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物理代考|量子场论代考QUANTUM FIELD THEORY代考|Covariant derivatives
In order not to affect our counting of degrees of freedom, the interactions in the Lagrangian must respect gauge invariance. For example, you might try to add an interaction
$$
\mathcal{L}=\cdots+A_\mu \phi \partial_\mu \phi
$$
but this is not invariant. Under the gauge transformation
$$
A_\mu \phi \partial_\mu \phi \rightarrow A_\mu \phi \partial_\mu \phi+\left(\partial_\mu \alpha\right) \phi \partial_\mu \phi
$$
In fact, it is impossible to couple $A_\mu$ to any field with only one degree of freedom, such as the scalar field $\phi$. We must be able to make $\phi$ transform to compensate for the gauge transformation of $A_\mu$, in order to cancel the $\partial_\mu \alpha$ term. But if there is only one field $\phi$, it has nothing to mix with so it cannot transform.
Thus, we need at least two fields $\phi_1$ and $\phi_2$. It is easiest to deal with such a doublet by putting them together into a complex field $\phi=\phi_1+i \phi_2$, and then to work with $\phi$ and $\phi^{\star}$. Under a gauge transformation, $\phi$ can transform as
$$
\phi \rightarrow e^{-i \alpha(x)} \phi,
$$
which makes $m^2 \phi^{\star} \phi$ gauge invariant. But what about the derivatives? $\left|\partial_\mu \phi\right|^2$ is not invariant.
We can in fact make the kinetic term gauge invariant using something we call a covariant derivative. Adding a conventional constant $e$ to the transformation of $A_\mu$, so $A_\mu \rightarrow A_\mu+$ $\frac{1}{e} \partial_\mu \alpha$, we find
$$
\left(\partial_\mu+i e A_\mu\right) \phi \rightarrow\left(\partial_\mu+i e A_\mu+i \partial_\mu \alpha\right) e^{-i \alpha(x)} \phi=e^{-i \alpha(x)}\left(\partial_\mu+i e A_\mu\right) \phi .
$$
This leads us to define the covariant derivative as
$$
D_\mu \phi \equiv\left(\partial_\mu+i e A_\mu\right) \phi \rightarrow e^{-i \alpha(x)} D_\mu \phi,
$$
which transforms just like the field does. Thus
$$
\mathcal{L}=-\frac{1}{4} F_{\mu \nu}^2+\left(D_\mu \phi\right)^{\star}\left(D_\mu \phi\right)-m^2 \phi^{\star} \phi
$$
is gauge invariant. This is the Lagrangian for scalar QED.
物理代考|量子场论代考QUANTUM FIELD THEORY代考|Gauge symmetries and conserved currents
Symmetries parametrized by a function such as $\alpha(x)$ are called gauge or local symmetries, while if they are only symmetries for constant $\alpha$ they are called global symmetries. For gauge symmetries, we can pick a separate transformation at each point in space-time. A gauge symmetry automatically implies a global symmetry. Global symmetries imply conserved currents by Noether’s theorem. For example, the Lagrangian $\mathcal{L}=-\phi^{\star} \square \phi$ of a free complex scalar field is not gauge invariant, but it does have a symmetry under which $\phi \rightarrow e^{-i \alpha} \phi$ for a constant $\alpha$ and it does have an associated Noether current.
Let us see how the Noether current changes when the gauge field is included. Expanding out the scalar QED Lagrangian, Eq. (8.52), gives
$$
\mathcal{L}=-\frac{1}{4} F_{\mu \nu}^2+\partial_\mu \phi^{\star} \partial_\mu \phi+i e A_\mu\left(\phi \partial_\mu \phi^{\star}-\phi^{\star} \partial_\mu \phi\right)+e^2 A_\mu^2 \phi^{\star} \phi-m^2 \phi^{\star} \phi .
$$
The equations of motion are
$$
\begin{aligned}
\left(\square+m^2\right) \phi & =-2 i e A_\mu \partial_\mu \phi+e^2 A_\mu^2 \phi, \
\left(\square+m^2\right) \phi^{\star} & =2 i e A_\mu \partial_\mu \phi^{\star}+e^2 A_\mu^2 \phi^{\star} .
\end{aligned}
$$
The Noether current associated with the global symmetry for which $\frac{\delta \phi}{\delta \alpha}=-i \phi$ and $\frac{\delta \phi^{\star}}{\delta \alpha}=$ $i \phi^{\star}$ is (using Eq. (3.23))
$$
J_\mu=\sum_n \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\left(\partial_\mu \phi_n\right)} \frac{\delta \phi_n}{\delta \alpha}=-i\left(\phi \partial_\mu \phi^{\star}-\phi^{\star} \partial_\mu \phi\right)-2 e A_\mu \phi^{\star} \phi .
$$
The first term on the right-hand side is the Noether current in the free theory $(e=0)$. You should check this full current is also conserved on the equations of motion.
By the way, you might have noticed that the term in the scalar QED Lagrangian linear in $A_\mu$ is just $-e A_\mu J_\mu$. There is a quick way to see why this will happen in general. Define $\mathcal{L}0$ as the limit of a gauge-invariant Lagrangian when $A\mu=0$ (or equivalently $e=0$ ). $\mathcal{L}0$ will still be invariant under the global symmetry for which $A\mu$ is the gauge field, since $A_\mu$ does not transform when $\alpha$ is constant. If we then let $\alpha$ be a function of $x$, the transformed $\mathcal{L}0$ can only depend on $\partial\mu \alpha$. Thus, for infinitesimal $\alpha(x)$,
$$
\delta \mathcal{L}0=\left(\partial\mu \alpha\right) J_\mu+\mathcal{O}\left(\alpha^2\right)
$$
for some $J_\mu$. For example, in scalar QED with $A_\mu=0, \mathcal{L}0=\left(\partial\mu \phi\right)^{\star}\left(\partial_\mu \phi\right)-m^2 \phi^{\star} \phi$ and
$$
\delta \mathcal{L}0=\left(\partial\mu \alpha\right) J_\mu+\left(\partial_\mu \alpha\right)^2 \phi^{\star} \phi
$$
with $J_\mu$ given by Eq. (8.57). Returning to the general theory, after integration by parts the term linear in $\alpha$ is $\delta \mathcal{L}0=\alpha \partial\mu J_\mu$. Since the variation of the Lagrangian vanishes on the equations of motion for any transformation, including this one parametrized by $\alpha$, we must have $\partial_\mu J_\mu=0$ implying that $J_\mu$ is conserved. In fact, $J_\mu$ is the Noether current, since we have just rederived Noether’s theorem a different way. To make the Lagrangian invariant without using the equations of motion, we can add a field $A_\mu$ with $\delta A_\mu=\partial_\mu \alpha$ and define $\mathcal{L}=\mathcal{L}0-A\mu J_\mu$ so that
$$
\delta \mathcal{L}=\mathcal{L}0-\delta A\mu J_\mu=\left(\partial_\mu \alpha\right) J_\mu-\left(\partial_\mu \alpha\right) J_\mu=0 .
$$
量子场论代考
物理代考|量子场论代考QUANTUM FIELD THEORY代考|Covariant derivatives
为了不影响自由度的计算，拉格朗日函数中的相互作用必须尊重规范不变性。例如，您可以尝试添加一个交互
$$
\mathcal{L}=\cdots+A_\mu \phi \partial_\mu \phi
$$
但这不是不变的。在规范变换下
$$
A_\mu \phi \partial_\mu \phi \rightarrow A_\mu \phi \partial_\mu \phi+\left(\partial_\mu \alpha\right) \phi \partial_\mu \phi
$$
事实上，不可能将$A_\mu$与任何只有一个自由度的域耦合，例如标量场$\phi$。我们必须通过$\phi$变换来补偿$A_\mu$的规范变换，从而消去$\partial_\mu \alpha$项。但是如果只有一个场$\phi$，它没有任何东西可以混合，所以它不能变换。
因此，我们至少需要两个字段$\phi_1$和$\phi_2$。处理这样的双重态最简单的方法是将它们放在一个复杂的字段$\phi=\phi_1+i \phi_2$中，然后处理$\phi$和$\phi^{\star}$。在规范变换下，$\phi$可以变换为
$$
\phi \rightarrow e^{-i \alpha(x)} \phi,
$$
这使得$m^2 \phi^{\star} \phi$规范不变。那么导数呢?$\left|\partial_\mu \phi\right|^2$不是不变的。
实际上我们可以用协变导数使动力学项成为规范不变。对$A_\mu$的变换加上一个常规常数$e$，所以$A_\mu \rightarrow A_\mu+$$\frac{1}{e} \partial_\mu \alpha$，我们发现
$$
\left(\partial_\mu+i e A_\mu\right) \phi \rightarrow\left(\partial_\mu+i e A_\mu+i \partial_\mu \alpha\right) e^{-i \alpha(x)} \phi=e^{-i \alpha(x)}\left(\partial_\mu+i e A_\mu\right) \phi .
$$
这导致我们定义协变导数为
$$
D_\mu \phi \equiv\left(\partial_\mu+i e A_\mu\right) \phi \rightarrow e^{-i \alpha(x)} D_\mu \phi,
$$
就像场一样变换。因此
$$
\mathcal{L}=-\frac{1}{4} F_{\mu \nu}^2+\left(D_\mu \phi\right)^{\star}\left(D_\mu \phi\right)-m^2 \phi^{\star} \phi
$$
是规范不变的。这是标量QED的拉格朗日量。
物理代考|量子场论代考QUANTUM FIELD THEORY代考|Gauge symmetries and conserved currents
由函数(如$\alpha(x)$)参数化的对称称为规范对称或局部对称，而如果它们只是常数$\alpha$的对称，则称为全局对称。对于规范对称，我们可以在时空的每个点上选择一个单独的变换。规范对称自动意味着全局对称。根据诺特定理，全局对称性意味着电流守恒。例如，自由复标量场的拉格朗日量$\mathcal{L}=-\phi^{\star} \square \phi$不是规范不变量，但它确实有一个对称性，在这个对称性下$\phi \rightarrow e^{-i \alpha} \phi$对于常数$\alpha$，它确实有一个相关的诺特电流。
让我们看看当测量场包括在内时，诺特电流是如何变化的。展开标量QED拉格朗日方程(8.52)，得到
$$
\mathcal{L}=-\frac{1}{4} F_{\mu \nu}^2+\partial_\mu \phi^{\star} \partial_\mu \phi+i e A_\mu\left(\phi \partial_\mu \phi^{\star}-\phi^{\star} \partial_\mu \phi\right)+e^2 A_\mu^2 \phi^{\star} \phi-m^2 \phi^{\star} \phi .
$$
运动方程是
$$
\begin{aligned}
\left(\square+m^2\right) \phi & =-2 i e A_\mu \partial_\mu \phi+e^2 A_\mu^2 \phi, \
\left(\square+m^2\right) \phi^{\star} & =2 i e A_\mu \partial_\mu \phi^{\star}+e^2 A_\mu^2 \phi^{\star} .
\end{aligned}
$$
与$\frac{\delta \phi}{\delta \alpha}=-i \phi$和$\frac{\delta \phi^{\star}}{\delta \alpha}=$$i \phi^{\star}$的全局对称性相关的诺特电流(使用公式(3.23))
$$
J_\mu=\sum_n \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\left(\partial_\mu \phi_n\right)} \frac{\delta \phi_n}{\delta \alpha}=-i\left(\phi \partial_\mu \phi^{\star}-\phi^{\star} \partial_\mu \phi\right)-2 e A_\mu \phi^{\star} \phi .
$$
右边的第一项是自由理论$(e=0)$中的诺特电流。你应该检查一下，整个电流在运动方程中也是守恒的。
顺便说一下，你们可能已经注意到标量QED拉格朗日线性方程$A_\mu$中的项就是$-e A_\mu J_\mu$。有一个快速的方法可以了解为什么会发生这种情况。定义$\mathcal{L}0$为规距不变拉格朗日量在$A\mu=0$(或等价于$e=0$)时的极限。$\mathcal{L}0$在以$A\mu$为规范场的全局对称下仍然是不变的，因为$A_\mu$在$\alpha$为常数时不会变换。如果我们让$\alpha$成为$x$的函数，那么转换后的$\mathcal{L}0$只能依赖于$\partial\mu \alpha$。因此，对于无穷小$\alpha(x)$，
$$
\delta \mathcal{L}0=\left(\partial\mu \alpha\right) J_\mu+\mathcal{O}\left(\alpha^2\right)
$$
对一些人来说$J_\mu$。例如，在标量QED中使用$A_\mu=0, \mathcal{L}0=\left(\partial\mu \phi\right)^{\star}\left(\partial_\mu \phi\right)-m^2 \phi^{\star} \phi$和
$$
\delta \mathcal{L}0=\left(\partial\mu \alpha\right) J_\mu+\left(\partial_\mu \alpha\right)^2 \phi^{\star} \phi
$$
由式(8.57)给出$J_\mu$。回到一般理论，在分部积分之后，$\alpha$中的线性项是$\delta \mathcal{L}0=\alpha \partial\mu J_\mu$。由于拉格朗日量的变化在任何变换的运动方程上都消失了，包括这个由$\alpha$参数化的方程，我们必须有$\partial_\mu J_\mu=0$，这意味着$J_\mu$是守恒的。事实上，$J_\mu$是诺特电流，因为我们刚刚用另一种方式重新推导了诺特定理。为了使拉格朗日不变量不使用运动方程，我们可以添加一个场$A_\mu$和$\delta A_\mu=\partial_\mu \alpha$并定义$\mathcal{L}=\mathcal{L}0-A\mu J_\mu$，这样
$$
\delta \mathcal{L}=\mathcal{L}0-\delta A\mu J_\mu=\left(\partial_\mu \alpha\right) J_\mu-\left(\partial_\mu \alpha\right) J_\mu=0 .
$$
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博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。