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数学代写|组合数学代写Combinatorial Mathematics代考|Existence and non-existence of tight designs
Let $V={1,2, \ldots, v}$, and let $X=\left(\begin{array}{l}V \ d\end{array}\right)$ be the set of $d$-element subsets of $V$. We assume $1 \leq t \leq d \leq \frac{v}{2}$. Let $\left(X,\left{R_i\right}_{0 \leq i \leq d}\right)$ be the Johnson scheme $J(v, d)$. Recall that a 2 -design $Y \subset X$ is tight if $\left.|Y|=m_0+m_1+\cdots+m_e=\sum_{i=0}^e\left(\begin{array}{l}v \ i\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}v \ i-1\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{c}v \ e\end{array}\right)$ holds. In general, a 2e-design $Y$ satisfies the Fisher type inequality $|Y| \geq\left(\begin{array}{l}v \ v\end{array}\right)$. This inequality was first obtained by Petrenjuk [395] for the case $e=2$. Afterwards, Ray-Chaudhuri and Wilson announced that it holds for any $e$ [514]. For the proof, see Ray-Chaudhuri and Wilson [400]. Delsarte (1974) also gave a proof, and as was written in the book of Hiroshi Nagao [366], Noda and Bannai obtained the same result independently in 1972 . If there exists a tight $2 e$-design, by using Theorem 3.16, we can show the following theorem.
Theorem 3.27. If there exists a tight $2 e$-design in the Johnson scheme $J(v, d)$, then all $e$ zeros of the polynomial
$$
\Psi_e(x)=\sum_{i=0}^e(-1)^{e-i} \frac{\left(\begin{array}{c}
v-e \
i
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
k-i \
e-i
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
k-1-i \
e-i
\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}
e \
i
\end{array}\right)}\left(\begin{array}{c}
x \
i
\end{array}\right)
$$
are positive integers. This polynomial $\Psi_e$ is called the Wilson polynomial or the RayChaudhuri-Wilson polynomial.
When $e=1, Y$ is a tight 2-design if and only if $b=v(b=|Y|)$ if and only if $Y$ is a symmetric 2-design (Chapter 1, Section 1.3, Definition 1.37). There exist quite a few symmetric 2-designs and their classification seems to be almost impossible.
When $e=2$, the non-trivial tight 4-designs are the Witt design 4- $(23,7,1)$ and its complementary design 4- $(23,16,52)$ only. (In the latter case, $d \leq \frac{v}{2}$ does not hold.) The classification was started by Noboru Ito $[245,246]$ and was almost completed by Enomoto, Ito, and Noda [179]. To be precise, the classification was completely solved by Bremner [111] and Stroeker [440] by determining a rational integral solution of the Diophantine equation $3 x^4-4 y^4-2 x^2+12 y^2-9=0$, which is related to an elliptic function. In the next subsection, we present the detailed proof by Noda.
数学代写|组合数学代写Combinatorial Mathematics代考|Classiffcation of tight 4-designs in Johnson schemes
Let $(V, \mathcal{B})$ be a tight 4-design in the Johnson scheme $J(v, k)$. Suppose $(V, \mathcal{B})$ is nontrivial. Assume $k \leq \frac{v}{2}$. Note that if $k>\frac{v}{2}$, the complementary design is also a tight 4-design. In this section, we prove the following theorem.
Theorem $3.32$ (Enomoto-Ito-Noda [179]). A non-trivial tight 4-design in the Johnson scheme is the 4- $(23,7,1)$ design or its complementary design 4-(23, 16, 52) only.
Remark 3.33. Noboru Ito $[245,246]$ started the proof of this theorem, and Enomoto, Ito, and Noda (1979) [179] almost completed the proof by correcting errors. In a part of the proof, a number theoretic result on the solution of a Diophantine equation was used (Bremner [111], Stroeker [440]). The proof given here is based on an unpublished note by Ryuzaburo Noda, which was written soon after [179]. We are grateful to Professor Noda, who permits us to use the contents of his note. It is similar to [179] that the problem is transformed into the Diophantine equation. However, compared to the proof combining three papers $[245,246,179]$, this proof is clearer and easier to read.
The proof of Theorem $3.32$ consists of steps $(\mathrm{A})-(\mathrm{K})$.
(A) Let $i, j$ be the cardinalities of intersections of two distinct blocks. Let $i<j$. Then $i, j$ are the roots of the following quadratic equation:
$$
X^2-\left(\frac{2(k-1)(k-2)}{v-3}+1\right) X+\frac{k(k-1)^2(k-2)}{(v-2)(v-3)}=0 .
$$
(B) We have
$$
(v-2)(v-3) \mid 2 k(k-1)(k-2)
$$
Proof. Since $b=\lambda_0=\left(\begin{array}{c}v \ 2\end{array}\right), \lambda_4=\frac{k(k-1)(k-2)(k-3)}{2(v-2)(v-3)}$ is an integer. Therefore, $2 \lambda_4=$ $\frac{k(k-1)(k-2)(k-3)}{(v-2)(v-3)}$ is an integer. On the other hand, by (A), $\frac{k(k-1)^2(k-2)}{(v-2)(v-3)}$ is an integer, and hence $\frac{k(k-1)^2(k-2)}{(v-2)(v-3)}-\frac{k(k-1)(k-2)(k-3)}{(v-2)(v-3)}=\frac{2 k(k-1)(k-2)}{(v-2)(v-3)}$ is also an integer.
组合数学代写
数学代写|组合数学代写组合数学代考|紧密设计的存在与不存在
设$V={1,2, \ldots, v}$，并设$X=\left(\begin{array}{l}V \ d\end{array}\right)$是$V$的$d$ -元素子集的集合。我们假设$1 \leq t \leq d \leq \frac{v}{2}$。让$\left(X,\left{R_i\right}{0 \leq i \leq d}\right)$成为约翰逊计划$J(v, d)$。回想一下，如果$\left.|Y|=m_0+m_1+\cdots+m_e=\sum{i=0}^e\left(\begin{array}{l}v \ i\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}v \ i-1\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{c}v \ e\end{array}\right)$保持不变，则2设计的$Y \subset X$是紧的。一般来说，e-设计$Y$满足Fisher型不等式$|Y| \geq\left(\begin{array}{l}v \ v\end{array}\right)$。Petrenjuk[395]首先在$e=2$的例子中得到了这个不等式。之后，Ray-Chaudhuri和Wilson宣布它适用于任何$e$[514]。关于证明，参见Ray-Chaudhuri和Wilson[400]。Delsarte(1974)也给出了证明，在Hiroshi Nagao[366]的书中，野田佳彦和Bannai在1972年独立得到了同样的结果。如果存在一个紧凑的$2 e$ -design，通过使用定理3.16，我们可以证明以下定理。
定理3.27。如果约翰逊方案$J(v, d)$中存在紧密的$2 e$ -设计，那么多项式
$$
\Psi_e(x)=\sum_{i=0}^e(-1)^{e-i} \frac{\left(\begin{array}{c}
v-e \
i
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
k-i \
e-i
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
k-1-i \
e-i
\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}
e \
i
\end{array}\right)}\left(\begin{array}{c}
x \
i
\end{array}\right)
$$
的所有$e$零都是正整数。这个多项式$\Psi_e$被称为威尔逊多项式或RayChaudhuri-Wilson多项式
当$e=1, Y$是一个紧密的2-设计当且仅当$b=v(b=|Y|)$当且仅当$Y$是一个对称的2-设计(第1章，第1.3节，定义1.37)。存在着相当多的对称2设计，它们的分类似乎几乎是不可能的
当$e=2$时，非琐碎紧密4-设计仅为Witt设计4- $(23,7,1)$及其补充设计4- $(23,16,52)$。(在后一种情况下，$d \leq \frac{v}{2}$不成立。)分类由Noboru Ito $[245,246]$开始，Enomoto、Ito和Noda[179]几乎完成。准确地说，Bremner[111]和Stroeker[440]通过确定与椭圆函数相关的丢番图方程$3 x^4-4 y^4-2 x^2+12 y^2-9=0$的有理积分解，完全解决了分类问题。在下一小节中，我们将展示野田佳彦的详细证明
数学代写|组合数学代写组合数学代考| Johnson方案中紧密的4-设计的分类
让$(V, \mathcal{B})$成为Johnson方案中的一个紧密的4-设计$J(v, k)$。假设$(V, \mathcal{B})$是非平凡的。假设$k \leq \frac{v}{2}$。注意，如果$k>\frac{v}{2}$，补充设计也是一个紧密的4设计。在本节中，我们证明以下定理:
定理$3.32$ (Enomoto-Ito-Noda[179])。Johnson格式中的非琐碎紧4-设计仅是4- $(23,7,1)$设计或其补充设计4-(23,16,52)
备注3.33。Noboru Ito $[245,246]$开始了这个定理的证明，Enomoto, Ito, and Noda(1979)[179]通过修正误差几乎完成了证明。在部分证明中，使用了Diophantine方程解的数论结果(Bremner [111]， Stroeker[440])。这里给出的证据是基于野田龙三郎(Ryuzaburo Noda)的一篇未发表的笔记，它写于[179]之后不久。我们感谢野田佳彦教授，他允许我们使用他的笔记内容。与[179]相似的是，将问题转化为丢番图方程。但是，与三篇论文结合的证明$[245,246,179]$相比，这个证明更清晰，更容易阅读。
定理$3.32$的证明包含步骤$(\mathrm{A})-(\mathrm{K})$ .
(A)设$i, j$为两个不同块的交集的基数。让$i<j$。那么$i, j$是下面的二次方程的根:
$$
X^2-\left(\frac{2(k-1)(k-2)}{v-3}+1\right) X+\frac{k(k-1)^2(k-2)}{(v-2)(v-3)}=0 .
$$
(B)我们有
$$
(v-2)(v-3) \mid 2 k(k-1)(k-2)
$$
的证明。因为$b=\lambda_0=\left(\begin{array}{c}v \ 2\end{array}\right), \lambda_4=\frac{k(k-1)(k-2)(k-3)}{2(v-2)(v-3)}$是一个整数。因此，$2 \lambda_4=$$\frac{k(k-1)(k-2)(k-3)}{(v-2)(v-3)}$是一个整数。另一方面，通过(A)， $\frac{k(k-1)^2(k-2)}{(v-2)(v-3)}$是一个整数，因此$\frac{k(k-1)^2(k-2)}{(v-2)(v-3)}-\frac{k(k-1)(k-2)(k-3)}{(v-2)(v-3)}=\frac{2 k(k-1)(k-2)}{(v-2)(v-3)}$也是一个整数
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。