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# 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Measurable sets

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## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Measurable sets

Beginning with this section, we have to require the following
Additional assumptions for the sets $X$ and $M(X)$ :

• We assume $X \subset \mathbb{R}^n$ with the dimension $n \in \mathbb{N}$. Then $X$ becomes a topological space as follows: A subset $A \subset X$ is open (closed) if and only if we have an open (closed) subset $\widehat{A} \subset \mathbb{R}^n$ such that $A=X \cap \widehat{A}$ holds true.
• Furthermore, we assume that the inclusion $C_b^0(X, \mathbb{R}) \subset M(X) \subset C^0(X, \mathbb{R})$ is fulfilled. Here $C_b^0(X, \mathbb{R})$ describes the set of bounded continuous functions. This is valid for our main example 2 . In our main example 1 , this is fulfilled as well if the open set $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ is subject to the following condition:
$$\int_{\Omega} 1 d x<+\infty$$
We see immediately that the function $f_0 \equiv 1, x \in X$ then belongs to the class $M(X)$.

Now we specialize our theory of integration from $\S 2$ to characteristic functions and obtain a measure theory. For an arbitrary set $A \subset X$ we define its characteristic function by
$$\chi_A(x):=\left{\begin{array}{l} 1, x \in A \ 0, x \in X \backslash A \end{array} .\right.$$
Definition 1. A subset $A \subset X$ is called finitely measurable (or alternatively integrable) if its characteristic function satisfies $\chi_A \in L(X)$. We name
$$\mu(A):=I\left(\chi_A\right)$$
the measure of the set $A$ with respect to the integral $I$. The set of all finitely measurable sets in $X$ is denoted by $\mathcal{S}(X)$.

From the additional assumptions above, namely $f_0 \equiv 1 \in M(X)$, we infer $\chi_X \in M(X) \subset L(X)$ and consequently $X \in \mathcal{S}(X)$. Therefore, we speak equivalently of finitely measurable and measurable sets.

## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Measurable functions

Fundamental is the following
Definition 1. The function $f: X \rightarrow \overline{\mathbb{R}}$ is named measurable if the level set above the level $a$ –
$$\mathcal{O}(f, a):={x \in X: f(x)>a}$$
is measurable for all $a \in \mathbb{R}$.
Remark: Each continuous function $f: X \rightarrow \mathbb{R} \in C^0(X, \mathbb{R})$ is measurable. Then $\mathcal{O}(f, a) \subset X$ is an open set for all $a \in \mathbb{R}$, which is measurable due to $\S 3$, Theorem 4. Furthermore, Proposition 4 in $\S 3$ shows us that each function $f \in V(X)$ is measurable as well.

Proposition 1. Let $f: X \rightarrow \overline{\mathbb{R}}$ denote a measurable function. Furthermore, let us consider the numbers $a, b \in \mathbb{\mathbb { R }}$ with $a \leq b$ and the interval $I=[a, b]$; for $a1(f, c):=\mathcal{O}(f, c)={x \in X: f(x)>c} $$are measurable for all c \in \mathbb{R}. For a given c \in \mathbb{R}, we now choose a sequence \left{c_n\right}{n=1,2, \ldots} satisfying c_n \uparrow c, and we obtain again a measurable set via$$ \mathcal{O}2(f, c):={x \in X: f(x) \geq c}=\bigcap{n=1}^{\infty}\left{x \in X: f(x)>c_n\right} . $$The measurable sets \mathcal{S}(X) namely constitute a \sigma-algebra due to \S 3, Definition 2 and Theorem 2. Furthermore, we have the relations$$ \mathcal{O}2(f,+\infty)=\bigcap{n=1}^{\infty} \mathcal{O}2(f, n), \quad \mathcal{O}_1(f,-\infty)=\bigcup{n=1}^{\infty} \mathcal{O}_1(f,-n), $$and these sets are measurable as well. The transition to their complements shows that$$ \mathcal{O}_3(f, c):={x \in X: f(x) \leq c} \quad \text { and } \quad \mathcal{O}_4(f, c):={x \in X: f(x)<c} $$are measurable for all c \in \overline{\mathbb{R}}. Here$$ A:={x \in X: f(x) \in I} $$# 偏微分方程代写 ## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Measurable sets 从本节开始，我们必须要求以下内容 对X和M(X)组的附加假设: 我们假设X \subset \mathbb{R}^n的维度是n \in \mathbb{N}。然后X变成如下拓扑空间:当且仅当我们有一个开(闭)子集\widehat{A} \subset \mathbb{R}^n使得A=X \cap \widehat{A}成立时，子集A \subset X是开(闭)的。 此外，我们假设包含C_b^0(X, \mathbb{R}) \subset M(X) \subset C^0(X, \mathbb{R})已经实现。这里C_b^0(X, \mathbb{R})描述了有界连续函数的集合。这对于我们的主要示例2是有效的。在我们的主要示例1中，如果开放集\Omega \subset \mathbb{R}^n满足以下条件，也可以实现这一点:$$ \int_{\Omega} 1 d x<+\infty $$我们立即看到，函数f_0 \equiv 1, x \in X属于类M(X)。 现在我们将积分理论从\S 2专门化到特征函数，得到一个测度理论。对于任意集合A \subset X，我们定义它的特征函数为$$ \chi_A(x):=\left{\begin{array}{l} 1, x \in A \ 0, x \in X \backslash A \end{array} .\right. $$定义:如果子集A \subset X的特征函数满足\chi_A \in L(X)，则称为有限可测(或可积)子集。我们命名$$ \mu(A):=I\left(\chi_A\right) $$集合A关于积分I的测度。X中所有有限可测集合的集合用\mathcal{S}(X)表示。 从上面的附加假设，即f_0 \equiv 1 \in M(X)，我们推断\chi_X \in M(X) \subset L(X)，因此X \in \mathcal{S}(X)。因此，我们等价地说有限可测集和可测集。 ## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Measurable functions 基本原则如下 定义1。如果水平集高于水平a -，则函数f: X \rightarrow \overline{\mathbb{R}}被命名为可测量的 \mathcal{O}(f, a):={x \in x: f(x)>a} 对于所有a \in \mathbb{R}都是可测量的。 注:C^0(X， \mathbb{R})中的每一个连续函数f: X \rightarrow \mathbb{R} \都是可测的。则\mathcal{O}(f, a) \子集X是\mathbb{R}中所有a \的开集，根据定理4，它是可测的。此外，在 S 3中的命题4告诉我们，在V(X)中的每个函数f 也是可测量的。 命题1。设f: X \rightarrow \overline{\mathbb{R}}表示一个可测函数。更进一步，让我们考虑在\mathbb{\mathbb {R}}中的数字a, b \与a \leq b和区间I=[a, b];for a1(f, c):=\mathcal{O}(f, c)={x \in x: f(x)>c}$$对于所有$c \in \mathbb{R}$都是可测量的。对于给定的$c \in \mathbb{R}$，我们现在选择一个序列$\left{c_n\right}{n=1,2， \ldots}$满足$c_n \ uprow c$，我们通过$$\mathcal{O}2(f, c):={x \in x: f(x) \geq c}=\bigcap{n=1}^{\infty}\left{x \in x: f(x)>c_n\right}再次得到一个可测集合。$ $可测集$\mathcal{S}(X)$即由$\S 3$、定义2和定理2构成$\sigma$-代数。此外，我们有关系$ $\ mathcal {O} 2 (f + \ infty) = \ bigcap {n = 1} ^ {\ infty} \ mathcal {O} 2 (f, n), \四\ mathcal {O} _1 (f – \ infty) = \ bigcup {n = 1} ^ {\ infty} \ mathcal {O} _1 (f – n),$ $这些集合也是可以测量的。向它们的互补体的过渡表明$ $\ mathcal {O} _3 (f、c): = {x在x: \ f (x) \ leq c}{和}\四\ \四\文本mathcal {O} _4 (f、c): = {x在x: \ f (x) < c}$ $对于所有$c \in \overline{\mathbb{R}}$都是可测量的。在这里$ $A:={x \in x: f(x) \in I}$ \$

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。