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Let $F$ be a field and $g=\sum_{i \geq 0} g_i x^i \in F[[x]]$ with all $g_i \in F$ be a formal power series (Section 25.3). A Padé approximant to $g$ is a rational function $\rho=r / t \in F(x)$, with $r, t \in F[x]$ and $x \nmid t$, that “approximates” $g$ to a sufficiently high power of $x$. More precisely, $r / t$ is a $(\boldsymbol{k}, \boldsymbol{n}-\boldsymbol{k})$-Padé approximant to $g$ if
$$x \nmid t \text { and } \frac{r}{t} \equiv g \bmod x^n, \quad \operatorname{deg} r<k, \quad \operatorname{deg} t \leq n-k ;$$
the congruence is equivalent to $r \equiv \operatorname{tg} \bmod x^n$. Obviously $r=\sum_{0 \leq i<n} g_i x^i$, the Taylor expansion of order $n$ of $g$ around 0 , and $t=1$ is an $(n, 0)$-Padé approximant for each $n \in \mathbb{N}$, but it is not clear whether approximants for $k<n$ exist. A more general question is to ask for Padé approximants around $u$ of a formal power series in $x-u$ for an arbitrary $u \in F$. This may be reduced to (22) by performing the shift of variable $x \longmapsto x+u$.

In numerical analysis, one is interested in approximating arbitrary (sufficiently smooth) real-valued functions by “simple” functions such as polynomials or rational functions. Taylor expansions and Padé approximants provide such approximations in the vicinity of the origin (or any other point, after an appropriate change of variable). As in the case of interpolation, it was observed empirically that sometimes rational functions yield a much smaller approximation error, in particular when the function to be approximated has singularities; see Example 5.23 below.
The similarity with Cauchy interpolation is clear: instead of prescribing the values of $\rho$ at $n$ distinct points $u_0, \ldots, u_{n-1}$, we have $u_0=\cdots=u_{n-1}=0$ and prescribe an initial segment of the Taylor expansion of $\rho$ at $u_0$. Indeed the statements of the previous section carry over almost literally if we replace $m=\left(x-u_0\right) \cdots\left(x-u_{n-1}\right)$ by $m=x^n$. The following is a consequence of Theorem 5.16 .

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Rational number reconstruction

The integer analog of rational function reconstruction is, given integers $m>g \geq 0$ and $k \in{1, \ldots, m}$, to compute a rational number $r / t \in \mathbb{Q}$, with $r, t \in \mathbb{Z}$, such that
$$\operatorname{gcd}(t, m)=1 \text { and } r t^{-1} \equiv g \bmod m, \quad|r|<k, \quad 0 \leq t \leq \frac{m}{k}$$
where $t^{-1}$ is the inverse of $t$ modulo $m$. As in the polynomial case, we will see that the related problem
$$r \equiv t g \bmod m, \quad|r|<k, \quad 0 \leq t \leq \frac{m}{k}$$
is always solvable, while (24) need not have a solution. The uniqueness statements are a bit weaker than in the polynomial case, however. The following lemma is the integer analog of the Uniqueness Lemma 5.15.

LEmMA 5.25. Let $f, g \in \mathbb{N}$ and $r, s, t \in \mathbb{Z}$ with $r=s f+t g$, and suppose that
$$|r|<k \text { and } 0<t \leq \frac{f}{k} \text { for some } k \in{1, \ldots, f}$$
We let $r_i, s_i, t_i \in \mathbb{Z}$ for $0 \leq i \leq \ell+1$ be the results of the traditional Extended Euclidean Algorithm for $f, g$, with $r_i \geq 0$ for all $i$. Moreover, we define $j \in$ ${1, \ldots, \ell+1}$ by
$$r_j<k \leq r_{j-1}$$
and if $j \leq \ell$, we choose $q \in \mathbb{N}{\geq 1}$ such that $$r{j-1}-q r_j<k \leq r_{j-1}-(q-1) r_j$$
and let $q=0$ if $j=\ell+1$. Then there exists a nonzero $\alpha \in \mathbb{Z}$ such that
$$\text { either }(r, s, t)=\left(\alpha r_j, \alpha s_j, \alpha t_j\right) \text { or }(r, s, t)=\left(\alpha r_j^, \alpha s_j^, \alpha t_j^\right) \text {, }$$ where $r_j^=r_{j-1}-q r_j, s_j^=s_{j-1}-q s_j$, and $t_j^=t_{j-1}-q t_j$.

# 现代代数代写

$$x \nmid t \text { and } \frac{r}{t} \equiv g \bmod x^n, \quad \operatorname{deg} r近似值 u 的形式幂级数 x-u 对于任意的 u \in F． 这可以通过执行变量移位减少到(22) x \longmapsto x+u． 在数值分析中，人们感兴趣的是用多项式或有理函数等“简单”函数逼近任意(足够光滑的)实值函数。泰勒展开和帕德帕尔近似在原点附近(或任何其他点，在适当改变变量后)提供了这样的近似。正如在插值的情况下，经验观察到，有时有理函数产生的近似误差要小得多，特别是当要近似的函数具有奇点时;参见下面的例5.23。 与柯西插值的相似之处很明显:我们有u_0=\cdots=u_{n-1}=0，并规定了\rho在u_0的泰勒展开的初始段，而不是规定\rho在n不同点u_0, \ldots, u_{n-1}的值。实际上，如果我们将m=\left(x-u_0\right) \cdots\left(x-u_{n-1}\right)替换为m=x^n，上一节的语句几乎可以逐字保留。下面是定理5.16的一个推论。 ## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Rational number reconstruction 有理数函数重构的整数类比是，给定整数m>g \geq 0和k \in{1, \ldots, m}，用r, t \in \mathbb{Z}计算有理数r / t \in \mathbb{Q}，使得$$
\operatorname{gcd}(t, m)=1 \text { and } r t^{-1} \equiv g \bmod m, \quad|r|<k, \quad 0 \leq t \leq \frac{m}{k}
$$其中t^{-1}是t模m的倒数。在多项式的情况下，我们会看到相关的问题$$
r \equiv t g \bmod m, \quad|r|<k, \quad 0 \leq t \leq \frac{m}{k}
$$是永远可解的，而(24)不必有解。然而，唯一性语句比多项式的情况弱一些。下面的引理是唯一性引理5.15的整数类比。 引理5.25。让f, g \in \mathbb{N}和r, s, t \in \mathbb{Z}等于r=s f+t g，假设$$
|r|<k \text { and } 0<t \leq \frac{f}{k} \text { for some } k \in{1, \ldots, f}
$$我们设r_i, s_i, t_i \in \mathbb{Z}为0 \leq i \leq \ell+1的传统扩展欧几里得算法对f, g的结果，r_i \geq 0为所有i。此外，我们通过定义j \in$${1, \ldots, \ell+1}$$$r_j<k \leq r_{j-1}$$ 如果$j \leq \ell$，我们选择$q \in \mathbb{N}{\geq 1}$使得$$r{j-1}-q r_j<k \leq r_{j-1}-(q-1) r_j$$ 让$q=0$if$j=\ell+1$。那么存在一个非零$\alpha \in \mathbb{Z}$，使得 $$\text { either }(r, s, t)=\left(\alpha r_j, \alpha s_j, \alpha t_j\right) \text { or }(r, s, t)=\left(\alpha r_j^, \alpha s_j^, \alpha t_j^\right) \text {, }$$，其中$r_j^=r_{j-1}-q r_j, s_j^=s_{j-1}-q s_j$和$t_j^=t_{j-1}-q t_j\$。

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