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计算复杂度Computational Complexity对明确给出的算法的复杂性的研究被称为算法分析，而对问题的复杂性的研究被称为计算复杂性理论。这两个领域都是高度相关的，因为算法的复杂性总是这个算法所解决的问题的复杂性的一个上限。此外，为了设计有效的算法，将特定算法的复杂性与要解决的问题的复杂性进行比较往往是最基本的。另外，在大多数情况下，人们对一个问题的复杂性的唯一认识是它低于已知的最有效算法的复杂性。因此，算法分析和复杂性理论之间有很大的重叠。
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数学代写|计算复杂度代写Computational Complexity代考|Warmup: Expressiveness of boolean formulae
As a warmup for the proof of Lemma $2.12$ we show how to express various conditions using CNF formulae.
EXAMPLE $2.13$
The formula $(a \vee \bar{b}) \wedge(\bar{a} \vee b)$ is in CNF form. It is satisfied by only those values of $a, b$ that are equal. Thus, the formula
$$
\left(x_1 \vee \bar{y}_1\right) \wedge\left(\bar{x}_1 \vee y_1\right) \wedge \cdots \wedge\left(x_n \vee \bar{y}_n\right) \wedge\left(\bar{x}_n \vee y_n\right)
$$
is True if and only if the strings $x, y \in{0,1}^n$ are equal to one another.
Thus, though $=$ is not a standard boolean operator like $\vee$ or $\wedge$, we will use it as a convenient shorthand since the formula $\phi_1=\phi_2$ is equivalent to (in other words, has the same satisfying assignments as $)\left(\phi_1 \vee \overline{\phi_2}\right) \wedge\left(\phi_1 \vee \phi_2\right)$
In fact, CNF formulae of sufficient size can express every Boolean condition, as shown by the following simple claim: (this fact is sometimes known as universality of the operations AND, OR and NOT)
CLAIM $2.14$
For every Boolean function $f:{0,1}^{\ell} \rightarrow{0,1}$ there is an $\ell$-variable CNF formula $\varphi$ of size $\ell 2^{\ell}$ such that $\varphi(u)=f(u)$ for every $u \in{0,1}^{\ell}$, where the size of a CNF formula is defined to be the number of $\wedge / \vee$ symbols it contains.
数学代写|计算复杂度代写Computational Complexity代考|Proof of Lemma 2.12
Let $L$ be an NP language and let $M$ be the polynomial time TM such that that for every $x \in{0,1}^$, $x \in L \Leftrightarrow M(x, u)=1$ for some $u \in{0,1}^{p(|x|)}$, where $p: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ is some polynomial. We show $L$ is polynomial-time Karp reducible to SAT by describing a way to transform in polynomial-time every string $x \in{0,1}^$ into a CNF formula $\varphi_x$ such that $x \in L$ iff $\varphi_x$ is satisfiable.
How can we construct such a formula $\varphi_x$ ? By Claim $2.14$, the function that maps $u \in{0,1}^{p(|x|)}$ to $M(x, u)$ can be expressed as a CNF formula $\psi_x$ (i.e., $\psi_x(u)=M(x, u)$ for every $\left.u \in{0,1}^{p(|x|)}\right)$. Thus a string $u$ such that $M(x, u)=1$ exists if and only if $\psi_x$ is satisfiable. But this is not useful for us, since the size of the formula $\psi_x$ obtained from Claim $2.14$ can be as large as $p(|x|) 2^{p(|x|)}$. To get a smaller formula we use the fact that $M$ runs in polynomial time, and that each basic step of a Turing machine is highly local (in the sense that it examines and changes only a few bits of the machine’s tapes).
In the course of the proof we will make the following simplifying assumptions about the TM M: (1) $M$ only has two tapes: an input tape and a work/output tape and (2) $M$ is an oblivious TM in the sense that its head movement does not depend on the contents of its input tape. In particular, this means that $M$ ‘s computation takes the same time for all inputs of size $n$ and for each time step $i$ the location of $M$ ‘s heads at the $i^{\text {th }}$ step depends only on $i$ and $M$ ‘s input length.
We can make these assumptions without loss of generality because for every $T(n)$-time TM $M$ there exists a two-tape oblivious TM $\tilde{M}$ computing the same function in $O\left(T(n)^2\right)$ time (see Remark $1.10$ and Exercise 8 of Chapter 1). ${ }^4$ Thus in particular, if $L$ is in NP then there exists a two-tape oblivious polynomial-time TM $M$ and a polynomial $p$ such that $x \in L \Leftrightarrow \exists u \in$ ${0,1}^{p(|x|)}$ s.t. $M(x, u)=1$.
The advantage of assuming that $M$ is oblivious is that for any given input length, we can define functions inputpos $(i), \operatorname{prev}(i)$ where inputpos $(i)$ denotes the location of the input tape head at the $i^{\text {th }}$ step and prev $(i)$ denotes the last step before $i$ that $M$ visited the same location on its work tape, see Figure 2.3. ${ }^5$ These values can be computed in polynomial time by simulating $M$ on, say, the all-zeroes input.
计算复杂度代写
数学代写|计算复杂度代写计算复杂度代考|预热:布尔公式的表达
作为引理$2.12$证明的一个热身，我们展示了如何用CNF公式表示各种条件。
EXAMPLE $2.13$
公式$(a \vee \bar{b}) \wedge(\bar{a} \vee b)$为CNF形式。它只能由$a, b$的那些相等的值来满足。因此，当且仅当字符串$x, y \in{0,1}^n$彼此相等时，公式
$$
\left(x_1 \vee \bar{y}_1\right) \wedge\left(\bar{x}_1 \vee y_1\right) \wedge \cdots \wedge\left(x_n \vee \bar{y}_n\right) \wedge\left(\bar{x}_n \vee y_n\right)
$$
为True。因此，尽管$=$不是像$\vee$或$\wedge$那样的标准布尔运算符，但我们将它用作方便的简写，因为公式$\phi_1=\phi_2$等价于(换句话说，具有与$)\left(\phi_1 \vee \overline{\phi_2}\right) \wedge\left(\phi_1 \vee \phi_2\right)$ 相同的令人满意的赋值
事实上，足够大的CNF公式可以表示每一个布尔条件，如下简单声明所示:(这个事实有时被称为AND, OR和NOT操作的普适性)
CLAIM $2.14$
对于每个布尔函数$f:{0,1}^{\ell} \rightarrow{0,1}$都有一个$\ell$变量的CNF公式$\varphi$，其大小为$\ell 2^{\ell}$，这样对于每个$u \in{0,1}^{\ell}$都有$\varphi(u)=f(u)$，其中CNF公式的大小被定义为它包含$\wedge / \vee$符号的数量
数学代写|计算复杂度代写计算复杂度代考|引理证明2.12
设$L$为NP语言，设$M$为多项式时间TM，使得对于每一个$x \in{0,1}^$, $x \in L \Leftrightarrow M(x, u)=1$对于某个$u \in{0,1}^{p(|x|)}$，其中$p: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$是某个多项式。我们通过描述一种方法，在多项式时间内将每个字符串$x \in{0,1}^$转换为CNF公式$\varphi_x$，使得$x \in L$ iff $\varphi_x$是可满足的，从而证明$L$是多项式时间卡普可约为SAT的
我们如何构造这样一个公式$\varphi_x$ ?通过声明$2.14$，将$u \in{0,1}^{p(|x|)}$映射到$M(x, u)$的函数可以表示为CNF公式$\psi_x$(即，$\psi_x(u)=M(x, u)$对应每个$\left.u \in{0,1}^{p(|x|)}\right)$。因此，当且仅当$\psi_x$可满足时，一个字符串$u$使得$M(x, u)=1$存在。但是这对我们没有用处，因为从Claim $2.14$获得的公式$\psi_x$的大小可能与$p(|x|) 2^{p(|x|)}$一样大。为了得到一个更小的公式，我们使用$M$在多项式时间内运行的事实，图灵机的每个基本步骤都是高度局部性的(在这种意义上，它只检查和更改机器磁带的少数位) 在证明过程中，我们将对TM M作以下简化假设:(1) $M$ 只有两个磁带:一个输入磁带和一个工作/输出磁带和(2) $M$ 它的头部运动不依赖于输入磁带的内容，从这个意义上说，它是一个健忘的TM。特别地，这意味着 $M$ 的计算对于所有大小的输入都需要相同的时间 $n$ 对于每个时间步 $i$ 的位置 $M$ 他的头在 $i^{\text {th }}$ 步长只取决于 $i$ 和 $M$ 的输入长度。我们可以在不丧失一般性的情况下做出这些假设，因为对于每一个 $T(n)$时间TM $M$ 存在一种双带无关TM $\tilde{M}$ 计算相同的函数 $O\left(T(n)^2\right)$ 时间(见备注) $1.10$ 和第一章的练习8)。 ${ }^4$ 因此，特别是，如果 $L$ 在NP中，那么存在一个双带无关多项式时间TM $M$ 一个多项式 $p$ 如此这般 $x \in L \Leftrightarrow \exists u \in$ ${0,1}^{p(|x|)}$ s.t。 $M(x, u)=1$.
假设$M$是无关的好处是，对于任何给定的输入长度，我们可以定义函数inputpos $(i), \operatorname{prev}(i)$，其中inputpos $(i)$表示输入磁带头在$i^{\text {th }}$步骤上的位置，prev $(i)$表示$i$之前的最后一步，$M$访问了其工作磁带上的相同位置，参见图2.3。${ }^5$这些值可以通过在全零输入上模拟$M$在多项式时间内计算出来
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。