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交换代数Commutative Algebra代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了交换环的一个重要类别。与模运算相关的考虑导致了估值环的概念。代数域扩展对子域的限制导致了积分扩展和积分闭域的概念以及估值环扩展的分支的概念。
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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Basic definitions
Suppose $(M,+)$ is an abelian group. For any $m \in M$ and any integer $n$, one can make sense of $n \bullet m$. If $n$ is a positive integer, this means $m+\cdots+m$ ( $n$ times); if $n=0$ it means 0 , and if $n$ is negative, then $n \bullet m=-(-n) \bullet m$. Thus we have defined a function $\bullet: \mathbb{Z} \times M \rightarrow M$ which enjoys the following properties: for all $n, n_1, n_2 \in \mathbb{Z}, m, m_1, m_2 \in M$, we have
(ZMOD1) $1 \bullet m=m$.
(ZMOD2) $n \bullet\left(m_1+m_2\right)=n \bullet m_1+n \bullet m_2$.
(ZMOD3) $\left(n_1+n_2\right) \bullet m=n_1 \bullet m+n_2 \bullet m$.
(ZMOD4) $\left(n_1 n_2\right) \bullet m=n_1 \bullet\left(n_2 \bullet m\right)$
It should be clear that this is some kind of ring-theoretic analogue of a group action on a set. In fact, consider the slightly more general construction of a monoid $(M, \cdot)$ acting on a set $S$ : that is, for all $n_1, n_2 \in M$ and $s \in S$, we require $1 \bullet s=s$ and $\left(n_1 n_2\right) \bullet s=n_1 \bullet\left(n_2 \bullet s\right)$.
For a group action $G$ on $S$, each function $g \bullet: S \rightarrow S$ is a bijection. For monoidal actions, this need not hold for all elements: e.g. taking the natural multiplication action of $M=(\mathbb{Z}, \cdot)$ on $S=\mathbb{Z}$, we find that $0 \bullet: \mathbb{Z} \rightarrow{0}$ is neither injective nor surjective, $\pm 1 \bullet: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ is bijective, and for $|n|>1, n \bullet: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ is injective but not surjective.
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Finitely presented modules
One of the major differences between abelian groups and nonabelian groups is that a subgroup $N$ of a finitely generated abelian group $M$ remains finitely generated, and indeed, the minimal number of generators of the subgroup $N$ cannot exceed the minimal number of generators of $M$, whereas this is not true for nonabelian groups: e.g. the free group of rank 2 has as subgroups free groups of every rank $0 \leq r \leq \aleph_0$. (For instance, the commutator subgroup is not finitely generated.)
Since an abelian group is a $\mathbb{Z}$-module and every $R$-module has an underlying abelian group structure, one might well expect the situation for $R$-modules to be similar to that of abelian groups. We will see later that this is true in many but not all cases: an $R$-module is called Noetherian if all of its submodules are finitely generated. Certainly a Noetherian module is itself finitely generated. The basic fact here which we will prove in $\S 8.7$ – is a partial converse: if the ring $R$ is Noetherian, any finitely generated $R$-module is Noetherian. Note that we can already see that the Noetherianity of $R$ is necessary: if $R$ is not Noetherian, then by definition there exists an ideal $I$ of $R$ which is not finitely generated, and this is nothing else than a non-finitely generated $R$-submodule of $R$ (which is itself generated by the single element 1.) Thus the aforementioned fact about subgroups of finitely generated abelian groups being finitely generated holds because $\mathbb{Z}$ is a Noetherian ring.
When $R$ is not Noetherian, it becomes necessary to impose stronger conditions than finite generation on modules. One such condition indeed comes from group theory: recall that a group $G$ is finitely presented if it is isomorphic to the quotient of a finitely generated free group $F$ by the least normal subgroup $N$ generated by a finite subset $x_1, \ldots, x_m$ of $F$.
交换代数代写
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Basic definitions
假设 $(M,+)$ 是一个阿贝尔群。对于任何 $m \in M$ 任意整数 $n$，一个人可以理解 $n \bullet m$． 如果 $n$ 是一个正整数，这意味着 $m+\cdots+m$ （ $n$ times);如果 $n=0$ 它表示0，如果 $n$ 是负的 $n \bullet m=-(-n) \bullet m$． 这样我们就定义了一个函数 $\bullet: \mathbb{Z} \times M \rightarrow M$ 它具有以下特性:对所有人都适用 $n, n_1, n_2 \in \mathbb{Z}, m, m_1, m_2 \in M$，我们有
(zmod1) $1 \bullet m=m$．
(zmod2) $n \bullet\left(m_1+m_2\right)=n \bullet m_1+n \bullet m_2$．
(zmod3) $\left(n_1+n_2\right) \bullet m=n_1 \bullet m+n_2 \bullet m$．
(zmod4) $\left(n_1 n_2\right) \bullet m=n_1 \bullet\left(n_2 \bullet m\right)$
很明显，这是群作用在集合上的某种环理论类比。事实上，考虑一下稍微更一般的单峰构造 $(M, \cdot)$ 在片场表演 $S$ 也就是说，对所有人来说 $n_1, n_2 \in M$ 和 $s \in S$，我们要求 $1 \bullet s=s$ 和 $\left(n_1 n_2\right) \bullet s=n_1 \bullet\left(n_2 \bullet s\right)$．
对于$S$上的组操作$G$，每个函数$g \bullet: S \rightarrow S$都是一个双射。对于一元作用，这并不需要对所有元素都成立:例如，取$M=(\mathbb{Z}, \cdot)$在$S=\mathbb{Z}$上的自然乘法作用，我们发现$0 \bullet: \mathbb{Z} \rightarrow{0}$既不是单射也不是满射，$\pm 1 \bullet: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$是双射，$|n|>1, n \bullet: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$是单射但不是满射。
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Finitely presented modules
阿贝尔群和非阿贝尔群之间的主要区别之一是，有限生成的阿贝尔群$M$的子群$N$仍然是有限生成的，事实上，子群$N$的最小生成器数量不能超过$M$的最小生成器数量，而对于非阿贝尔群则不是这样:例如，秩2的自由群有每秩$0 \leq r \leq \aleph_0$的自由群作为子群。(例如，换向子群不是有限生成的。)
由于一个阿贝尔组是一个$\mathbb{Z}$ -模块，而每个$R$ -模块都有一个底层的阿贝尔组结构，因此人们很可能期望$R$ -模块的情况与阿贝尔组的情况类似。稍后我们将看到，这在许多情况下是正确的，但不是所有情况:如果$R$ -模块的所有子模块都是有限生成的，则称为Noetherian模块。当然，诺瑟模本身是有限生成的。这里我们将在$\S 8.7$ -中证明的基本事实是一个部分逆:如果环$R$是诺埃尔的，那么任何有限生成的$R$ -模都是诺埃尔的。注意，我们已经可以看到$R$的Noetherian是必要的:如果$R$不是Noetherian，那么根据定义存在一个理想的$R$的$I$，它不是有限生成的，这只不过是$R$的一个非有限生成的$R$子模块(它本身是由单个元素1生成的)。因此，前面提到的关于有限生成阿贝尔群的子群是有限生成的事实成立，因为$\mathbb{Z}$是一个诺etherian环。
当$R$不是noether时，有必要对模块施加比有限生成更强的条件。一个这样的条件确实来自群论:回想一下，如果一个群$G$与一个有限生成的自由群$F$同构于由$F$的有限子集$x_1, \ldots, x_m$生成的最小正规子群$N$的商，那么它就是有限呈现的。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。