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# 物理代考|量子场论代考QUANTUM FIELD THEORY代考|PHYSICS332 Canonical quantization in field theory

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## 物理代考|量子场论代考QUANTUM FIELD THEORY代考|Canonical quantization in field theory

We will now apply the axioms of quantum mechanics to a classical field theory. The result will be a QFT. For the sake of simplicity, we first consider the case of a scalar field $\phi(x)$. We have seen before that, given a Lagrangian density $\mathcal{L}\left(\phi, \partial_{\mu} \phi\right)$, the Hamiltonian can be found once the canonical momentum $\Pi(x)$ is defined:
$$\Pi(x)=\frac{\delta \mathcal{L}}{\delta \partial_{0} \phi(x)}$$
On a given time surface $x_{0}$, the classical Hamiltonian is
$$H=\int d^{3} x\left[\Pi\left(\boldsymbol{x}, x_{0}\right) \partial_{0} \phi\left(\boldsymbol{x}, x_{0}\right)-\mathcal{L}\left(\phi, \partial_{\mu} \phi\right)\right]$$
We quantize this theory by assigning to each dynamical variable of the classical theory a hermitian operator that acts on the Hilbert space of the quantum states of the system. Thus, the field $\hat{\phi}(\boldsymbol{x})$ and the canonical momentum $\widehat{\Pi}(\boldsymbol{x})$ are operators acting on a Hilbert space. These operators obey equal-time canonical commutation relations:
$$[\hat{\phi}(x), \widehat{\Pi}(y)]=i \hbar \delta(x-y)$$

## 物理代考|量子场论代考QUANTUM FIELD THEORY代考|Quantization of the free scalar field theory

We will now quantize the theory of a relativistic scalar field $\phi(x)$. In particular, we consider a free real scalar field $\phi$ whose Lagrangian density is
$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}\left(\partial_{\mu} \phi\right)\left(\partial^{\mu} \phi\right)-\frac{1}{2} m^{2} \phi^{2}$$
The quantum mechanical Hamiltonian $\widehat{H}$ for a free real scalar field is
$$\widehat{H}=\int d^{3} x\left[\frac{1}{2} \widehat{\Pi}^{2}(x)+\frac{1}{2}(\nabla \hat{\phi}(x))^{2}+\frac{1}{2} m^{2} \hat{\phi}^{2}(x)\right]$$
where $\hat{\phi}$ and $\widehat{\Pi}$ satisfy the equal-time commutation relations (in units with $\hbar=c=1$ ):
$$\left[\hat{\phi}\left(x, x_{0}\right), \widehat{\Pi}\left(y, x_{0}\right)\right]=i \delta(x-y)$$
In the Heisenberg representation, $\hat{\phi}$ and $\widehat{\Pi}$ are time-dependent operators, while the states are time independent. The field operators obey the equations of motion:
$$i \partial_{0} \hat{\phi}\left(\boldsymbol{x}, x_{0}\right)=\left[\hat{\phi}\left(\boldsymbol{x}, x_{0}\right), \widehat{H}\right], \quad i \partial_{0} \widehat{\Pi}\left(\boldsymbol{x}, x_{0}\right)=\left[\widehat{\Pi}\left(\boldsymbol{x}, x_{0}\right), \widehat{H}\right]$$

## 物理代考|量子场论代考QUANTUM FIELD THEORY代考|Canonical quantization in field theory

X0，经典哈密顿量是
H=∫d3X[圆周率(X,X0)∂0φ(X,X0)−大号(φ,∂μφ)]

[φ^(X),圆周率^(是)]=一世ℏd(X−是)

## 物理代考|量子场论代考QUANTUM FIELD THEORY代考|Quantization of the free scalar field theory

H^对于一个自由的实标量场是
H^=∫d3X[12圆周率^2(X)+12(∇φ^(X))2+12米2φ^2(X)]
φ^和圆周率^满足等时交换关系（单位为ℏ=C=1 ):
[φ^(X,X0),圆周率^(是,X0)]=一世d(X−是)

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。