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交换代数Commutative Algebra换元代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数理论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。与模块化算术有关的考虑导致了估值环的概念。代数场扩展对子环的限制导致了积分扩展和积分封闭域的概念，以及估值环扩展的公理化概念。
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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|The Smooth Complete Intersection Case
We treat the case of using two equations to define a smooth complete intersection. The generalization to an arbitrary number of equations is straightforward.
Let $\mathbf{R}$ be a commutative ring, and $f(\underline{X}), g(\underline{X}) \in \mathbf{R}\left[X_1, \ldots, X_n\right]$. Consider the R-algebra
$$
\mathbf{A}=\mathbf{R}\left[X_1, \ldots, X_n\right] /\langle f, g\rangle=\mathbf{R}\left[x_1, \ldots, x_n\right]=\mathbf{R}[\underline{x}]
$$
The Jacobian matrix of the system of equations $(f, g)$ is
$$
J(\underline{X})=\left[\begin{array}{lll}
\frac{\partial f}{\partial X_1}(\underline{X}) & \cdots & \frac{\partial f}{\partial X_n}(\underline{X}) \
\frac{\partial g}{\partial X_1}(\underline{X}) & \cdots & \frac{\partial g}{\partial X_n}(\underline{X})
\end{array}\right] .
$$
We say that the algebraic manifold $S$ defined by $f=g=0$ is smooth and of codimension 2 if, for every field $\mathbf{K}$ “extension of $\mathbf{R}$ ” and for every point $(\underline{\xi})=$ $\left(\xi_1, \ldots, \xi_n\right) \in \mathbf{K}^n$ satisfying $f(\underline{\xi})=g(\underline{\xi})=0$, then one of the $2 \times 2$ minors of the Jacobian matrix $J_{k, \ell}(\underline{\xi})$, where
$$
J_{k, \ell}(\underline{X})=\left|\begin{array}{ll}
\frac{\partial f}{\partial X_k}(\underline{X}) & \frac{\partial f}{\partial X_{\ell}}(\underline{X}) \
\frac{\partial g}{\partial X_k}(\underline{X}) & \frac{\partial g}{\partial X_{\ell}}(\underline{X})
\end{array}\right|
$$
is nonzero.
By the formal Nullstellensatz, this is equivalent to the existence of polynomials $F, G$ and $\left(B_{k, \ell}\right){1 \leqslant k<\ell \leqslant n}$ in $\mathbf{R}[\underline{X}]$ which satisfy $$ F f+G g+\sum{1 \leqslant k<\ell \leqslant n} B_{k, \ell}(\underline{X}) J_{k, \ell}(\underline{X})=1
$$
Let $b_{k, \ell}=B_{k, \ell}(\underline{x})$ be the image of $B_{k, \ell}$ in $\mathbf{A}$ and $j_{k, \ell}=J_{k, \ell}(\underline{x})$. We therefore have in $\mathbf{A}$
$$
\sum_{1 \leqslant k<\ell \leqslant n} b_{k, \ell} j_{k, \ell}=1
$$
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|The General Case
We treat the case of using $m$ equations to define a smooth manifold of codimension $r$.
Let $\mathbf{R}$ be a commutative ring, and $f_i(\underline{X}) \in \mathbf{R}\left[X_1, \ldots, X_n\right], i=1, \ldots, m$. Consider the $\mathbf{R}$-algebra
$$
\mathbf{A}=\mathbf{R}\left[X_1, \ldots, X_n\right] /\left\langle f_1, \ldots, f_m\right\rangle=\mathbf{R}\left[x_1, \ldots, x_n\right]=\mathbf{R}[\underline{x}]
$$
The Jacobian matrix of the system of equations $\left(f_1, \ldots, f_m\right)$ is
$$
J(\underline{X})=\left[\begin{array}{ccc}
\frac{\partial f_1}{\partial X_1}(\underline{X}) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial X_n}(\underline{X}) \
\vdots & & \vdots \
\frac{\partial f_m}{\partial X_1}(\underline{X}) & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial X_n}(\underline{X})
\end{array}\right] .
$$
We say that the algebraic manifold $S$ defined by $f_1=\cdots=f_m=0$ is smooth and of codimension $r$ if the Jacobian matrix taken in $\mathbf{A}$ is “of rank $r$,” i.e.
every minor of order $r+1$ is zero, and the minors of order $r$ are comaximal
This implies that for every field $\mathbf{K}$ “extension of $\mathbf{R}$ ” and at every point $(\xi) \in \mathbf{K}^n$ of the manifold of the zeros of the $f_i$ ‘s in $\mathbf{K}^n$, the tangent space is of codimension $r$.
If the ring $\mathbf{A}$ is reduced, this “geometric” condition is in fact sufficient (in classical mathematics).
Let $J_{k_1, \ldots, k_r}^{i_1, \ldots, i_r}(\underline{X})$ be the $r \times r$ minor extracted from the rows $i_1, \ldots, i_r$ and from the columns $k_1, \ldots, k_r$ of $J(\underline{X})$, and taken in $\mathbf{A}: j_{k_1, \ldots, k_r}^{i_1, \ldots, i_r}=J_{k_1, \ldots, k_r}^{i_1, \ldots, i_r}(\underline{x})$.
The condition on $r \times r$ minors indicates the existence of elements $b_{k_1, \ldots, k_r}^{i_1, \ldots, i_r}$ of $\mathbf{A}$ such that
$$
\sum_{1 \leqslant k_1<\cdots<k_r \leqslant n, 1 \leqslant i_1<\cdots<i_r \leqslant m} b_{k_1, \ldots, k_r}^{i_1, \ldots, i_r} j_{k_1, \ldots, k_r}^{i_1, \ldots, i_r}=1 .
$$
The $\mathbf{A}$-module of differential forms with polynomial coefficients on $S$ is
$$
\Omega_{\mathbf{A} / \mathbf{R}}=\left(\mathbf{A} \mathrm{d} x_1 \oplus \cdots \oplus \mathbf{A} \mathrm{d} x_n\right) /\left\langle\mathrm{d} f_1, \ldots, \mathrm{d} f_m\right\rangle \simeq \mathbf{A}^n / \operatorname{Im}^{\mathrm{t}} J
$$
where ${ }^{\mathrm{t}} J={ }^{\mathrm{t}} J(x)$ is the Jacobian matrix transpose (seen in $\left.\mathbf{A}\right)$.
交换代数代写
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|The Smooth Complete Intersection Case
我们处理用两个方程来定义光滑完全交的情况。将其推广到任意数量的方程是很简单的。
设$\mathbf{R}$为交换环，$f(\underline{X}), g(\underline{X}) \in \mathbf{R}\left[X_1, \ldots, X_n\right]$。考虑r代数
$$
\mathbf{A}=\mathbf{R}\left[X_1, \ldots, X_n\right] /\langle f, g\rangle=\mathbf{R}\left[x_1, \ldots, x_n\right]=\mathbf{R}[\underline{x}]
$$
方程系统$(f, g)$的雅可比矩阵是
$$
J(\underline{X})=\left[\begin{array}{lll}
\frac{\partial f}{\partial X_1}(\underline{X}) & \cdots & \frac{\partial f}{\partial X_n}(\underline{X}) \
\frac{\partial g}{\partial X_1}(\underline{X}) & \cdots & \frac{\partial g}{\partial X_n}(\underline{X})
\end{array}\right] .
$$
我们说由$f=g=0$定义的代数流形$S$是光滑的，并且是co维数为2的，如果，对于每一个$\mathbf{K}$“$\mathbf{R}$的扩展”，对于每一个点$(\underline{\xi})=$$\left(\xi_1, \ldots, \xi_n\right) \in \mathbf{K}^n$满足$f(\underline{\xi})=g(\underline{\xi})=0$，则雅可比矩阵$J_{k, \ell}(\underline{\xi})$的$2 \times 2$的一个次元，其中
$$
J_{k, \ell}(\underline{X})=\left|\begin{array}{ll}
\frac{\partial f}{\partial X_k}(\underline{X}) & \frac{\partial f}{\partial X_{\ell}}(\underline{X}) \
\frac{\partial g}{\partial X_k}(\underline{X}) & \frac{\partial g}{\partial X_{\ell}}(\underline{X})
\end{array}\right|
$$
是非零的。
通过形式上的Nullstellensatz，这等价于$\mathbf{R}[\underline{X}]$中满足$$ F f+G g+\sum{1 \leqslant k<\ell \leqslant n} B_{k, \ell}(\underline{X}) J_{k, \ell}(\underline{X})=1
$$的多项式$F, G$和$\left(B_{k, \ell}\right){1 \leqslant k<\ell \leqslant n}$的存在性
设$b_{k, \ell}=B_{k, \ell}(\underline{x})$为$\mathbf{A}$和$j_{k, \ell}=J_{k, \ell}(\underline{x})$中$B_{k, \ell}$的形象。因此我们有 $\mathbf{A}$
$$
\sum_{1 \leqslant k<\ell \leqslant n} b_{k, \ell} j_{k, \ell}=1
$$
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|The General Case
我们处理使用$m$方程来定义余维$r$的光滑流形的情况。
设$\mathbf{R}$为交换环，$f_i(\underline{X}) \in \mathbf{R}\left[X_1, \ldots, X_n\right], i=1, \ldots, m$。考虑$\mathbf{R}$ -代数
$$
\mathbf{A}=\mathbf{R}\left[X_1, \ldots, X_n\right] /\left\langle f_1, \ldots, f_m\right\rangle=\mathbf{R}\left[x_1, \ldots, x_n\right]=\mathbf{R}[\underline{x}]
$$
方程系统$\left(f_1, \ldots, f_m\right)$的雅可比矩阵是
$$
J(\underline{X})=\left[\begin{array}{ccc}
\frac{\partial f_1}{\partial X_1}(\underline{X}) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial X_n}(\underline{X}) \
\vdots & & \vdots \
\frac{\partial f_m}{\partial X_1}(\underline{X}) & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial X_n}(\underline{X})
\end{array}\right] .
$$
如果在$\mathbf{A}$中取的雅可比矩阵是“秩为$r$”，则由$f_1=\cdots=f_m=0$定义的代数流形$S$是光滑的且余维数为$r$。
阶为$r+1$的次项都是零，阶为$r$的次项是极大的
这意味着对于每个字段$\mathbf{K}$“$\mathbf{R}$的扩展”和$\mathbf{K}^n$中$f_i$ ‘s的零点的流形的每个点$(\xi) \in \mathbf{K}^n$，切空间的余维为$r$。
如果环$\mathbf{A}$被约简，这个“几何”条件实际上是充分的(在经典数学中)。
设$J_{k_1, \ldots, k_r}^{i_1, \ldots, i_r}(\underline{X})$为从$J(\underline{X})$的行$i_1, \ldots, i_r$和列$k_1, \ldots, k_r$中提取的$r \times r$，并在$\mathbf{A}: j_{k_1, \ldots, k_r}^{i_1, \ldots, i_r}=J_{k_1, \ldots, k_r}^{i_1, \ldots, i_r}(\underline{x})$中包含。
$r \times r$的子条件表示$\mathbf{A}$的元素$b_{k_1, \ldots, k_r}^{i_1, \ldots, i_r}$的存在，使得
$$
\sum_{1 \leqslant k_1<\cdots<k_r \leqslant n, 1 \leqslant i_1<\cdots<i_r \leqslant m} b_{k_1, \ldots, k_r}^{i_1, \ldots, i_r} j_{k_1, \ldots, k_r}^{i_1, \ldots, i_r}=1 .
$$
在$S$上有多项式系数微分形式的$\mathbf{A}$ -模块
$$
\Omega_{\mathbf{A} / \mathbf{R}}=\left(\mathbf{A} \mathrm{d} x_1 \oplus \cdots \oplus \mathbf{A} \mathrm{d} x_n\right) /\left\langle\mathrm{d} f_1, \ldots, \mathrm{d} f_m\right\rangle \simeq \mathbf{A}^n / \operatorname{Im}^{\mathrm{t}} J
$$
其中${ }^{\mathrm{t}} J={ }^{\mathrm{t}} J(x)$是雅可比矩阵的转置(见$\left.\mathbf{A}\right)$)。
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。
微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。