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数学代写|交换代数代写COMMUTATIVE ALGEBRA代写|MATH765 Primary decomposition

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数学代写|交换代数代写COMMUTATIVE ALGEBRA代写|The nature of the components

The basic insight of E. Noether consisted in starting out with a stronger notion than that of a primary ideal.

Definition 2.6.1. Let $R$ be a ring. An ideal $I \subset R$ is irreducible if it is not the proper intersection of two ideals, that is, whenever there are ideals $I_{1}, I_{2} \subset R$ such that $I=$ $I_{1} \cap I_{2}$, then either $I_{1}=I$ or $I_{2}=I$.

The terminology is inspired from the classical case of an irreducible polynomial. Noether showed the following.
Lemma 2.6.2. Let $R$ denote a Noetherian ring. Then:
(1) (Satz II) Any ideal is the intersection of a finite set of irreducible ideals.
(2) (Satz VI) An irreducible ideal is primary.
Proof. (1) Assume the assertion is false, so the family of ideals of $R$ for which the assertion fails has a maximal element $I \subset R$. Since $I$ is not irreducible, one must have an intersection $I=I_{1} \cap I_{2}$ where both factors contain $I$ properly. By the maximality of $I$, both $I_{1}$ and $I_{2}$ must be finite intersections of irreducible ideals, hence so is $I-\mathrm{a}$ contradiction.
(2) Let $I \subset R$ be irreducible, but not primary. By definition, there are elements $a, b \in R$ such that $a b \in I$, but neither $a \in I$ nor $b^{l} \in I$ for every integer $l \geq 1$. Then the ideals $(I, a)$ and $\left(I, b^{l}\right.$ ) (for all $\left.l \geq 1\right)$ contain $I$ properly.

(Primary decomposition). Let $I \subset R$ be an ideal of a Noetherian ring $R$. For any reduced primary decomposition $I=\bigcap_{i=1}^{m} \mathcal{P}{i}$, one has: (a) $\left{\sqrt{\mathcal{P}{1}}, \ldots, \sqrt{\mathcal{P}{m}}\right}=\operatorname{Ass}(R / I)$. (b) For any other reduced primary decomposition $I=\bigcap{i=1}^{m} \mathcal{Q}{i}$, one has $$\left{\mathcal{P}{i} \mid \sqrt{\mathcal{P}{i}} \in \operatorname{Min}(R / I)\right}=\left{\mathcal{Q}{i} \mid \sqrt{\mathcal{Q}{i}} \in \operatorname{Min}(R / I)\right}$$ Proof. Let $I=\bigcap{I} \mathcal{P}{i}$ stand for a reduced primary decomposition and set $P{i}=\mathcal{P}{i}$. (a) Let $P \in \operatorname{Ass}(R / I)$ be an associated prime of $R / I$. Say, $P=I:(\chi)$, for some $\chi \in R \backslash I$ (cf. Definition 2.5.17). Then $P=\bigcap{i}\left(\mathcal{P}{i}:(x)\right)$. Note that $\mathcal{P}{i}:(x)$ is again $P_{i}$-primary if $x \notin \mathcal{P}{i}$, else it is $(1)=R$. Thus, passing to radicals, $P$ is the intersection of a (necessarily, nonempty) finite subset of the set $\left{P{i}\right}_{i}$. Therefore, $P$ must coincide with one of these prime ideals.

数学代写|交换代数代写 COMMUTATIVE ALGEBRA代写|The nature of the components

E. Noether 的基本见解在于从一个比基本理想更强大的概念开始。

(1) (Satz II) 任何理想都是一组有限的不可约理想的交集。
(2) (Satz VI) 一个不可约的理想是首要的。

(2) 让 $I \subset R$ 是不可约的，但不是主要的。根据定义，有元熬 $a, b \in R$ 这样 $a b \in I$, 但两者 都不 $a \in I$ 也不 $b^{l} \in I$ 对于每个整数 $l \geq 1$. 然后是理想 $(I, a)$ 和 $\left(I, b^{l}\right) \quad$ (对所有人 $l \geq 1$ )包 含 $I$ 适当地。

数学代写|交换代数代写 COMMUTATIVE ALGEBRA代写|The Lasker-Noether fundamental theorem

(初级分解) 。 让 $I \subset R$ 成为若特环的理想 $R$. 对于任何简化的初级分解 $I=\bigcap_{i=1}^{m} \mathcal{P}{i},-$ 个有: (a) $\backslash$ left 的分隔符缺失或无法识别 (b) 对于任何其他简化的初级分 解 $I=\bigcap i=1^{m} \mathcal{Q} i$, 一个有 \left 的分隔符袟失或无法识别 证明。让 $I=\bigcap I \mathcal{P}{i}$ 代表简化的初级分解和集合 $P i=\mathcal{P}{\text {i. }}$. (a) 让 $P \in \operatorname{Ass}(R / I)$ 是的关联拜 数 $R / I$. 说， $P=I:(\chi)$ ，对于一些 $\chi \in R \backslash I$ (参见定义 2.5.17) 。然后 $P=\bigcap^{i}\left(\mathcal{P}{i}:(x)\right)$. 注意 $\mathcal{P}{i}:(x)$ 又是 $P{i}-$ 主要的如果 $x \notin \mathcal{P}_{i}$, 否则是 $(1)=R$. 因此，传递 给自由基， $P$ 是集合的（必然是非空的）有限子集的交集
\left 的分隔符笩失或无法识别 所以， $P$ 必须符合这些主要理想之一。

height $P=\operatorname{trdeg} R(S)-\operatorname{trdeg} R(S / P)$,

$$\operatorname{trdeg} R(S)=\operatorname{trdeg} R_{0}\left(S_{0}\right)=\operatorname{dim} S_{0}$$

$$\operatorname{trdeg} R(S / P)=\operatorname{trdeg} R_{0}\left(S_{0} / P S_{0}\right)=\operatorname{dim} S_{0} / P S_{0}$$

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。