如果你也在 怎样代写拓扑学Topology 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。拓扑学Topology背后的激励性见解是，一些几何问题并不取决于相关物体的确切形状，而是取决于它们的组合方式。例如，正方形和圆形有许多共同的属性：它们都是一维物体（从拓扑学的角度来看），都把平面分成两部分，即内部和外部。
拓扑学Topology MATH10076拓扑空间是一个被赋予结构的集合，称为拓扑，它允许定义子空间的连续变形，以及更广泛地定义所有种类的连续性。欧几里得空间，以及更一般的，公制空间都是拓扑空间的例子，因为任何距离或公制都定义了一个拓扑结构。拓扑学中所考虑的变形是同构和同形。在这种变形下不变的属性是一种拓扑属性。拓扑学属性的基本例子有：维度，它可以区分线和面；紧凑性，它可以区分线和圆；连通性，它可以区分一个圆和两个不相交的圆。
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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|The geodesic flow and Huygens’ principle
We now make a brief excursion into Riemannian geometry and give a contact geometric interpretation of the so-called geodesic flow on the tangent bundle of a Riemannian manifold. (For a comprehensive treatment of geodesic flows in the context of the theory of dynamical systems see the monograph by Paternain [204]. However, the reader should beware the possible confusion arising from the different definitions used there, which seem to render the main result of the present section tautological.) We also consider the dual flow on the cotangent bundle; here the discussion ties up with the space of contact elements and yields a simple contact geometric proof of Huygens’ principle concerning the propagation of wave fronts.
Proposition/Definition 1.5.1 Let $B$ be a manifold with a Riemannian metric $g$. There is a unique vector field $G$ on the tangent bundle $T B$ whose trajectories are of the form $t \mapsto \dot{\gamma}(t) \in T_{\gamma(t)} B \subset T B$, where $\gamma$ is a geodesic on $B$ (not necessarily of unit speed). This vector field $G$ is called the geodesic field, and its (local) flow the geodesic flow.
Note that the geodesic flow being defined globally (i.e. for all times) is equivalent to saying that $(B, g)$ is a complete Riemannian manifold.
Proof In local coordinates $\left(q_1, \ldots, q_n\right)$ on $B$, geodesics are found as solutions of the system of second-order differential equations
$$
\ddot{q}k+\sum{i, j} \Gamma_{i j}^k \dot{q}i \dot{q}_j=0, k=1, \ldots, n, $$ where the $\Gamma{i j}^k$ are the Christoffel symbols of the Riemannian metric $g$, see any book on Riemannian geometry, e.g. the one by do Carmo [42]. Choose local coordinates on the tangent bundle $T B$ such that
$$
\left(q_1, \ldots, q_n, v_1, \ldots, v_n\right)=\left(\sum_{j=1}^n v_j \partial_{q_j}\right)_{\left(q_1, \ldots, q_n\right)}
$$
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Order of contact
In Proposition 1.5 .12 we saw that an isotropic submanifold in a $(2 n+1)-$ dimensional contact manifold has dimension at most equal to $n$. Thus, in a contact 3-manifold $(M, \xi)$ we can find curves tangent to $\xi$, but no surfaces.
The aim of the present section is to analyse this situation for 3 -manifolds a little more carefully. This will allow us to give an entirely geometric definition of the notion of contact structure, without reference to the exterior derivative of a differential 1-form. I learned this characterisation of contact structures from Jesús Gonzalo.
Consider a 2-plane field $\xi$ on a $3-$ manifold $M$ and an embedded surface $\Sigma \subset M$. Let $(u, v)$ be local coordinates on $\Sigma$ near some point $p=(0,0) \in \Sigma$. Define $\theta(u, v)$ as the angle between the tangent plane $T_{(u, v)} \Sigma$ and the plane $\xi_{(u, v)} \cdot$
Definition 1.6.1 We say that $\xi$ has contact of order at least equal to $k$ with $\Sigma$ at $p=(0,0)$ if $\theta(u, v)$ is a function of type $O\left(|(u, v)|^k\right)$ for $(u, v) \rightarrow(0,0)$, where $O$ denotes the Landau symbol. This means that $\theta(u, v) /|(u, v)|^k$ is bounded above by a constant as $(u, v) \rightarrow(0,0) . \dagger$
Thus, $\xi$ having contact of order at least 1 with $\Sigma$ at $p$ is simply saying that $\xi_p=T_p \Sigma$. Obviously, contact of order equal to $k$ is going to mean that $\theta(u, v)$ is of type $O\left(|(u, v)|^k\right)$, but not of type $O\left(|(u, v)|^{k+1}\right)$. You may want to convince yourself that the order of contact does not depend on the choice of local coordinates on $\Sigma$.
The following theorem gives a characterisation of contact structures on 3manifolds in terms of this notion of contact. I should enter the caveat that the name ‘contact structure’ does not derive from this characterisation, but rather – as mentioned before – from the space of contact elements, which (in the 3-dimensional case) has to do with tangencies of curves.
拓扑学代写
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|The geodesic flow and Huygens’ principle
现在我们对黎曼几何做一个简短的介绍，并给出黎曼流形切线束上所谓的测地线流的接触几何解释。(关于在动力系统理论背景下对测地线流动的全面处理，请参阅Paternain的专著[204]。然而，读者应该注意由于使用的不同定义可能引起的混淆，这似乎使本节的主要结果同义重复。)我们还考虑了余切束上的双重流;这里的讨论与接触单元的空间有关，并给出了惠更斯原理关于波前传播的简单接触几何证明。
1.5.1设$B$为黎曼度规$g$的流形。切线束$T B$上有一个唯一的向量场$G$，其轨迹形式为$t \mapsto \dot{\gamma}(t) \in T_{\gamma(t)} B \subset T B$，其中$\gamma$是$B$上的测地线(不一定是单位速度)。这个向量场$G$称为测地线场，它的(局部)流称为测地线流。
请注意，在全局(即所有时间)定义测地线流相当于说$(B, g)$是一个完整的黎曼流形。
在$B$上的局部坐标$\left(q_1, \ldots, q_n\right)$中，测地线是二阶微分方程组的解
$$
\ddot{q}k+\sum{i, j} \Gamma_{i j}^k \dot{q}i \dot{q}j=0, k=1, \ldots, n, $$其中$\Gamma{i j}^k$是黎曼度规的克里斯托费尔符号$g$，请参阅任何关于黎曼几何的书，例如do Carmo[42]的书。选择切线包$T B$上的本地坐标，这样 $$ \left(q_1, \ldots, q_n, v_1, \ldots, v_n\right)=\left(\sum{j=1}^n v_j \partial_{q_j}\right)_{\left(q_1, \ldots, q_n\right)}
$$
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Order of contact
在命题1.5 .12中，我们看到$(2 n+1)-$维接触流形中的各向同性子流形的维数最多等于$n$。因此，在接触3流形$(M, \xi)$中，我们可以找到与$\xi$相切的曲线，但找不到曲面。
本节的目的是更仔细地分析3 -流形的这种情况。这将使我们能够给出接触结构概念的完全几何定义，而不涉及微分1形式的外导数。我从Jesús Gonzalo那里学到了这种接触结构的特征。
考虑一个$3-$流形$M$上的两平面场$\xi$和一个嵌入式表面$\Sigma \subset M$。设$(u, v)$为$\Sigma$上某点$p=(0,0) \in \Sigma$附近的局部坐标。定义$\theta(u, v)$为切平面$T_{(u, v)} \Sigma$与平面之间的夹角 $\xi_{(u, v)} \cdot$
定义1.6.1如果$\theta(u, v)$是$(u, v) \rightarrow(0,0)$的$O\left(|(u, v)|^k\right)$类型函数，则我们说$\xi$与$\Sigma$在$p=(0,0)$的接触顺序至少等于$k$，其中$O$表示朗道符号。这意味着$\theta(u, v) /|(u, v)|^k$上面有一个常数as $(u, v) \rightarrow(0,0) . \dagger$
因此，$\xi$与$\Sigma$在$p$的顺序至少为1的联系就是简单地说$\xi_p=T_p \Sigma$。显然，阶等于$k$的接触意味着$\theta(u, v)$的类型是$O\left(|(u, v)|^k\right)$，而不是$O\left(|(u, v)|^{k+1}\right)$。您可能想要说服自己，接触的顺序并不取决于$\Sigma$上的本地坐标的选择。
下面的定理给出了3流形上的接触结构在这个接触概念下的表征。我需要说明的是，“接触结构”这个名称并不是来源于这种特征，而是——如前所述——来自接触元素的空间，(在三维情况下)与曲线的切线有关。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。