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# 物理代写|空气动力学代写Aerodynamics代考|EAS4101 General Formulation

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## 物理代写|空气动力学代写Aerodynamics代考|General Formulation

In contrast to finite difference methods, which approximate the differential operators appearing in a PDE, finite element methods approximate the solution. The approximate trial solution is represented as an expansion in a set of basis functions, which is then inserted in the exact differential equation. Suppose that we wish to solve an equation of the form
$$L u=f .$$
Let $\phi_j$ be a set of independent basis functions. Then we insert a trial solution
$$u_h=\sum_{j=1}^n u_j \phi_j$$
into (3.28) to obtain
$$L u_h-f=r_h,$$
where $r_h$ is the residual error.
The coefficients $u_j$ are now chosen to make the residual error as small as possible. In general there are not enough degrees of freedom to reduce the error to zero, so we try to minimize the error by choosing $u_j$ such that the residual is orthogonal to each of $n$ independent test functions $\psi_i$, yielding the weighted residual equations
$$\left(r_h, \psi_i\right)=\left(L u_h-f, \psi_i\right)=0, \quad i=1, \ldots, n,$$

where $(u, v)$ is an inner product in an appropriate space. Inserting the trial solution, we obtain a linear system of equations for the $n$ unknowns $u_j$. Important properties of the method, such as accuracy, computational cost, and complexity of the formulation, all depend on the choice of basis and test functions.

## 物理代写|空气动力学代写Aerodynamics代考|Galerkin method for the one-dimensional Poisson equation

Consider the one-dimensional Poisson equation
$$u_{x x}=f$$
on a domain from $a$ to $b$ with Dirichlet boundary conditions. This could represent, for example, steady heat conduction with a constant conductivity $\kappa$. The distribution of the temperature $T$ is then governed by
$$\frac{d}{d x} \kappa \frac{d T}{d x}=q(x),$$
where $q$ is the rate of heat input. Then we recover (3.31) with $u=\kappa T, f=q$.
Using the superscript prime to denote differentiation with respect to $x$, the Galerkin method leads to the residual equation
$$\int_a^b u^{\prime \prime} \phi_i d x=\int_a^b f \phi_i d x$$
With a piecewise linear trial solution, the second derivative $u_h^{\prime \prime}$ is not defined at the nodes. However, we can circumvent this difficulty by integrating the residual equation by parts to obtain
$$-\int_a^b u_h^{\prime} \phi_i^{\prime} d x=\int_a^b f \phi_i d x$$

## 物理代写|空气动力学代写空气动力学代考|一般配方

$$L u=f .$$

$$u_h=\sum_{j=1}^n u_j \phi_j$$

$$L u_h-f=r_h,$$
，其中$r_h$是残差。现在选择系数$u_j$是为了使残余误差尽可能小。一般来说，没有足够的自由度来将误差降至零，因此我们试图通过选择$u_j$使残差与$n$独立测试函数$\psi_i$的每个正交来最小化误差，得到加权残差方程
$$\left(r_h, \psi_i\right)=\left(L u_h-f, \psi_i\right)=0, \quad i=1, \ldots, n,$$

，其中$(u, v)$是适当空间中的内积。插入试解，我们得到了$n$未知数$u_j$的线性方程组。该方法的重要性质，如精度、计算成本和公式的复杂性，都取决于基和测试函数的选择

## 物理代写|空气动力学代写空气动力学代考|一维泊松方程的伽略金方法

$$u_{x x}=f$$
。例如，这可以表示具有恒定导电性的稳定热传导$\kappa$。温度的分布$T$由
$$\frac{d}{d x} \kappa \frac{d T}{d x}=q(x),$$

$$\int_a^b u^{\prime \prime} \phi_i d x=\int_a^b f \phi_i d x$$

$$-\int_a^b u_h^{\prime} \phi_i^{\prime} d x=\int_a^b f \phi_i d x$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。