Tag: Number Fields and Algebraic Integers

如果你也在 怎样代写代數數論Algebraic Number Theory Math46400这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。代數數論Algebraic Number Theory 是数论的一个分支，它使用抽象代数的技术来研究整数、有理数及其泛化。数论问题用代数对象的属性来表达，如代数数域及其整数环、有限域和函数域。这些属性，如一个环是否允许唯一的因式分解，理想的行为，以及场的伽罗瓦群，可以解决数论中最重要的问题，如狄方达方程的解的存在。

代數數論Algebraic Number Theory 费马最后定理是由皮埃尔-德-费马于1637年首次猜想出来的，著名的是在一本《算术》的空白处，他声称他有一个大到无法放入空白处的证明。尽管在这358年中，无数的数学家作出了努力，但直到1995年才有成功的证明发表。这个未解决的问题在19世纪刺激了代数数论的发展，在20世纪刺激了模块化定理的证明。

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数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Analytical continuation of the Riemann zetafunction

For $\varphi(x) \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ and $r>0$ set $\varphi(r \mathbb{Z}) \stackrel{\text { def }}{=} \sum_{n \neq 0} \varphi(r n)=\left(\sum_{x \in r \mathbb{Z}} \varphi(x)\right)-\varphi(0)$. Now define the zeta-integral
$$
Z(\varphi ; s)=\int_0^{\infty} \varphi(r \mathbb{Z}) r^s \frac{d r}{r} .
$$
REMARK 208. Note that we may assume wlog that $\Phi(r)$ is even, so we may consider this an integral on $\mathbb{R}^{\times} / \mathbb{Z}^{\times}$.

LEMMA 209. The sum defining $\varphi(r \mathbb{Z})$ converges locally uniformly absolutely (in particular this function is continuous), decays faster than any polynomial as $r \rightarrow \infty$ and satisfies $\varphi(r \mathbb{Z})=$ $O\left(r^{-1}\right)$
Proof. Let $N$ be even, and let $C$ be such that $|\varphi(x)| \leq \frac{C}{1+x^N}$ for all $x \in \mathbb{R}$. Then
$$
\begin{aligned}
\left|\sum_{n=1}^{\infty} \varphi(r n)\right| & \leq \int_0^{\infty} \frac{C}{1+(r x)^N} \mathrm{~d} x \
&=\left(\int_0^{\infty} \frac{C \mathrm{~d} x}{1+x^N}\right) r^{-N} .
\end{aligned}
$$
It follows that the sum conveges absolutely for $|r| \geq r_0$ and that it decays faster than any polynomial. For $r$ small break the sum up into $|n| \leq r^{-1}$ and $|n|>r^{-1}$.

数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|The Dedekind Zetafunction

Preliminaries. Fix a number field $K$ of degree $n=[K: \mathbb{Q}]$. Suppose $K$ has $r_1$ (resp. $r_2$ ) real (resp. complex) places so that $r_1+2 r_2=n$.

Let $K_{\infty}=\bigoplus_{v \mid \infty} K_v$ be the archimedean completion in which $\mathcal{O}K$ is a lattice. Write $\mathcal{C}{K / \mathbb{Q}}$ for the complementary module, $d_K$ for the absolute discriminant and write $V$ for the covolume $\operatorname{vol}\left(K_{\infty} / \mathcal{O}_K\right)=2^{-r_2} \sqrt{\left|d_K\right|}$ as computed in Lemma 183.

Let $K_{\infty}^1=\left{r \in K_{\infty}^{\times} \mid|r|=1\right}$, and note that $K_{\infty}^1$ contains the image of the units $\mathcal{O}K^{\times}$. Recalling the map $\log : K{\infty}^{\times} \rightarrow \mathbb{R}^{r_1+r_2}$ from Section $4.4$ we showed there that $\log \left(\mathcal{O}K^{\times}\right)$is a lattice hyperplane $\log \left(K{\infty}^1\right)$, and defined the regulator $R_K$ to be the covolume $\operatorname{vol}\left(\log \left(K_{\infty}^1\right) / \log \left(\mathcal{O}K^{\times}\right)\right)$. Since Ker $\log =\left{\left(r_v\right){v \mid \infty}|\forall v:| r_v \mid=1\right} \simeq{\pm 1}^{r_1}(\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z})^{r_2}$ is compact we see that $K_{\infty}^1 / \mathcal{O}K^{\times}$is compact as well. We now record two volume computations we shall need later: LEMMA 212. Let $\mathfrak{c} \subset K$ be a fractional ideal. Then $\operatorname{vol}\left(K{\infty} / \mathfrak{c}\right)=N \mathfrak{c} \cdot V=2^{-r_2} N \mathfrak{c} \sqrt{\left|d_K\right|}$.
LEMMA 213. $\operatorname{vol}\left(K_{\infty}^1 / \mathcal{O}K\right)=\frac{1}{w} 2^{r_1}(2 \pi)^{r_2} R_K$ where $w=#\left(\mathcal{O}_K^{\times}\right){\text {tors }}$ is the numebr of roots of unity in $K$.

PROOF. We verified in Corollary 193 that Ker $\log \cap \mathcal{O}_K^{\times}$is exactly the group of roots of unity.

代數數論代写

数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Analytical continuation of the Riemann zetafunction

为了隹 $\varphi(x) \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ 和r $r 00$ 放 $\varphi(r \mathbb{Z}) \stackrel{\text { def }}{=} \sum_{n \neq 0} \varphi(r n)=\left(\sum_{x \in r \mathbb{Z}} \varphi(x)\right)-\varphi(0)$. 现在定义 zeta 积分
$$
Z(\varphi ; s)=\int_0^{\infty} \varphi(r \mathbb{Z}) r^s \frac{d r}{r} .
$$
REMARK 208. 请注意，我们可以假设 $\operatorname{wog} \Phi(r)$ 是偶数，所以我们可以认为这是一个积分 $\mathbb{R}^{\times} / \mathbb{Z}^{\times}$. $O\left(r^{-1}\right)$
证明。让 $N$ 均匀，让 $C$ 是这样的 $|\varphi(x)| \leq \frac{C}{1+x^N}$ 对所有人 $x \in \mathbb{R}$. 然后
$$
\left|\sum_{n=1}^{\infty} \varphi(r n)\right| \leq \int_0^{\infty} \frac{C}{1+(r x)^N} \mathrm{~d} x \quad=\left(\int_0^{\infty} \frac{C \mathrm{~d} x}{1+x^N}\right) r^{-N} .
$$

数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|The Dedekind Zetafunction

预赛。修复数字段 $K$ 学位 $n=[K: \mathbb{Q}]$. 认为 $K$ 有 $r_1$ (分别 $r_2$ ) 真实的 (resp。复杂的) 地方，以便 $r_1+2 r_2=n$.
让 $K_{\infty}=\bigoplus_{v \mid \infty} K_v$ 是其中的阿甚米德完备 $\mathcal{O} K$ 是一个格子。写 $\mathcal{C} K / \mathbb{Q}$ 对于互补模胗， $d_K$ 对于绝对判别和写 $V$ 对于共卷 $\operatorname{vol}\left(K_{\infty} / \mathcal{O}K\right)=2^{-r_2} \sqrt{\left|d_K\right|}$ 正如在引|理 183 中计算的那样。 让 1left 缺少或无法识别的分隔符，，并注意 $K{\infty}^1$ 包含单位的图像 $\mathcal{O} K^{\times}$. 回顾地图 $\log : K \infty^{\times} \rightarrow \mathbb{R}^{r_1+r_2 \text { 从部 }}$ 分4.4涐们在那里㩔示了 $\log \left(\mathcal{O} K^{\times}\right)$是格子超平面 $\log \left(K \infty^1\right)$, 并定义了调节器 $R_K$ 成为共卷vol $\left(\log \left(K_{\infty}^1\right) / \log \left(\mathcal{O} K^{\times}\right)\right)$. 的两个体积计算: LEMMA 212。让c $\subset K$ 是一个分数理想。然后vol $(K \infty / \mathrm{c})=N \mathrm{c} \cdot V=2^{-r_2} N \mathrm{c} \sqrt{\left|d_K\right|}$.
引理 213。vol $\left(K_{\infty}^1 / \mathcal{O K}\right)=\frac{1}{w} 2^{r_1}(2 \pi)^{r_2} R_K$ 在哪里你不能在数学模式下使用 “宏㣍数字符#”
是单位 根的数量 $K$.
证明。我们在准论 193 中验证了 Kerlog $\cap \mathcal{O}_K^{\times}$正是单位根群。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写代數數論Algebraic Number Theory MATH223这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。代數數論Algebraic Number Theory 是数论的一个分支，它使用抽象代数的技术来研究整数、有理数及其泛化。数论问题用代数对象的属性来表达，如代数数域及其整数环、有限域和函数域。这些属性，如一个环是否允许唯一的因式分解，理想的行为，以及场的伽罗瓦群，可以解决数论中最重要的问题，如狄方达方程的解的存在。

代數數論Algebraic Number Theory 费马最后定理是由皮埃尔-德-费马于1637年首次猜想出来的，著名的是在一本《算术》的空白处，他声称他有一个大到无法放入空白处的证明。尽管在这358年中，无数的数学家作出了努力，但直到1995年才有成功的证明发表。这个未解决的问题在19世纪刺激了代数数论的发展，在20世纪刺激了模块化定理的证明。

代數數論Algebraic Number Theory 代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。 最高质量的代數數論Algebraic Number Theory 作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此代數數論Algebraic Number Theory 作业代写的价格不固定。通常在专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。

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数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Geometry of Numbers

In this section, let $L / K$ be a finite separable extension such that the residue extension $k_L / k$ is also separable. Denote by $\pi_L$ (resp. $\pi_K$ ) a uniformizer of $L$ (resp. of $K$ ).
9.3.1. Norms of fractional ideals. – Note that both $\mathcal{O}L$ and $\mathcal{O}_K$ are Dedekind domains. We have the notion of fractional ideals on $L$ or on $K$. If $\mathfrak{a}$ is a fractional ideal of $L$, we define $$ v_L(\mathfrak{a})=\min {x \in \mathfrak{a}}\left{v_L(x)\right} \in \mathbb{Z},
$$
and call it the valuation of $\mathfrak{a}$. Then it is clear that $\mathfrak{a}=\left(\pi_L^{v_L(\mathfrak{a})}\right)$ We define the norm of $\mathfrak{a}$ as the fractional ideal of $K$ given by
$$
\mathrm{N}{L / K}(\mathfrak{a}):=\left(\mathrm{N}{L / K}\left(\pi_L\right)\right)^{v_L(\mathfrak{a})} .
$$
Lemma 9.3.2. – We have $v_K\left(\mathrm{~N}_{L / K}(\mathfrak{a})\right)=f(L \mid K) v_L(\mathfrak{a})$.

Proof. – It suffices to show that $v_K\left(\pi_L\right)=f(L \mid K)$. Let $L_0 / K$ denote the maximal unramified extension of $L / K$. Then $\mathrm{N}{L / K}\left(\pi_L\right)=\mathrm{N}{L_0 / K}\left(\mathrm{~N}{L / L_0}\left(\pi_L\right)\right)$. Since $L / L_0$ is totally ramified, we see that $\mathrm{N}{L / L_0}\left(\pi_L\right)$ is a uniformizer of $L_0$. Thus it suffices to show that for any uniformizer $\pi_{L_0}$ of $L_0$, we have
$$
v_K\left(\mathrm{~N}{L_0 / K}\left(\pi{L_0}\right)\right)=f(L \mid K) .
$$
As $L_0 / K$ is unramified, one has $\pi_{L_0}=\pi_K u$ for some unit $u \in \mathcal{O}{L_0}^{\times}$. Thus, we get $$ v_K\left(\mathrm{~N}{L_0 / K}\left(\pi_{L_0}\right)\right)=v\left(\mathrm{~N}_{L_0 / K}\left(\pi_K\right)\right)=f\left(L_0 \mid K\right)=f(L \mid K) .
$$

数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Different and discriminant

Different and discriminant. – The theory of different and discriminant for number fields has an analog for $L / K$. Recall that the bilinear form $\operatorname{Tr}{L / K}(x y)$ on $L$ is non-degenerate by Theorem $1.2 .4$. We put $$ \mathcal{O}_L^:=\left{x \in L: \operatorname{Tr}{L / K}(x y) \in \mathcal{O}K, \forall y \in \mathcal{O}_L\right} . $$ Then $\mathcal{O}_L^$ is a fractional ideal of $L$. It is clear that $\mathcal{O}_L \subseteq \mathcal{O}_L^$. We define the different of $L / K$ (or of $\mathcal{O}_L / \mathcal{O}_K$ ) as the ideal in $\mathcal{O}_L$ (9.3.3.1) $\quad \delta{L / K}:=\left(\mathcal{O}L^\right)^{-1}$.
and the discriminant of $L / K$ (or of $\mathcal{O}_L / \mathcal{O}_K$ ) as the ideal in $\mathcal{O}_K$
$$
\mathfrak{d}{L / K}:=\mathrm{N}{L / K}\left(\delta{L / K}\right) \text {. }
$$
Similar properties as in Section $3.3$ hold in our case. In particular, we have
Proposition 9.3.4. – Let $K^{\prime} / K$ be a sub-extension of $L / K$. Then we have
and
$$
\delta_{L / K}=\left(\delta_{K^{\prime} / K} \mathcal{O}L\right) \cdot \delta{L / K^{\prime}},
$$
$$
\mathfrak{d}{L / K}=\mathrm{N}{K^{\prime} / K}\left(\mathfrak{d}{L / K^{\prime}}\right) \mathfrak{d}{K^{\prime} / K}^{\left[L: K^{\prime}\right]} .
$$
Proof. – The proof is exactly the same as Proposition 3.3.5 and Corollary 3.3.6.
Applying this Proposition with $K^{\prime}$ equal to the maximal unramified sub-extension of $L / K$, we reduce the problem of computing $\delta_{L / K}$ to the case of $L_0 / K$ and $L / L_0$, i.e. it suffices to treat separately the unramified case and the totally ramified case.

代數數論代写

数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Geometry of Numbers

在本节中，让 $L / K$ 是一个有限的可分离扩展，使得残差扩展 $k_L / k$ 也是可分离的。表示为 $\pi_L$ (分别 $\pi_K$ ) 的均化器 $L$ (对应于 $K$ ).
9.3.1. 分数理想的规范。 – 注意两者 $\mathcal{O} L$ 和 $\mathcal{O}K$ 是 Dedekind 域。我们有分数理想的概念 $L$ 或在 $K$. 如果 $a$ 是一个分数理想 $L$, 我们定 义 〈left 缺少或无法识别的分隔符 并称之为估值 $\mathfrak{a}$. 那么很明显 $\mathfrak{a}=\left(\pi_L^{v L(\mathfrak{a})}\right)$ 我们定义范数 $\mathfrak{a}$ 作为分数理想 $K$ 由 $$ \mathrm{N} L / K(\mathfrak{a}):=\left(\mathrm{N} L / K\left(\pi_L\right)\right)^{v_L(\mathfrak{a})} . $$ 引理 9.3.2。 – 我们有 $v_K\left(\mathrm{~N}{L / K}(\mathfrak{a})\right)=f(L \mid K) v_L(\mathfrak{a})$.
证明。 $-一$ 足以证明 $v_K\left(\pi_L\right)=f(L \mid K)$. 让 $L_0 / K$ 表示的最大末分支扩展 $L / K$. 然后 $\mathrm{N} L / K\left(\pi_L\right)=\mathrm{N} L_0 / K\left(\mathrm{~N} L / L_0\left(\pi_L\right)\right)$. 自从 $L / L_0$ 是完全分支的，我们看到 $\mathrm{N} L / L_0\left(\pi_L\right)$ 是均匀化的 $L_0$. 因此足以表明对于 任何均化器 $\pi_{L_0}$ 的 $L_0$ ，我们有
$$
v_K\left(\mathrm{~N} L_0 / K\left(\pi L_0\right)\right)=f(L \mid K) .
$$
作为 $L_0 / K$ 是单一的，一个有 $\pi_{L_0}=\pi_K u$ 对于某些单位 $u \in \mathcal{O} L_0 \times$. 因此，我们得到
$$
v_K\left(\mathrm{~N} L_0 / K\left(\pi_{L_0}\right)\right)=v\left(\mathrm{~N}{L_0 / K}\left(\pi_K\right)\right)=f\left(L_0 \mid K\right)=f(L \mid K) . $$ discriminant 不同的和歧视的。 – 数域的不同和判别理论有一个模拟 $L / K$. 回想一下双线性形式 $\operatorname{Tr} L / K(x y)$ 上 $L$

数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Different and discriminant

根据定理是非退化的 $1.2 .4$. 我们把 \left 缺少或无法识别的分隔符 然后缺少上标或下标参数 是 个分数理想 $L$. 很清楚缺少上标或下标参数 我们定义不同的 $L / K$ (或属于 $\mathcal{O}_L / \mathcal{O}_K$ ) 作为理想的 $\mathcal{O}_L$ (9.3.3.1) 缺少 〈left 或额外的 〈right. 和判别式 $L / K$ (或属于 $\mathcal{O}_L / \mathcal{O}_K$ ) 作为理想的 $\mathcal{O}_K$ $$ \mathfrak{o} L / K:=\mathrm{N} L / K(\delta L / K) . $$ 与部分类似的属性 $3.3$ 坚持我们的情况。特别是，我们有 提宴 9.3.4。 – 让 $K^{\prime} / K$ 是的子扩展 $L / K$. 然后我们有 鸭子 $$ \begin{gathered} \delta{L / K}=\left(\delta_{K^{\prime} / K} \mathcal{O} L\right) \cdot \delta L / K^{\prime}, \
\mathfrak{d} L / K=\mathrm{N} K^{\prime} / K\left(\mathfrak{\jmath} L / K^{\prime}\right) \mathfrak{d} K^{\prime} / K^{\left[L: K^{\prime}\right]} .
\end{gathered}
$$
证明。 – 证明与鿖题 $3.3 .5$ 和推论 $3.3 .6$ 完全相同。
应用这个命题 $K^{\prime}$ 等于的最大末分支子扩展 $L / K$ ，我们減少了计算问题 $\delta_{L / K}$ 的情况下 $L_0 / K$ 和 $L / L_0$ ，即单独处理末分支的客例 和完全分支的案例就足够了。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。