.10$ 中显示。
足以说明 $\exists$ 我保留真相，即 $M \models B \rightarrow C$ 暗示 $M \models \exists x B \rightarrow C$ 对于任意结构 $M$ (特别是，其中一个 $M=\Gamma$ ），假如 $x$ 不是免费的 $C$. 事实上，更容易显示来自 $M \nexists \exists x \rightarrow C$ 到 $M \not \models B \rightarrow C$. 所以假设 $M \nexists x B \rightarrow C$ ， 那是， $M \not \models_v \exists x B \rightarrow C$ 对于一些
$v$. 然后 $M=v \exists x B$ 和 $M \forall_v C$. 因此 $M=v[x \mapsto a] B$ 对于一些
a. 自从 $M F_v C$ 和 $x \notin \mathcal{V}(C)$ ，它逪循引理 $9.7$ 那也 $M \nvdash_{v[x \mapsto a]} C$ ，因此 $M \bigoplus_{v[x \mapsto a]} B \rightarrow C$ ，那是，
$M \not \models B \rightarrow C$. QED $(11.1)$
通过与推论 $6.16$ 中相同的论证，每个可满足的 FOL 理论都是一致的，或者等效地，不一致的 FOL 理论是不可 满足的:
推论 $11.2 \Gamma \vdash_{\mathcal{N}} \perp \Rightarrow \operatorname{Mod}(\Gamma)=\varnothing$. ，所以 $\operatorname{Mod}(\Gamma)=\varnothing$.
QED (11.2)
数学代写|数理逻辑入门代写Introduction To Mathematical logic代 考|Completeness of $\mathcal{N}$
就像在这种情况下PL，我们证明推论的反面 11.2，即每个一致的 FOL 理论都是可满足的。从一致的理论开始 $\Gamma$ ，我们必须证明有一个模型满足 $\Gamma$. 因此，该过程与申请 PL 的过程非常相似 (您可以在阅读本节之前重复该过 程)。其主要观点在引理 $6.18$ 中表达，引理如下:
引理 $11.3$ 以下完整性公式是等价的:
(1) 对于任何 $\Gamma \subseteq \mathrm{WFFFOL}: \Gamma H_N \perp \Rightarrow \operatorname{Mod}(\Gamma) \neq \varnothing(2)$ 对于任何
$\Gamma \subseteq \mathrm{WFFFOL}: \Gamma \models A \Rightarrow \Gamma \vdash_{\mathcal{N}} A$.
证明。(1) $\Rightarrow(2)$. 假设 (1) 和 $\Gamma \models A$ ，我们首先考虑封闭的特例 $A$. 然后 $\operatorname{Mod}(\Gamma, \neg A)=\varnothing$ 所以 $\Gamma, \neg A \vdash_{\mathcal{N}} \perp$
此结果为关闭 $A$ 产生一般版本: 如果 $\Gamma \models A$ 然后 $\Gamma \models \forall(A)$ 事实上9.27. 通过上面的论证 $\Gamma \vdash_N \forall(A)$ ，所以 $\Gamma \vdash_{\mathcal{N}} A$ 通过引理 8.24. (1) 和 MP。
$(2) \Rightarrow(1)$. 这在引理 $6.18$ 的证明中由与 $P L$ 完全相同的论证表明。
QED (11.3)
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。