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## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Kernel of a Homomorphism

For any homomorphism $\phi$ from the group $G$ to the group $G^{\prime}, \operatorname{ker} \phi$ is a normal subgroup of $G$.

Proof The identity $e$ is in $\operatorname{ker} \phi$ since $\phi(e)=e^{\prime}$, so $\operatorname{ker} \phi$ is always nonempty. If $a \in \operatorname{ker} \phi$ and $b \in \operatorname{ker} \phi$, then $\phi(a)=e^{\prime}$ and $\phi(b)=e^{\prime}$. Also, by Theorem 3.32, $\phi\left(b^{-1}\right)=[\phi(b)]^{-1}$, so
\begin{aligned} \phi\left(a b^{-1}\right) & =\phi(a) \phi\left(b^{-1}\right) \ & =\phi(a)[\phi(b)]^{-1} \ & =e^{\prime} \cdot\left(e^{\prime}\right)^{-1} \ & =e^{\prime}, \end{aligned}
and therefore $a b^{-1} \in \operatorname{ker} \phi$. Thus, by Theorem 3.12, $\operatorname{ker} \phi$ is a subgroup of $G$.
To show that $\operatorname{ker} \phi$ is normal, let $x \in G$ and $a \in \operatorname{ker} \phi$. Then
\begin{aligned} \phi\left(x a x^{-1}\right) & =\phi(x) \phi(a) \phi\left(x^{-1}\right) & & \text { since } \phi \text { is a homomorphism } \ & =\phi(x) \cdot e^{\prime} \cdot \phi\left(x^{-1}\right) & & \text { since } a \in \operatorname{ker} \phi \ & =\phi(x) \cdot \phi\left(x^{-1}\right) & & \ & =e^{\prime} & & \text { by part b of Theorem 3.32. } \end{aligned}
by part b of Theorem 3.32.
Thus $x a x^{-1}$ is in ker $\phi$, and ker $\phi$ is a normal subgroup by Theorem 4.20.
The mapping $\phi$ in Theorem 4.25 has $H$ as its kernel, and this shows that every normal subgroup of $G$ is the kernel of a homomorphism. Combining this fact with Theorem 4.26, we see that the normal subgroups of $G$ and the kernels of the homomorphisms from $G$ to another group are the same subgroups of $G$.

We can now prove that every homomorphic image of $G$ is isomorphic to a quotient group of $G$.

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Homomorphic Image $\Rightarrow$ Quotient Group

Let $G$ and $G^{\prime}$ be groups with $G^{\prime}$ a homomorphic image of $G$. Then $G^{\prime}$ is isomorphic to a quotient group of $G$.

Proof Let $\phi$ be an epimorphism from $G$ to $G^{\prime}$, and let $K=\operatorname{ker} \phi$. For each $a K$ in $G / K$, define $\theta(a K)$ by
$$\theta(a K)=\phi(a)$$
First, we need to prove that this rule defines a mapping. For any $a K$ and $b K$ in $G / K$,
\begin{aligned} a K=b K & \Leftrightarrow b^{-1} a K=K \ & \Leftrightarrow b^{-1} a \in K \ & \Leftrightarrow \phi\left(b^{-1} a\right)=e^{\prime} \ & \Leftrightarrow \phi\left(b^{-1}\right) \phi(a)=e^{\prime} \ & \Leftrightarrow[\phi(b)]^{-1} \phi(a)=e^{\prime} \ & \Leftrightarrow \phi(a)=\phi(b) \ & \Leftrightarrow \theta(a K)=\theta(b K) . \end{aligned}

Thus $\theta$ is a well-defined mapping from $G / K$ to $G^{\prime}$, and the $\Leftarrow$ parts of the $\Leftrightarrow$ statements show that $\theta$ is one-to-one as well.
We shall show that $\theta$ is an isomorphism from $G / K$ to $G^{\prime}$. Since
\begin{aligned} \theta(a K \cdot b K) & =\theta(a b K) \ & =\phi(a b) \ & =\phi(a) \cdot \phi(b) \ & =\theta(a K) \cdot \theta(b K), \end{aligned}
$\theta$ is a homomorphism. To show that $\theta$ is onto, let $a^{\prime}$ be arbitrary in $G^{\prime}$. Since $\phi$ is an epimorphism, there exists an element $a$ in $G$ such that $\phi(a)=a^{\prime}$. Then $a K$ is in $G / K$, and
$$\theta(a K)=\phi(a)=a^{\prime} .$$

# 现代代数代写

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Kernel of a Homomorphism

\begin{aligned} \phi\left(a b^{-1}\right) & =\phi(a) \phi\left(b^{-1}\right) \ & =\phi(a)[\phi(b)]^{-1} \ & =e^{\prime} \cdot\left(e^{\prime}\right)^{-1} \ & =e^{\prime}, \end{aligned}

\begin{aligned} \phi\left(x a x^{-1}\right) & =\phi(x) \phi(a) \phi\left(x^{-1}\right) & & \text { since } \phi \text { is a homomorphism } \ & =\phi(x) \cdot e^{\prime} \cdot \phi\left(x^{-1}\right) & & \text { since } a \in \operatorname{ker} \phi \ & =\phi(x) \cdot \phi\left(x^{-1}\right) & & \ & =e^{\prime} & & \text { by part b of Theorem 3.32. } \end{aligned}

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Homomorphic Image $\Rightarrow$ Quotient Group

$$\theta(a K)=\phi(a)$$

\begin{aligned} a K=b K & \Leftrightarrow b^{-1} a K=K \ & \Leftrightarrow b^{-1} a \in K \ & \Leftrightarrow \phi\left(b^{-1} a\right)=e^{\prime} \ & \Leftrightarrow \phi\left(b^{-1}\right) \phi(a)=e^{\prime} \ & \Leftrightarrow[\phi(b)]^{-1} \phi(a)=e^{\prime} \ & \Leftrightarrow \phi(a)=\phi(b) \ & \Leftrightarrow \theta(a K)=\theta(b K) . \end{aligned}

\begin{aligned} \theta(a K \cdot b K) & =\theta(a b K) \ & =\phi(a b) \ & =\phi(a) \cdot \phi(b) \ & =\theta(a K) \cdot \theta(b K), \end{aligned}
$\theta$是同态。为了表明$\theta$是对的，让$a^{\prime}$在$G^{\prime}$中是任意的。因为$\phi$是一个外胚，所以在$G$中存在一个元素$a$，使得$\phi(a)=a^{\prime}$。然后$a K$在$G / K$中，和
$$\theta(a K)=\phi(a)=a^{\prime} .$$

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Set Generated by A

If $A$ is a nonempty subset of the group $G$, then the set generated by $\boldsymbol{A}$, denoted by $\langle A\rangle$, is the set defined by
$$\langle A\rangle=\left{x \in G \mid x=a_1 a_2 \cdots a_n \text { with either } a_i \in A \text { or } a_i^{-1} \in A\right} .$$
In other words, $\langle A\rangle$ is the set of all products that can be formed with a finite number of factors, each of which either is an element of $A$ or has an inverse that is an element of $A$.

For any nonempty subset $A$ of a group $G$, the set $\langle A\rangle$ is a subgroup of $G$ called the subgroup of $G$ generated by $A$.

Proof There exists at least one $a \in A$, since $A \neq \varnothing$. Then $e=a a^{-1} \in\langle A\rangle$, so $\langle A\rangle$ is nonempty.
If $x \in\langle A\rangle$ and $y \in\langle A\rangle$, then
$$x=x_1 x_2 \cdots x_n \text { with either } x_i \in A \text { or } x_i^{-1} \in A$$
and
$$y=y_1 y_2 \cdots y_k \text { with either } y_j \in A \text { or } y_j^{-1} \in A \text {. }$$
Thus
$$x y=x_1 x_2 \cdots x_n y_1 y_2 \cdots y_k,$$
where each factor on the right either is in $A$ or has an inverse that is an element of $A$. Also,
$$x^{-1}=x_n^{-1} \cdots x_2^{-1} x_1^{-1} \text { with either } x_i^{-1} \in A \text { or } x_i \in A .$$
The nonempty set $\langle A\rangle$ is closed and contains inverses, and therefore it is a subgroup of $G$.

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Group of Cosets

Let $H$ be a normal subgroup of $G$. Then the cosets of $H$ in $G$ form a group with respect to the product of subsets as given in Definition 4.10.

Proof Let $H$ be a normal subgroup of $G$. We shall denote the set of all distinct cosets of $H$ in $G$ by $G / H$. Multiplication in $G / H$ is associative, by part a of Theorem 4.11.

We need to show that the cosets of $H$ in $G$ are closed under the given product. Let $a H$ and $b H$ be arbitrary cosets of $H$ in $G$. Using the associative property freely, we have
\begin{aligned} (a H)(b H) & =a(H b) H & & \ & =a(b H) H & & \text { since } H \text { is normal } \ & =(a b) H \cdot H & & \ & =a b H & & \text { since } H^2=H . \end{aligned}
Thus $G / H$ is closed and $(a H)(b H)=a b H$.
The coset $H=e H$ is the identity, since $(a H)(e H)=a e H=a H$ and $(e H)(a H)=$ $e a H=a H$ for all $a H$ in $G / H$.
The inverse of $a H$ is $a^{-1} H$, since
$$(a H)\left(a^{-1} H\right)=a a^{-1} H=e H=H$$

and
$$\left(a^{-1} H\right)(a H)=a^{-1} a H=e H=H .$$
This completes the proof.

# 现代代数代写

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Set Generated by A

$$\langle A\rangle=\left{x \in G \mid x=a_1 a_2 \cdots a_n \text { with either } a_i \in A \text { or } a_i^{-1} \in A\right} .$$

$$x=x_1 x_2 \cdots x_n \text { with either } x_i \in A \text { or } x_i^{-1} \in A$$

$$y=y_1 y_2 \cdots y_k \text { with either } y_j \in A \text { or } y_j^{-1} \in A \text {. }$$

$$x y=x_1 x_2 \cdots x_n y_1 y_2 \cdots y_k,$$

$$x^{-1}=x_n^{-1} \cdots x_2^{-1} x_1^{-1} \text { with either } x_i^{-1} \in A \text { or } x_i \in A .$$

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Group of Cosets

\begin{aligned} (a H)(b H) & =a(H b) H & & \ & =a(b H) H & & \text { since } H \text { is normal } \ & =(a b) H \cdot H & & \ & =a b H & & \text { since } H^2=H . \end{aligned}

(i) $\bar{r}=0 \Longleftrightarrow \operatorname{res}(\bar{f}, \bar{g})=0$。
(ii)如果$R / I$是UFD，则当且仅当$\operatorname{gcd}(\bar{f}, \bar{g})$是非常量时，则$\bar{r}=0$。

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Modular gcd algorithm in F[x, y]

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## avatest™帮您通过考试

avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！

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Let $F$ be a field and $g=\sum_{i \geq 0} g_i x^i \in F[[x]]$ with all $g_i \in F$ be a formal power series (Section 25.3). A Padé approximant to $g$ is a rational function $\rho=r / t \in F(x)$, with $r, t \in F[x]$ and $x \nmid t$, that “approximates” $g$ to a sufficiently high power of $x$. More precisely, $r / t$ is a $(\boldsymbol{k}, \boldsymbol{n}-\boldsymbol{k})$-Padé approximant to $g$ if
$$x \nmid t \text { and } \frac{r}{t} \equiv g \bmod x^n, \quad \operatorname{deg} r<k, \quad \operatorname{deg} t \leq n-k ;$$
the congruence is equivalent to $r \equiv \operatorname{tg} \bmod x^n$. Obviously $r=\sum_{0 \leq i<n} g_i x^i$, the Taylor expansion of order $n$ of $g$ around 0 , and $t=1$ is an $(n, 0)$-Padé approximant for each $n \in \mathbb{N}$, but it is not clear whether approximants for $k<n$ exist. A more general question is to ask for Padé approximants around $u$ of a formal power series in $x-u$ for an arbitrary $u \in F$. This may be reduced to (22) by performing the shift of variable $x \longmapsto x+u$.

In numerical analysis, one is interested in approximating arbitrary (sufficiently smooth) real-valued functions by “simple” functions such as polynomials or rational functions. Taylor expansions and Padé approximants provide such approximations in the vicinity of the origin (or any other point, after an appropriate change of variable). As in the case of interpolation, it was observed empirically that sometimes rational functions yield a much smaller approximation error, in particular when the function to be approximated has singularities; see Example 5.23 below.
The similarity with Cauchy interpolation is clear: instead of prescribing the values of $\rho$ at $n$ distinct points $u_0, \ldots, u_{n-1}$, we have $u_0=\cdots=u_{n-1}=0$ and prescribe an initial segment of the Taylor expansion of $\rho$ at $u_0$. Indeed the statements of the previous section carry over almost literally if we replace $m=\left(x-u_0\right) \cdots\left(x-u_{n-1}\right)$ by $m=x^n$. The following is a consequence of Theorem 5.16 .

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Rational number reconstruction

The integer analog of rational function reconstruction is, given integers $m>g \geq 0$ and $k \in{1, \ldots, m}$, to compute a rational number $r / t \in \mathbb{Q}$, with $r, t \in \mathbb{Z}$, such that
$$\operatorname{gcd}(t, m)=1 \text { and } r t^{-1} \equiv g \bmod m, \quad|r|<k, \quad 0 \leq t \leq \frac{m}{k}$$
where $t^{-1}$ is the inverse of $t$ modulo $m$. As in the polynomial case, we will see that the related problem
$$r \equiv t g \bmod m, \quad|r|<k, \quad 0 \leq t \leq \frac{m}{k}$$
is always solvable, while (24) need not have a solution. The uniqueness statements are a bit weaker than in the polynomial case, however. The following lemma is the integer analog of the Uniqueness Lemma 5.15.

LEmMA 5.25. Let $f, g \in \mathbb{N}$ and $r, s, t \in \mathbb{Z}$ with $r=s f+t g$, and suppose that
$$|r|<k \text { and } 0<t \leq \frac{f}{k} \text { for some } k \in{1, \ldots, f}$$
We let $r_i, s_i, t_i \in \mathbb{Z}$ for $0 \leq i \leq \ell+1$ be the results of the traditional Extended Euclidean Algorithm for $f, g$, with $r_i \geq 0$ for all $i$. Moreover, we define $j \in$ ${1, \ldots, \ell+1}$ by
$$r_j<k \leq r_{j-1}$$
and if $j \leq \ell$, we choose $q \in \mathbb{N}{\geq 1}$ such that $$r{j-1}-q r_j<k \leq r_{j-1}-(q-1) r_j$$
and let $q=0$ if $j=\ell+1$. Then there exists a nonzero $\alpha \in \mathbb{Z}$ such that
$$\text { either }(r, s, t)=\left(\alpha r_j, \alpha s_j, \alpha t_j\right) \text { or }(r, s, t)=\left(\alpha r_j^, \alpha s_j^, \alpha t_j^\right) \text {, }$$ where $r_j^=r_{j-1}-q r_j, s_j^=s_{j-1}-q s_j$, and $t_j^=t_{j-1}-q t_j$.

# 现代代数代写

$$x \nmid t \text { and } \frac{r}{t} \equiv g \bmod x^n, \quad \operatorname{deg} r近似值 u 的形式幂级数 x-u 对于任意的 u \in F． 这可以通过执行变量移位减少到(22) x \longmapsto x+u． 在数值分析中，人们感兴趣的是用多项式或有理函数等“简单”函数逼近任意(足够光滑的)实值函数。泰勒展开和帕德帕尔近似在原点附近(或任何其他点，在适当改变变量后)提供了这样的近似。正如在插值的情况下，经验观察到，有时有理函数产生的近似误差要小得多，特别是当要近似的函数具有奇点时;参见下面的例5.23。 与柯西插值的相似之处很明显:我们有u_0=\cdots=u_{n-1}=0，并规定了\rho在u_0的泰勒展开的初始段，而不是规定\rho在n不同点u_0, \ldots, u_{n-1}的值。实际上，如果我们将m=\left(x-u_0\right) \cdots\left(x-u_{n-1}\right)替换为m=x^n，上一节的语句几乎可以逐字保留。下面是定理5.16的一个推论。 ## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Rational number reconstruction 有理数函数重构的整数类比是，给定整数m>g \geq 0和k \in{1, \ldots, m}，用r, t \in \mathbb{Z}计算有理数r / t \in \mathbb{Q}，使得$$
\operatorname{gcd}(t, m)=1 \text { and } r t^{-1} \equiv g \bmod m, \quad|r|<k, \quad 0 \leq t \leq \frac{m}{k}
$$其中t^{-1}是t模m的倒数。在多项式的情况下，我们会看到相关的问题$$
r \equiv t g \bmod m, \quad|r|<k, \quad 0 \leq t \leq \frac{m}{k}
$$是永远可解的，而(24)不必有解。然而，唯一性语句比多项式的情况弱一些。下面的引理是唯一性引理5.15的整数类比。 引理5.25。让f, g \in \mathbb{N}和r, s, t \in \mathbb{Z}等于r=s f+t g，假设$$
|r|<k \text { and } 0<t \leq \frac{f}{k} \text { for some } k \in{1, \ldots, f}
$$我们设r_i, s_i, t_i \in \mathbb{Z}为0 \leq i \leq \ell+1的传统扩展欧几里得算法对f, g的结果，r_i \geq 0为所有i。此外，我们通过定义j \in$${1, \ldots, \ell+1}$$$r_j<k \leq r_{j-1}$$ 如果$j \leq \ell$，我们选择$q \in \mathbb{N}{\geq 1}$使得$$r{j-1}-q r_j<k \leq r_{j-1}-(q-1) r_j$$ 让$q=0$if$j=\ell+1$。那么存在一个非零$\alpha \in \mathbb{Z}$，使得 $$\text { either }(r, s, t)=\left(\alpha r_j, \alpha s_j, \alpha t_j\right) \text { or }(r, s, t)=\left(\alpha r_j^, \alpha s_j^, \alpha t_j^\right) \text {, }$$，其中$r_j^=r_{j-1}-q r_j, s_j^=s_{j-1}-q s_j$和$t_j^=t_{j-1}-q t_j$。 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写 请认准exambang™. exambang™为您的留学生涯保驾护航。 在当今世界，学生正面临着越来越多的期待，他们需要在学术上表现优异，所以压力巨大。 avatest.org 为您提供可靠及专业的论文代写服务以便帮助您完成您学术上的需求，让您重新掌握您的人生。我们将尽力给您提供完美的论文，并且保证质量以及准时交稿。除了承诺的奉献精神，我们的专业写手、研究人员和校对员都经过非常严格的招聘流程。所有写手都必须证明自己的分析和沟通能力以及英文水平，并通过由我们的资深研究人员和校对员组织的面试。 其中代写论文大多数都能达到A，B 的成绩， 从而实现了零失败的目标。 这足以证明我们的实力。选择我们绝对不会让您后悔，选择我们是您最明智的选择！ ## 微观经济学代写 微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。 ## 线性代数代写 线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。 ## 博弈论代写 现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。 ## 微积分代写 微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。 它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。 ## 计量经济学代写 什么是计量经济学？ 计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。 根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。 ## MATLAB代写 MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。 Posted on Categories:Modern Algebra, 数学代写, 现代代数 ## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Change of representation 如果你也在 怎样代写现代代数Modern Algebra 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。现代代数Modern Algebra现代代数，也叫抽象代数，是数学的一个分支，涉及各种集合（如实数、复数、矩阵和矢量空间）的一般代数结构，而不是操作其个别元素的规则和程序。除了数论和代数几何的发展，现代代数通过群论对对称性有重要的应用。群这个词通常指的是一组运算，可能保留了某些物体的对称性或类似物体的排列。 现代代数Modern Algebra代数是数学的一个分支的名称，但它也是一种数学结构的名称。代数或代数结构是一个带有运算的非空集合。从一般结构角度研究代数的数学分支被称为普遍代数。相比之下，现代代数处理的是特殊类别的代数，包括群、环、场、向量空间和模块。从普遍代数的角度来看，场、向量空间和模块不被视为代数结构。现代代数也被称为抽象代数，但这两个名字在今天都有误导性，因为它在现代数学中已经不怎么现代或抽象了。 现代代数Modern Algebra代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。最高质量的现代代数Modern Algebra作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此现代代数Modern Algebra作业代写的价格不固定。通常在专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。 ## avatest™帮您通过考试 avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！ 在不断发展的过程中，avatest™如今已经成长为论文代写，留学生作业代写服务行业的翘楚和国际领先的教育集团。全体成员以诚信为圆心，以专业为半径，以贴心的服务时刻陪伴着您， 用专业的力量帮助国外学子取得学业上的成功。 •最快12小时交付 •200+ 英语母语导师 •70分以下全额退款 想知道您作业确定的价格吗? 免费下单以相关学科的专家能了解具体的要求之后在1-3个小时就提出价格。专家的 报价比上列的价格能便宜好几倍。 我们在数学Mathematics代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在现代代数Modern Algebra代写方面经验极为丰富，各种现代代数Modern Algebra相关的作业也就用不着说。 ## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Change of representation There are two basically different types of representation for our objects. In the first, one chooses a base and presents data in an expansion along powers of that base. Examples for this type include the coefficient representation of polynomials (where$x$is the base), more generally a Taylor expansion around$u$(where$x-u$is the base; see Section 5.6), and the decimal or binary representation of integers (with base 10 or 2 , respectively). Even the usual floating point representation of real numbers can be considered to be in this category, with base$10^{-1}$. These types of representation are the “natural” ones, and computer users like to have their input and output in this format. Prototypical for the second type are the representations of a polynomial by its values at various points$u_0, \ldots, u_{n-1}$, or of an integer modulo different primes$p_0, \ldots, p_{n-1}$. (We number from 0 through$n-1$instead of 1 through$n$for consistency with Chapter 10.) The “bases” here are$x-u_0, \ldots, x-u_{n-1}$and$p_0, \ldots, p_{n-1}$, respectively. Actually, a better analogy is to take $$\frac{m}{x-u_0}, \frac{m}{x-u_1}, \ldots, \frac{m}{x-u_{n-1}}$$ where$m=\left(x-u_0\right)\left(x-u_1\right) \cdots\left(x-u_{n-1}\right)$, as basis for all polynomials of degree less than$n$in the first case; see the Lagrange interpolation formula (3) below. Some problems, such as multiplication, are quite easy in appropriate bases of this kind, while others, like division with remainder, seem to require a representation of the first type. ## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Evaluation and interpolation We start with the simplest but most important change of representation: evaluation and interpolation. Suppose that$F$is a field and$u_0, \ldots, u_{n-1} \in F$are pairwise distinct. A polynomial$f=\sum_{0 \leq i<n} f_i x^i \in F[x]$can be evaluated at a single point$u \in F$with$n-1$multiplications and$n-1$additions in$F$, using Horner’s rule $$f(u)=\left(\cdots\left(f_{n-1} u+f_{n-2}\right) u+\cdots+f_1\right) u+f_0 .$$ Thus we can evaluate$F$at all points$u_i$using$2 n^2-2 n$operations in$F$. What about interpolation? The Lagrange interpolant $$l_i=\prod_{\substack{0 \leq j<n \ j \neq i}} \frac{x-u_j}{u_i-u_j} \in F[x]$$ has the property that$l_i\left(u_j\right)$is 0 if$i \neq j$and 1 when$i=j$; see Figure 5.4. For arbitrary$v_0, \ldots, v_{n-1} \in F$, $$f=\sum_{0 \leq i<n} v_i l_i=\sum_{0 \leq i<n} v_i \prod_{\substack{0 \leq j<n \ j \neq i}} \frac{x-u_j}{u_i-u_j} .$$ is a polynomial of degree less than$n$such that$f\left(u_i\right)=v_i$for all$i$. The interpolating polynomial with this degree constraint is unique, since the difference of two such polynomials has degree less than$n$and$n$roots, hence is the zero polynomial. # 现代代数代写 ## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Change of representation 我们的对象有两种基本不同的表示方式。首先，选择一个基数，并以该基数的幂展开的形式呈现数据。这种类型的例子包括多项式的系数表示(其中$x$是基底)，更普遍的是$u$周围的泰勒展开(其中$x-u$是基底;(参见5.6节)，以及整数的十进制或二进制表示(分别以10或2为基数)。甚至通常的实数浮点表示也可以被认为属于这一类，基数为$10^{-1}$。这些类型的表示是“自然”的，计算机用户喜欢以这种格式输入和输出。 第二种类型的原型是多项式在不同点上的值$u_0, \ldots, u_{n-1}$或整数模取不同素数$p_0, \ldots, p_{n-1}$的表示。(为了与第10章保持一致，我们从0到$n-1$编号，而不是从1到$n$。)这里的“基础”分别是$x-u_0, \ldots, x-u_{n-1}$和$p_0, \ldots, p_{n-1}$。实际上，一个更好的类比是 $$\frac{m}{x-u_0}, \frac{m}{x-u_1}, \ldots, \frac{m}{x-u_{n-1}}$$ 其中$m=\left(x-u_0\right)\left(x-u_1\right) \cdots\left(x-u_{n-1}\right)$为第一种情况下小于$n$次的所有多项式的基;见下面的拉格朗日插值公式(3)。有些问题，如乘法，在适当的这种基下很容易，而其他问题，如余数除法，似乎需要第一种类型的表示。 ## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Evaluation and interpolation 我们从最简单但最重要的表示变化开始:求值和插值。假设$F$是一个字段，$u_0, \ldots, u_{n-1} \in F$是两两不同的。一个多项式$f=\sum_{0 \leq i<n} f_i x^i \in F[x]$可以用$F$中的$n-1$乘法和$n-1$加法在一个单点$u \in F$上求值，使用霍纳规则 $$f(u)=\left(\cdots\left(f_{n-1} u+f_{n-2}\right) u+\cdots+f_1\right) u+f_0 .$$ 因此，我们可以使用$F$中的$2 n^2-2 n$操作在所有$u_i$点处计算$F$。那么插值呢? 拉格朗日插值 $$l_i=\prod_{\substack{0 \leq j<n \ j \neq i}} \frac{x-u_j}{u_i-u_j} \in F[x]$$ 具有如下属性:$i \neq j$时$l_i\left(u_j\right)$为0,$i=j$时为1;见图5.4。对于任意的$v_0, \ldots, v_{n-1} \in F$， $$f=\sum_{0 \leq i<n} v_i l_i=\sum_{0 \leq i<n} v_i \prod_{\substack{0 \leq j<n \ j \neq i}} \frac{x-u_j}{u_i-u_j} .$$ 是一个次数小于$n$的多项式，使得$f\left(u_i\right)=v_i$对于所有$i$。具有此次约束的插值多项式是唯一的，因为两个这样的多项式的差的次小于$n$和$n$根，因此是零多项式。 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写 请认准exambang™. exambang™为您的留学生涯保驾护航。 在当今世界，学生正面临着越来越多的期待，他们需要在学术上表现优异，所以压力巨大。 avatest.org 为您提供可靠及专业的论文代写服务以便帮助您完成您学术上的需求，让您重新掌握您的人生。我们将尽力给您提供完美的论文，并且保证质量以及准时交稿。除了承诺的奉献精神，我们的专业写手、研究人员和校对员都经过非常严格的招聘流程。所有写手都必须证明自己的分析和沟通能力以及英文水平，并通过由我们的资深研究人员和校对员组织的面试。 其中代写论文大多数都能达到A，B 的成绩， 从而实现了零失败的目标。 这足以证明我们的实力。选择我们绝对不会让您后悔，选择我们是您最明智的选择！ ## 微观经济学代写 微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。 ## 线性代数代写 线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。 ## 博弈论代写 现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。 ## 微积分代写 微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。 它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。 ## 计量经济学代写 什么是计量经济学？ 计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。 根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。 ## MATLAB代写 MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。 Posted on Categories:Modern Algebra, 数学代写, 现代代数 ## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|(Non-)Uniqueness of the gcd 如果你也在 怎样代写现代代数Modern Algebra 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。现代代数Modern Algebra现代代数，也叫抽象代数，是数学的一个分支，涉及各种集合（如实数、复数、矩阵和矢量空间）的一般代数结构，而不是操作其个别元素的规则和程序。除了数论和代数几何的发展，现代代数通过群论对对称性有重要的应用。群这个词通常指的是一组运算，可能保留了某些物体的对称性或类似物体的排列。 现代代数Modern Algebra代数是数学的一个分支的名称，但它也是一种数学结构的名称。代数或代数结构是一个带有运算的非空集合。从一般结构角度研究代数的数学分支被称为普遍代数。相比之下，现代代数处理的是特殊类别的代数，包括群、环、场、向量空间和模块。从普遍代数的角度来看，场、向量空间和模块不被视为代数结构。现代代数也被称为抽象代数，但这两个名字在今天都有误导性，因为它在现代数学中已经不怎么现代或抽象了。 现代代数Modern Algebra代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。最高质量的现代代数Modern Algebra作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此现代代数Modern Algebra作业代写的价格不固定。通常在专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。 ## avatest™帮您通过考试 avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！ 在不断发展的过程中，avatest™如今已经成长为论文代写，留学生作业代写服务行业的翘楚和国际领先的教育集团。全体成员以诚信为圆心，以专业为半径，以贴心的服务时刻陪伴着您， 用专业的力量帮助国外学子取得学业上的成功。 •最快12小时交付 •200+ 英语母语导师 •70分以下全额退款 想知道您作业确定的价格吗? 免费下单以相关学科的专家能了解具体的要求之后在1-3个小时就提出价格。专家的 报价比上列的价格能便宜好几倍。 我们在数学Mathematics代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在现代代数Modern Algebra代写方面经验极为丰富，各种现代代数Modern Algebra相关的作业也就用不着说。 ## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|(Non-)Uniqueness of the gcd The nonuniqueness of the gcd is a harmless nuisance from a mathematical point of view. But in software, we have to implement a function gcd with a unique output. In this section, we discuss one way of achieving this. Since$\mathbb{Q}$is a field, every nonzero rational number is a unit in$\mathbb{Q}$, and so$u a \sim a$in$R=\mathbb{Q}[x]$for all nonzero$u \in \mathbb{Q}$and all$a \in R$. If we want to define a single element$\operatorname{gcd}(f, g) \in \mathbb{Q}[x]$, which one should we choose? In other words, how do we choose one representative from among all the multiples of$a$? A reasonable choice is the monic polynomial, that is, the one with leading coefficient 1 . Thus if$\operatorname{lc}(a) \in \mathbb{Q} \backslash{0}$is the leading coefficient of$a \in \mathbb{Q}[x]$, then we take normal$(a)=a / \operatorname{lc}(a)$as the normal form of$a$. (This has nothing to do with the “normal EEA” on page 51.) To make this work in an arbitrary Euclidean domain$R$, we assume that we have selected some normal form normal$(a) \in R$for every$a \in R$so that$a \sim \operatorname{normal}(a)$. We call the unit$u \in R$with$a=u \cdot \operatorname{normal}(a)$the leading unit$l u(a)$of$a$. Moreover, we set$\operatorname{lu}(0)=1$and$\operatorname{normal}(0)=0$. The following two properties are required: • two elements of$R$have the same normal form if and only if they are associate, – the normal form of a product is equal to the product of the normal forms. These properties in particular imply that the normal form of any unit is 1 . We say that an element$a$in normal form, so that$\operatorname{lu}(a)=1$, is normalized. In our two main applications, integers and univariate polynomials over a field, we have natural normal forms. If$R=\mathbb{Z}, \operatorname{lu}(a)=\operatorname{sign}(a)$if$a \neq 0$and$\operatorname{normal}(a)=|a|$defines a normal form, so that an integer is normalized if and only if it nonnegative. When$R=F[x]$for a field$F$, then letting$\operatorname{lu}(a)=\operatorname{lc}(a)$(with the convention that$\operatorname{lu}(0)=1)$and$\operatorname{normal}(a)=a / \operatorname{lc}(a)$defines a normal form, and a nonzero polynomial is normalized if and only if it is monic. ## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Modular arithmetic We start with some applications. The first one is checking programs for correctness. In Part II of this book, we will see extremely fast algorithms for multiplication of large integers. These methods are also considerably more complicated than classical multiplication, and an implementation quite error-prone. So we may want to test correctness on many inputs. We take inputs$a$and$b$, say positive integers of 10000 words each, and the output$c$of 20000 words. Can we check that$a \cdot b=c$without using our own software? The solution is a modular test. We take a single-precision prime$p$and check whether$a \cdot b \equiv c \bmod p$(read ”$a \cdot b$and$c$are congruent modulo$p$“), which means that$a \cdot b-c$is divisible by$p$, or equivalently,$a \cdot b$and$c$have the same remainder on division by$p$. By (1) below, it is sufficient for this purpose to compute the remainders$a^=a$rem$p, b^=b$rem$p, c^=c$rem$p$and check whether$a^ \cdot b^* \equivc^* \bmod p$, since$a \cdot b \equiv a^* \cdot b^* \bmod p$. If this fails to hold, then clearly somewhere there is an error. How reliable is this test? Of course, it can happen that$a b \neq c$and$a^* b^* \equiv c^* \bmod p$. This happens if and only if$a b-c \neq 0$is divisible by$p$. If each of our primes is at least$2^{63}$, then the product of$k$of them at least$2^{63 \cdot k}$. Now$|a b-c|$is a number with not more than 20000 words, and hence divisible by at most$\log _{2^{63}}\left(2^{64 \cdot 20000}\right) \leq 20318$different primes. If we have a data base of 40636 single-precision primes and choose$p$at random from these, then the test will fail to detect a software error with probability at most$1 / 2$(assuming that the test itself is correctly implemented). There is an abundant supply of primes: over$2 \cdot 10^{17}$64-bit primes, and more than$90 \mathrm{mil}$lion 32-bit primes, by the prime number theorem 18.7 (see also Exercise 18.18). By standard tricks, such as rerunning the test or choosing a larger data base, this probability can be made arbitrarily small. The technique can also be used to test equalities like$f \cdot g=h$for polynomials$f, g, h$, by substituting a random value, or$A \cdot B=C$for matrices$A, B, C$, by evaluating at a random vector. # 现代代数代写 ## 代写|现代代数代考Modern Algebra代写|(Non-)Uniqueness of the gcd 从数学的角度来看，gcd的非唯一性是无害的。但是在软件中，我们必须实现一个具有唯一输出的函数gcd。在本节中，我们将讨论实现这一目标的一种方法。 因为$\mathbb{Q}$是一个字段，所以每个非零有理数都是$\mathbb{Q}$中的一个单位，所以对于所有非零$u \in \mathbb{Q}$和所有$a \in R$,$u a \sim a$都是$R=\mathbb{Q}[x]$中的一个单位。如果要定义单个元素$\operatorname{gcd}(f, g) \in \mathbb{Q}[x]$，应该选择哪一个呢?换句话说，我们如何从$a$的所有倍数中选择一个代表?一个合理的选择是单多项式，即前导系数为1的多项式。因此，如果$\operatorname{lc}(a) \in \mathbb{Q} \backslash{0}$是$a \in \mathbb{Q}[x]$的前系数，则取正常的$(a)=$$a / \operatorname{lc}(a)作为a的正常形式。(这与第51页的“正常欧洲经济区”无关。) 为了使它在任意欧几里得域R中工作，我们假设我们已经为每个a \in R选择了一些正规形式normal (a) \in R，以便a \sim \operatorname{normal}(a)。我们称该单位为u \in R, a=u \cdot \operatorname{normal}(a)为a的先导单位l u(a)。此外，我们设置\operatorname{lu}(0)=1和\operatorname{normal}(0)=0。需要以下两个属性: R的两个元素有相同的范式当且仅当它们是相关的，一个乘积的范式等于两个范式的乘积。 这些性质特别表明，任何单位的标准形式都是1。我们说一个元素a是标准形式，所以\operatorname{lu}(a)=1是标准化的。 在我们的两个主要应用中，整数和域上的单变量多项式，我们有自然范式。如果R=\mathbb{Z}, \operatorname{lu}(a)=\operatorname{sign}(a) If a \neq 0 and \operatorname{normal}(a)=$$|a|$定义了一个标准形式，那么当且仅当一个整数非负时，它才被规范化。当$R=F[x]$表示字段$F$时，则让$\operatorname{lu}(a)=\operatorname{lc}(a)$(按照$\operatorname{lu}(0)=1)$和$\operatorname{normal}(a)=a / \operatorname{lc}(a)$的约定定义了一个标准形式)和一个非零多项式当且仅当它是monic时被归一化。 ## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Modular arithmetic 我们从一些应用程序开始。第一个是检查程序的正确性。在本书的第二部分中，我们将看到处理大整数乘法的极快算法。这些方法也比经典乘法复杂得多，而且实现起来很容易出错。所以我们可能想要测试许多输入的正确性。我们输入$a$和$b$，每个输入10000字的正整数，输出$c$20000字。我们可以不用自己的软件检查$a \cdot b=c$吗? 解决方案是模块化测试。我们取一个单精度质数$p$并检查$a \cdot b \equiv c \bmod p$(请读“$a \cdot b$和$c$是$p$的同余模”)，这意味着$a \cdot b-c$可以被$p$整除，或者等价地，$a \cdot b$和$c$在被$p$整除时具有相同的余数。通过下面的(1)，就足以达到这个目的，计算余数$a^=a$rem$p, b^=b$rem$p, c^=c$rem$p$并检查是否$a^ \cdot b^* \equivc^* \bmod p$，因为$a \cdot b \equiv a^* \cdot b^* \bmod p$。如果这个不能成立，那么很明显在某个地方出错了。这个测试有多可靠? 当然，也可能发生$a b \neq c$和$a^* b^* \equiv c^* \bmod p$。当且仅当$a b-c \neq 0$能被$p$整除。如果每个质数至少是$2^{63}$，那么它们的乘积$k$至少是$2^{63 \cdot k}$。现在$|a b-c|$是一个不超过20000个单词的数字，因此最多可以被$\log _{2^{63}}\left(2^{64 \cdot 20000}\right) \leq 20318$个不同的质数整除。如果我们有一个包含40636个单精度质数的数据库，并从中随机选择$p$，那么测试将无法检测到软件错误，其概率最多为$1 / 2$(假设测试本身正确实现)。素数定理18.7(另见习题18.18)提供了大量的素数:超过$2 \cdot 10^{17}$个64位素数，超过$90 \mathrm{mil}$亿个32位素数。 通过一些标准的技巧，比如重新运行测试或者选择一个更大的数据库，这个概率可以被任意地降低。 该技术还可以用于测试等式，例如通过替换随机值来测试多项式$f, g, h$的$f \cdot g=h$，或者通过在随机向量上求值来测试矩阵$A, B, C$的$A \cdot B=C\$。

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。