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数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|AMATH352 Compact Variants of Gaussian Elimination

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数值分析Numerical analysis是研究使用数值近似的算法(相对于符号操作)来解决数学分析的问题(区别于离散数学)。它是研究试图寻找问题的近似解而不是精确解的数值方法。数值分析在工程和物理科学的所有领域都有应用,在21世纪还包括生命科学和社会科学、医学、商业甚至艺术领域。目前计算能力的增长使得更复杂的数值分析的使用成为可能,在科学和工程中提供详细和现实的数学模型。数值分析的例子包括:天体力学中的常微分方程(预测行星、恒星和星系的运动),数据分析中的数值线性代数,以及用于模拟医学和生物学中活细胞的随机微分方程和马尔科夫链。

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数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|AMATH352 Compact Variants of Gaussian Elimination

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Compact Variants of Gaussian Elimination

Rather than constructing $L$ and $U$ by using the elimination steps (8.22) to (8.25) of Section $8.2$, it is possible to solve directly for these matrices. The number of operations will be the same as with Gaussian elimination, but there are some advantages to such compact variants of Gaussian elimination.

To illustrate the direct computation of $L$ and $U$, consider the $n=3$ case. Write $A=L U$ as
$$
\left[\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \
a_{21} & a_{22} & a_{23} \
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \
m_{21} & 1 & 0 \
m_{31} & m_{32} & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}
u_{11} & u_{12} & u_{13} \
0 & u_{22} & u_{23} \
0 & 0 & u_{33}
\end{array}\right]
$$
Multiply $L$ and $U$, and match the elements of the product with the corresponding elements in $A$. Doing this for the first row and column of the product yields
$a_{11}=u_{11} \quad a_{12}=u_{12} \quad a_{13}=u_{13}$
$a_{21}=m_{21} u_{11} \quad a_{31}=m_{31} u_{11}$
This gives the first column of $L$ and the first row of $U$. Next, multiply row 2 of $L$ times columns 2 and 3 of $U$, to obtain

$$
a_{22}=m_{21} u_{12}+u_{22} \quad a_{23}=m_{21} u_{13}+u_{23}
$$
These can be solved for $u_{22}$ and $u_{23}$. Next multiply row 3 of $L$ to obtain
$$
\begin{aligned}
&m_{31} u_{12}+m_{32} u_{22}=a_{32} \
&m_{31} u_{13}+m_{32} u_{23}+u_{33}=a_{33}
\end{aligned}
$$
These equations yield values for $m_{32}$ and $u_{33}$, completing the construction of $L$ and $U$. In this process, we must have $u_{11} \neq 0, u_{22} \neq 0$ in order to solve for $L$. There are modifications of the method to avoid this assumption, using pivoting, but we will simply consider those cases where the necessary elements will be nonzero.

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Tridiagonal Systems

When the coefficient matrix $A$ has a special form, it is often possible to simplify Gaussian elimination. We will do this for tridiagonal systems of linear equations.
A system $A x=f$ is called tridiagonal if its matrix has the form
$$
A=\left[\begin{array}{cccccccc}
b_1 & c_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \
a_2 & b_2 & c_2 & 0 & & & 0 \
0 & a_3 & b_3 & c_3 & & & 0 \
\vdots & & \ddots & & & \vdots \
0 & & \cdots & & 0 & a_{n-1} & b_{n-1} & c_{n-1} \
0 & & & & 0
\end{array}\right]
$$
This is called a tridiagonal matrix. Tridiagonal systems occur commonly in solving problems in many different areas of numerical analysis. In Chapter 5, spline function interpolation led to the tridiagonal system in (5.69).

When Gaussian elimination is applied to $A x=f$, most of the multipliers $m_{i k}=0$ and most of the elements of $U$ are also zero. With this in mind, it can be shown that the $L U$ factorization will have the following general form, provided that pivoting is not used.

$$
L U=\left[\begin{array}{lllll}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \
a_2 & 1 & 0 & & 0 \
0 & a_3 & 1 & & \
\vdots & & & \ddots & \vdots \
0 & \cdots & a_n & 1
\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{cccccc}
\beta_1 & c_1 & 0 & & \cdots & 0 \
0 & \beta_2 & c_2 & 0 & & 0 \
\vdots & & \ddots & & \vdots \
0 & & \cdots & & 0 & \beta_n
\end{array}\right]
$$
Multiply in succession each row of $L$ times the various columns of $U$, and then equate the results to the corresponding elements of $A$. This yields
$\beta_1=b_1 \quad: \quad$ row 1 of $L U$
$a_2 \beta_1=a_2, \quad a_2 c_1+\beta_2=b_2 \quad: \quad$ row 2 of $L U$
$a_j \beta_{j-1}=a_j, \quad a_j c_{j-1}+\beta_j=b_j \quad: \quad$ row $j$ of $L U$
for $j=3, \ldots, n$. The reader should check these equations for the first few rows of A.

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|AMATH352 Compact Variants of Gaussian Elimination

数值分析代写

数学代写|数值分析代写数值分析代考|高斯消去的紧致变式


与其使用$8.2$节的消元步骤(8.22)到(8.25)构造$L$和$U$,还不如直接求解这些矩阵。操作的数量将与高斯消去法相同,但这种紧凑的高斯消去法有一些优点


为了说明$L$和$U$的直接计算,考虑$n=3$的情况。将$A=L U$写成
$$
\left[\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \
a_{21} & a_{22} & a_{23} \
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \
m_{21} & 1 & 0 \
m_{31} & m_{32} & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}
u_{11} & u_{12} & u_{13} \
0 & u_{22} & u_{23} \
0 & 0 & u_{33}
\end{array}\right]
$$
$L$与$U$相乘,并将乘积的元素与$A$中相应的元素匹配。对product的第一行和第一列执行此操作将得到
$a_{11}=u_{11} \quad a_{12}=u_{12} \quad a_{13}=u_{13}$
$a_{21}=m_{21} u_{11} \quad a_{31}=m_{31} u_{11}$
这将得到$L$的第一列和$U$的第一行。接下来,将$L$的第2行乘以$U$的第2列和第3列,得到

$$
a_{22}=m_{21} u_{12}+u_{22} \quad a_{23}=m_{21} u_{13}+u_{23}
$$
这些可以解决$u_{22}$和$u_{23}$。接下来乘以$L$的第三行,得到
$$
\begin{aligned}
&m_{31} u_{12}+m_{32} u_{22}=a_{32} \
&m_{31} u_{13}+m_{32} u_{23}+u_{33}=a_{33}
\end{aligned}
$$
这些方程得到了$m_{32}$和$u_{33}$的值,完成了$L$和$U$的构造。在这个过程中,我们必须有$u_{11} \neq 0, u_{22} \neq 0$才能解出$L$。为了避免这种假设,我们对该方法进行了修改,使用了旋转,但我们只考虑必要元素非零的情况

数学代写|数值分析代写数值分析代考|三对角系统


当系数矩阵$A$具有特殊形式时,通常可以简化高斯消去。我们会对三对角线性方程组做这个。
如果系统$A x=f$的矩阵具有
$$
A=\left[\begin{array}{cccccccc}
b_1 & c_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \
a_2 & b_2 & c_2 & 0 & & & 0 \
0 & a_3 & b_3 & c_3 & & & 0 \
\vdots & & \ddots & & & \vdots \
0 & & \cdots & & 0 & a_{n-1} & b_{n-1} & c_{n-1} \
0 & & & & 0
\end{array}\right]
$$
的形式,则系统称为三对角矩阵。三对角系在求解数值分析中许多不同领域的问题时经常出现。在第5章中,样条函数插值得到了(5.69)中的三对角系统


当对$A x=f$应用高斯消去法时,大部分乘数$m_{i k}=0$和$U$的大部分元素也是零。考虑到这一点,可以表明$L U$分解将具有以下一般形式,前提是不使用枢轴转换

$$
L U=\left[\begin{array}{lllll}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \
a_2 & 1 & 0 & & 0 \
0 & a_3 & 1 & & \
\vdots & & & \ddots & \vdots \
0 & \cdots & a_n & 1
\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{cccccc}
\beta_1 & c_1 & 0 & & \cdots & 0 \
0 & \beta_2 & c_2 & 0 & & 0 \
\vdots & & \ddots & & \vdots \
0 & & \cdots & & 0 & \beta_n
\end{array}\right]
$$
将$L$的每一行依次乘以$U$的各列,然后将结果与$A$的相应元素相等。这将产生
$\beta_1=b_1 \quad: \quad$第1行$L U$
$a_2 \beta_1=a_2, \quad a_2 c_1+\beta_2=b_2 \quad: \quad$第2行$L U$
$a_j \beta_{j-1}=a_j, \quad a_j c_{j-1}+\beta_j=b_j \quad: \quad$行$j$$L U$
$j=3, \ldots, n$。读者应该检查a的前几行方程式

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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