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## 数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Definition and Simplest Properties

Consider a $g$-dimensional complex torus $\mathbb{C}^g / \Lambda$ where $\Lambda$ is a lattice of full rank:
$$\Lambda=A N+B M, \quad A, B \in g l(g, \mathbb{C}), N, M \in \mathbb{Z}^g,$$
and the $2 g$ columns of $A, B$ are $\mathbb{R}$-linearly independent. Non-constant meromorphic functions on $\mathbb{C}^g / \Lambda$ exist only (see, for example, [Sie71]) if the complex torus is an Abelian torus, i.e., if by an appropriate linear choice of coordinates on $\mathbb{C}^g$ the lattice (1.80) can be reduced to a special form: $A$ is a diagonal matrix of the form
$$A=2 \pi \mathrm{i} \operatorname{diag}\left(a_1=1, \ldots, a_g\right), \quad a_k \in \mathbb{N}, a_k \text { divides } a_{k+1},$$
and $B$ is a symmetric matrix with negative real part. An Abelian torus with $a_1=\ldots=a_g=1$ is called principally polarized. Jacobi varieties of Riemann surfaces are principally polarized Abelian tori. Meromorphic functions on Abelian tori are constructed in terms of theta functions, which are defined by their Fourier series.

Definition 31. Let $B$ be a symmetric $g \times g$ matrix with negative real part. The theta function is defined by the following series
$$\theta(z)=\sum_{m \in \mathbb{Z}^g} \exp \left{\frac{1}{2}(B m, m)+(z, m)\right}, \quad z \in \mathbb{C} .$$
Here
$$(B m, m)=\sum_{i j} B_{i j} m_i m_j, \quad(z, m)=\sum_j z_j m_j .$$

## 数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Theta Functions of Riemann Surfaces

From now on we consider an Abelian torus which is a Jacobi variety, $\mathbb{C} / \Lambda=$ $J a c(\mathcal{R})$. By combining the theta function with the Abel map, one obtains the following useful map on a Riemann surface:
$$\Theta(P):=\theta\left(\mathcal{A}{P_0}(P)-d\right), \quad \mathcal{A}{P_0}(P)=\int_{P_0}^P \omega .$$
Here we incorporated the base point $P_0 \in \mathcal{R}$ in the notation of the Abel map, and the parameter $d \in \mathbb{C}^g$ is arbitrary. The periodicity properties of the theta function (1.81) imply the following

Proposition 8. $\Theta(P)$ is an entire function on the universal covering $\tilde{\mathcal{R}}$ of $\mathcal{R}$. Under analytical continuation $\mathcal{M}{a_k}, \mathcal{M}{b_k}$ along a-and b-cycles on the Riemann surface, it is transformed as follows:
$$\begin{gathered} \mathcal{M}{a_k} \Theta(P)=\Theta(P), \ \mathcal{M}{b_k} \Theta(P)=\exp \left{-\frac{1}{2} B_{k k}-\int_{P_0}^P \omega_k+d_k\right} \Theta(P) . \end{gathered}$$
The zero divisor $(\Theta)$ of $\Theta(P)$ on $\mathcal{R}$ is well defined.
Theorem 22. The theta function $\Theta(P)$ either vanishes identically on $\mathcal{R}$ or has exactly $g$ zeros (counting multiplicities):
$$\operatorname{deg}(\Theta)=g .$$
Suppose $\Theta \not \equiv 0$. As in Sect. 1.4 consider the simply connected model $F_g$ of the Riemann surface. The differential $\mathrm{d} \log \Theta$ is well defined on $F_g$ and the number of zeros of $\Theta$ is equal to
$$\operatorname{deg}(\Theta)=\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \int_{\partial F_g} \mathrm{~d} \log \Theta(P) .$$

## 数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Definition and Simplest Properties

$$\Lambda=A N+B M, \quad A, B \in g l(g, \mathbb{C}), N, M \in \mathbb{Z}^g,$$

$$A=2 \pi \mathrm{i} \operatorname{diag}\left(a_1=1, \ldots, a_g\right), \quad a_k \in \mathbb{N}, a_k \text { divides } a_{k+1},$$
$B$是一个实部为负的对称矩阵。带$a_1=\ldots=a_g=1$的阿贝尔环面称为主极化环面。黎曼曲面的雅可比变体主要是极化的阿贝尔环面。阿贝尔环面上的亚纯函数是由函数构成的，而函数是由它们的傅立叶级数定义的。

$$\theta(z)=\sum_{m \in \mathbb{Z}^g} \exp \left{\frac{1}{2}(B m, m)+(z, m)\right}, \quad z \in \mathbb{C} .$$

$$(B m, m)=\sum_{i j} B_{i j} m_i m_j, \quad(z, m)=\sum_j z_j m_j .$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|泛函分析代写Functional Analysis代考|MATH510

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## avatest™帮您通过考试

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## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Examples of Variational Formulations

We shall study now various variational formulations for a model diffusion-convection-reaction problem. We will use both versions of the Closed Range Theorem (for continuous and for closed operators) to demonstrate that different formulations are simultaneously well posed.

Diffusion-Convection-Reaction Problem. Given a domain $\Omega \subset \mathbb{R}^N, N \geq 1$, we wish to determine $u(x), x \in \bar{\Omega}$, that satisfies the boundary-value problem:
\left{\begin{aligned} -\left(a_{i j} u_{, j}\right){, i}+\left(b_i u\right){, i}+c u & =f & & \text { in } \Omega \ u & =0 & & \text { on } \Gamma_1 \ a_{i j} u_{, j} n_j-b_i n_i u & =0 & & \text { on } \Gamma_2 \end{aligned}\right.
Coefficients $a_{i j}(x)=a_{j i}(x), b_i(x), c(x)$ represent (anisotropic) diffusion, advection, and reaction, and $f$ stands for a source term. We are using the Einstein summation convention, the simplified, engineering notation for derivatives,
$$u_{, i} \stackrel{\prime}{=} \frac{\partial u}{\partial x_i}$$
and $n_i$ denote components of the unit outward vector on $\Gamma$. For instance, we can think of $u(x)$ as the temperature at point $x$ and $f(x)$ as representing a heat source (sink) at $x . \Gamma_1, \Gamma_2$ represent two disjoint parts of the boundary. For simplicity of the exposition, we will deal with homogeneous boundary conditions only.

Additional Facts about Sobolev Spaces. We will need some additional fundamental facts about two energy spaces. The first is the already discussed classical $H^1$ Sobolev space consisting of all $L^2$-functions whose distributional derivatives are also functions, and they are $L^2$-integrable as well,
$$H^1(\Omega):=\left{u \in L^2(\Omega): \frac{\partial u}{\partial x_i} \in L^2(\Omega), i=1, \ldots, N\right}$$
The space is equipped with the norm,
$$|u|_{H^1}^2:=|u|^2+\sum_{i=1}^N\left|\frac{\partial u}{\partial x_i}\right|^2$$
where $|\cdot|$ denotes the $L^2$-norm. The second term constitutes a seminorm on $H^1(\Omega)$ and will be denoted by
$$|u|{H^1}^2:=\sum{i=1}^N\left|\frac{\partial u}{\partial x_i}\right|^2$$
The second space, $H(\operatorname{div}, \Omega)$, consists of all vector-valued $L^2$-integrable functions whose distributional divergence is also a function, and it is $L^2$-integrable,
$$H(\operatorname{div}, \Omega):=\left{\sigma=\left(\sigma_i\right)_{i=1}^N \in\left(L^2(\Omega)\right)^N: \operatorname{div} \sigma \in L^2(\Omega)\right}$$

The space is equipped with the norm,
$$|\sigma|_{H(\text { div })}^2:=|\sigma|^2+|\operatorname{div} \sigma|^2$$
where the $L^2$-norm of vector-valued functions is computed componentwise,
$$|\sigma|^2:=\sum_{i=1}^N\left|\sigma_i\right|^2$$
For both energy spaces, there exist trace operators that generalize the classical boundary trace for scalarvalued functions and boundary normal trace for vector-valued functions,
$$\left.u \rightarrow u\right|{\Gamma}, \quad \sigma \rightarrow \sigma_n=\left.\sum{i=1}^N \sigma_i\right|_{\Gamma} n_i$$

## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Examples of Variational Formulations

\left{\begin{aligned} -\left(a_{i j} u_{, j}\right){, i}+\left(b_i u\right){, i}+c u & =f & & \text { in } \Omega \ u & =0 & & \text { on } \Gamma_1 \ a_{i j} u_{, j} n_j-b_i n_i u & =0 & & \text { on } \Gamma_2 \end{aligned}\right.

$$u_{, i} \stackrel{\prime}{=} \frac{\partial u}{\partial x_i}$$
$n_i$表示$\Gamma$上单位向外向量的分量。例如，我们可以认为$u(x)$是$x$点的温度，$f(x)$代表热源(汇)，$x . \Gamma_1, \Gamma_2$代表边界的两个不相交的部分。为了说明的简单性，我们只处理齐次边界条件。

$$H^1(\Omega):=\left{u \in L^2(\Omega): \frac{\partial u}{\partial x_i} \in L^2(\Omega), i=1, \ldots, N\right}$$

$$|u|{H^1}^2:=|u|^2+\sum{i=1}^N\left|\frac{\partial u}{\partial x_i}\right|^2$$

$$|u|{H^1}^2:=\sum{i=1}^N\left|\frac{\partial u}{\partial x_i}\right|^2$$

$$H(\operatorname{div}, \Omega):=\left{\sigma=\left(\sigma_i\right)_{i=1}^N \in\left(L^2(\Omega)\right)^N: \operatorname{div} \sigma \in L^2(\Omega)\right}$$

$$|\sigma|{H(\text { div })}^2:=|\sigma|^2+|\operatorname{div} \sigma|^2$$ 其中向量值函数的$L^2$ -范数是按分量计算的， $$|\sigma|^2:=\sum{i=1}^N\left|\sigma_i\right|^2$$

$$\left.u \rightarrow u\right|{\Gamma}, \quad \sigma \rightarrow \sigma_n=\left.\sum{i=1}^N \sigma_i\right|_{\Gamma} n_i$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|泛函分析代写Functional Analysis代考|MA4551

avatest泛函分析functional analysis代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。avatest™， 最高质量的matlab作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于统计Statistics作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此matlab作业代写的价格不固定。通常在经济学专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。

## avatest™帮您通过考试

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## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Riesz Representation Theorem

The properties of the topological dual of a Hilbert space constitute one of the most important collection of ideas in Hilbert space theory and in the study of linear operators. We recall from our study of topological duals of Banach spaces in the previous chapter that the dual of a Hilbert space $V$ is the vector space $V^{\prime}$ consisting of all continuous linear functionals on $V$. If $f$ is a member of $V^{\prime}$ we write, as usual,
$$f(\boldsymbol{v})=\langle f, \boldsymbol{v}\rangle$$
where $\langle\cdot, \cdot\rangle$ denotes the duality pairing on $V^{\prime} \times V$. Recall that $V^{\prime}$ is a normed space equipped with the dual norm
$$|f|_{V^{\prime}}=\sup {\boldsymbol{v} \neq 0} \frac{\langle f, \boldsymbol{v}\rangle}{|\boldsymbol{v}|_V}$$ Now, in the case of Hilbert spaces, we have a ready-made device for constructing linear and continuous functionals on $V$ by means of the scalar product $(\cdot, \cdot)_V$. Indeed, if $\boldsymbol{u}$ is a fixed element of $V$, we may define a linear functional $f_u$ directly by $$f{\boldsymbol{u}}(\boldsymbol{v}) \stackrel{\text { def }}{=}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{u})=\overline{(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v})} \quad \forall \boldsymbol{v} \in V$$
This particular functional depends on the choice $\boldsymbol{u}$, and this suggests that we describe this correspondence by introducing an operator $R$ from $V$ into $V^{\prime}$ such that
$$R \boldsymbol{u}=f_{\boldsymbol{u}}$$
We have by the definition
$$\langle R \boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}\rangle=(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{u})=\overline{(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v})} \quad \forall \boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} \in V$$
Now, it is not clear at this point whether or not there might be some functionals in $V^{\prime}$ that cannot be represented by inner products on $V$. In fact, all we have shown up to now is that
$$R(V) \subset V^{\prime}$$

## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|The Adjoint of a Linear Operator

In Sections 5.16 and 5.18 we examined the properties of the transpose of linear and both continuous and closed operators defined on Banach spaces. In the case of Hilbert spaces those ideas can be further specialized leading to the idea of (topologically) adjoint operators (recall Section 2.15 for a discussion of the same notion in finite-dimensional spaces).
We set the stage for this discussion by reviewing some notations. Let
$U, V$ be (complex) Hilbert spaces with scalar products $(\cdot, \cdot)_U$ and $(\cdot, \cdot)_V$, respectively.
$U^{\prime}, V^{\prime}$ denote the topological duals of $U$ and $V$.
$\langle\cdot, \cdot\rangle_U$ and $\langle\cdot, \cdot\rangle_V$ denote the duality pairings on $U^{\prime} \times U$ and $V^{\prime} \times V$.
$R_U: U \rightarrow U^{\prime}, R_V: V \rightarrow V^{\prime}$ be the Riesz operators for $U$ and $V$, respectively, i.e.,
\begin{aligned} & \left\langle R_U \boldsymbol{u}, \boldsymbol{w}\right\rangle=(\boldsymbol{w}, \boldsymbol{u})_U \forall \boldsymbol{w} \in U \quad \text { and } \ & \left\langle R_V \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}\right\rangle=(\boldsymbol{w}, \boldsymbol{v})_V \forall \boldsymbol{w} \in V \end{aligned}

(Topological) Adjoint of a Continuous Operator. Let $A \in \mathcal{L}(U, V)$, i.e., let $A$ be a linear and continuous operator from $U$ into $V$. Recall that the topological transpose operator $A^{\prime} \in \mathcal{L}\left(V^{\prime}, U^{\prime}\right)$ was defined as
$$A^{\prime} v^{\prime}=v^{\prime} \circ A \quad \text { for } \quad v^{\prime} \in V^{\prime}$$
or, equivalently,
$$\left\langle A^{\prime} v^{\prime}, \boldsymbol{u}\right\rangle=\left\langle v^{\prime}, A \boldsymbol{u}\right\rangle \quad \forall \boldsymbol{u} \in U v^{\prime} \in V^{\prime}$$
The transpose $A^{\prime}$ of operator $A$ operates on the dual $V^{\prime}$ into the dual $U^{\prime}$. Existence of the Riesz operators establishing the correspondence between spaces $U, V$ and their duals $U^{\prime}, V^{\prime}$ prompts us to introduce the so-called (topological) adjoint operator $A^$ operating directly on the space $V$ into $U$ and defined as the composition $$A^ \stackrel{\text { def }}{=} R_U^{-1} \circ A^{\prime} \circ R_V$$

## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Riesz Representation Theorem

$$f(\boldsymbol{v})=\langle f, \boldsymbol{v}\rangle$$

$$|f|{V^{\prime}}=\sup {\boldsymbol{v} \neq 0} \frac{\langle f, \boldsymbol{v}\rangle}{|\boldsymbol{v}|_V}$$现在，在希尔伯特空间的情况下，我们有一个现成的装置来构造在$V$上的线性和连续泛函通过标量积$(\cdot, \cdot)_V$。的确，如果$\boldsymbol{u}$是$V$的一个固定元素，我们可以直接用$$f{\boldsymbol{u}}(\boldsymbol{v}) \stackrel{\text { def }}{=}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{u})=\overline{(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v})} \quad \forall \boldsymbol{v} \in V$$定义一个线性泛函$f_u$ 这个特殊的函数依赖于选择$\boldsymbol{u}$，这表明我们通过从$V$到$V^{\prime}$引入一个运算符$R$来描述这种对应关系，这样 $$R \boldsymbol{u}=f{\boldsymbol{u}}$$

$$\langle R \boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}\rangle=(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{u})=\overline{(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v})} \quad \forall \boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} \in V$$

$$R(V) \subset V^{\prime}$$

## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|The Adjoint of a Linear Operator

$U, V$分别为具有标量积$(\cdot, \cdot)_U$和$(\cdot, \cdot)_V$的(复)希尔伯特空间。
$U^{\prime}, V^{\prime}$表示$U$和$V$的拓扑对偶。
$\langle\cdot, \cdot\rangle_U$和$\langle\cdot, \cdot\rangle_V$表示$U^{\prime} \times U$和$V^{\prime} \times V$上的二元配对。
$R_U: U \rightarrow U^{\prime}, R_V: V \rightarrow V^{\prime}$分别为$U$和$V$的Riesz算符，即
\begin{aligned} & \left\langle R_U \boldsymbol{u}, \boldsymbol{w}\right\rangle=(\boldsymbol{w}, \boldsymbol{u})_U \forall \boldsymbol{w} \in U \quad \text { and } \ & \left\langle R_V \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}\right\rangle=(\boldsymbol{w}, \boldsymbol{v})_V \forall \boldsymbol{w} \in V \end{aligned}

$$A^{\prime} v^{\prime}=v^{\prime} \circ A \quad \text { for } \quad v^{\prime} \in V^{\prime}$$

$$\left\langle A^{\prime} v^{\prime}, \boldsymbol{u}\right\rangle=\left\langle v^{\prime}, A \boldsymbol{u}\right\rangle \quad \forall \boldsymbol{u} \in U v^{\prime} \in V^{\prime}$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|泛函分析代写Functional Analysis代考|MAT4450

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## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Solvability of Linear Equations in Banach Spaces, the Closed Range Theorem

In this section we shall examine a collection of ideas that are very important in the abstract theory of linear operator equations on Banach spaces. They concern the solvability of equations of the form
$$A \boldsymbol{u}=\boldsymbol{f}, \quad A: U \longrightarrow V$$
where $A$ is a linear and continuous operator from a normed space $U$ into a normed space $V$, and $f$ is an element of $V$. Obviously, this equation can represent systems of linear algebraic equations, partial differential equations, integral equations, etc., so that general theorems concerned with its solvability are very important.
The question about the existence of solutions $\boldsymbol{u}$ to the equation above, for a given $\boldsymbol{f}$, can obviously be rephrased as
when does $\boldsymbol{f} \in \mathcal{R}(A)$ ?
where $\mathcal{R}(A)$ denotes the range of $A$. The characterization of the range $\mathcal{R}(A)$ is therefore crucial to our problem.
From the definition of the transpose
$$\left\langle\boldsymbol{v}^{\prime}, A \boldsymbol{u}\right\rangle=\left\langle A^{\prime} \boldsymbol{v}^{\prime}, \boldsymbol{u}\right\rangle \quad \forall \boldsymbol{u} \in U, \boldsymbol{v}^{\prime} \in V^{\prime}$$
we have that
$$\boldsymbol{v}^{\prime} \in \mathcal{N}\left(A^{\prime}\right) \quad \Leftrightarrow \quad \boldsymbol{v}^{\prime} \in \mathcal{R}(A)^{\perp}$$
which can be restated as
$$\mathcal{R}(A)^{\perp}=\mathcal{N}\left(A^{\prime}\right)$$
By the same reasoning
$$\mathcal{R}\left(A^{\prime}\right)^{\perp}=\mathcal{N}(A)$$
Combining these observations with Proposition 5.16.2, we arrive at the following conclusion.

## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Quotient Normed Spaces

Quotient Normed Spaces. Let $U$ be a vector space and $M \subset U$ a subspace of $U$. In Chapter 2 we defined the quotient space $U / M$ consisting of equivalence classes of $\boldsymbol{u} \in U$ identified as affine subspaces of $U$ of the form
$$[\boldsymbol{u}]=\boldsymbol{u}+M={\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}: \boldsymbol{v} \in M}$$
If, in addition, $U$ is a normed space and $M$ is $c l o s e d$, the quotient space $U / M$ can be equipped with the norm
$$|[\boldsymbol{u}]|_{U / M} \stackrel{\text { def }}{=} \inf {\boldsymbol{v} \in[\boldsymbol{u}]}|\boldsymbol{v}|_U$$ Indeed, all properties of norms are satisfied: (i) $|[\boldsymbol{u}]|=0$ implies that there exists a sequence $\boldsymbol{v}_n \in[\boldsymbol{u}]$ such that $\boldsymbol{v}_n \rightarrow \mathbf{0}$. By closedness of $M$ and, therefore, of every equivalence class $[\boldsymbol{u}]$ (explain, why?), $\mathbf{0} \in[\boldsymbol{u}]$, which means that $[\boldsymbol{u}]=[\mathbf{0}]=M$ is the zero vector in the quotient space $U / M$. (ii) \begin{aligned} |\lambda[\boldsymbol{u}]| & =|[\lambda \boldsymbol{u}]| \ & =\inf {\lambda \boldsymbol{v} \in[\lambda \boldsymbol{u}]}|\lambda \boldsymbol{v}| \ & =|\lambda| \inf {\boldsymbol{v} \in[\boldsymbol{u}]}|\boldsymbol{v}|=|\lambda||[\boldsymbol{u}]| \end{aligned} (iii) Let $[\boldsymbol{u}],[\boldsymbol{v}] \in U / M$. Pick an arbitrary $\varepsilon>0$. Then, there exist $\boldsymbol{u}{\varepsilon} \in[\boldsymbol{u}]$ and $\boldsymbol{v}{\varepsilon} \in[\boldsymbol{v}]$ such that $$\left|\boldsymbol{u}{\varepsilon}\right| \leq|[\boldsymbol{u}]|_{U / M}+\frac{\varepsilon}{2} \text { and }\left|\boldsymbol{v}{\varepsilon}\right| \leq|[\boldsymbol{v}]|{U / M}+\frac{\varepsilon}{2}$$
Consequently
$$\left|\boldsymbol{u}{\varepsilon}+\boldsymbol{v}{\varepsilon}\right| \leq|[\boldsymbol{u}]|_{U / M}+|[\boldsymbol{v}]|_{U / M}+\varepsilon$$
But $\boldsymbol{u}{\varepsilon}+\boldsymbol{v}{\varepsilon} \in[\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}]$ and therefore taking the infimum on the left-hand side and passing to the limit with $\varepsilon \rightarrow 0$, we get the triangle inequality for the norm in $U / M$.

## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Solvability of Linear Equations in Banach Spaces, the Closed Range Theorem

$$A \boldsymbol{u}=\boldsymbol{f}, \quad A: U \longrightarrow V$$

$\boldsymbol{f} \in \mathcal{R}(A)$什么时候?

$$\left\langle\boldsymbol{v}^{\prime}, A \boldsymbol{u}\right\rangle=\left\langle A^{\prime} \boldsymbol{v}^{\prime}, \boldsymbol{u}\right\rangle \quad \forall \boldsymbol{u} \in U, \boldsymbol{v}^{\prime} \in V^{\prime}$$

$$\boldsymbol{v}^{\prime} \in \mathcal{N}\left(A^{\prime}\right) \quad \Leftrightarrow \quad \boldsymbol{v}^{\prime} \in \mathcal{R}(A)^{\perp}$$

$$\mathcal{R}(A)^{\perp}=\mathcal{N}\left(A^{\prime}\right)$$

$$\mathcal{R}\left(A^{\prime}\right)^{\perp}=\mathcal{N}(A)$$

## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Quotient Normed Spaces

$$[\boldsymbol{u}]=\boldsymbol{u}+M={\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}: \boldsymbol{v} \in M}$$

$$|[\boldsymbol{u}]|{U / M} \stackrel{\text { def }}{=} \inf {\boldsymbol{v} \in[\boldsymbol{u}]}|\boldsymbol{v}|_U$$的确，范数的所有性质都被满足:(i) $|[\boldsymbol{u}]|=0$暗示存在一个序列$\boldsymbol{v}_n \in[\boldsymbol{u}]$，使得$\boldsymbol{v}_n \rightarrow \mathbf{0}$。通过$M$的紧密性，因此，每个等价类$[\boldsymbol{u}]$(解释，为什么?)，$\mathbf{0} \in[\boldsymbol{u}]$，这意味着$[\boldsymbol{u}]=[\mathbf{0}]=M$是商空间$U / M$中的零向量。(ii) \begin{aligned} |\lambda[\boldsymbol{u}]| & =|[\lambda \boldsymbol{u}]| \ & =\inf {\lambda \boldsymbol{v} \in[\lambda \boldsymbol{u}]}|\lambda \boldsymbol{v}| \ & =|\lambda| \inf {\boldsymbol{v} \in[\boldsymbol{u}]}|\boldsymbol{v}|=|\lambda||[\boldsymbol{u}]| \end{aligned} (iii)让$[\boldsymbol{u}],[\boldsymbol{v}] \in U / M$。随便选一个$\varepsilon>0$。然后，存在$\boldsymbol{u}{\varepsilon} \in[\boldsymbol{u}]$和$\boldsymbol{v}{\varepsilon} \in[\boldsymbol{v}]$，使得$$\left|\boldsymbol{u}{\varepsilon}\right| \leq|[\boldsymbol{u}]|{U / M}+\frac{\varepsilon}{2} \text { and }\left|\boldsymbol{v}{\varepsilon}\right| \leq|[\boldsymbol{v}]|{U / M}+\frac{\varepsilon}{2}$$

$$\left|\boldsymbol{u}{\varepsilon}+\boldsymbol{v}{\varepsilon}\right| \leq|[\boldsymbol{u}]|{U / M}+|[\boldsymbol{v}]|{U / M}+\varepsilon$$

## MATLAB代写

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## 数学代写|泛函分析代写Functional Analysis代考|Closed Operators, Closed Graph Theorem

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## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Closed Operators, Closed Graph Theorem

We begin with some simple observations concerning Cartesian products of normed spaces. First of all, recall that if $X$ and $Y$ are vector spaces, then the Cartesian product $X \times Y$ is also a vector space with operations defined by
\begin{aligned} \left(\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{y}_1\right)+\left(\boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{y}_2\right) & \stackrel{\text { def }}{=}\left(\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{y}_1+\boldsymbol{y}_2\right) \ \alpha(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) & \stackrel{\text { def }}{=}(\alpha \boldsymbol{x}, \alpha \boldsymbol{y}) \end{aligned}
where the vector additions and multiplications by a scalar on the right-hand side are those in the $X$ and $Y$ spaces, respectively.

If additionally $X$ and $Y$ are normed spaces with norms $|\cdot|_X$ and $|\cdot|_Y$, respectively, then $X \times Y$ may be equipped with a (not unique) norm of the form
$$|(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})|= \begin{cases}\left(|\boldsymbol{x}|_X^p+|\boldsymbol{y}|_Y^p\right)^{\frac{1}{p}} & 1 \leq p<\infty \ \max \left{|\boldsymbol{x}|_X,|\boldsymbol{y}|_Y\right} & p=\infty\end{cases}$$
Finally, if $X$ and $Y$ are complete, then $X \times Y$ is also complete. Indeed, if $\left(\boldsymbol{x}_n, \boldsymbol{y}_n\right)$ is a Cauchy sequence in $X \times Y$, then $\boldsymbol{x}_n$ is a Cauchy sequence in $X$, and $\boldsymbol{y}_n$ is a Cauchy sequence in $Y$. Consequently both $\boldsymbol{x}_n$ and $\boldsymbol{y}_n$ have limits, say $\boldsymbol{x}$ and $\boldsymbol{y}$, and, therefore, by the definition of the norm in $X \times Y,\left(\boldsymbol{x}_n, \boldsymbol{y}_n\right) \rightarrow(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})$. Thus, if $X$ and $Y$ are Banach spaces, then $X \times Y$ is a Banach space, too.

## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Operators

Up to this point, all of the linear transformations from a vector space $X$ into a vector space $Y$ have been defined on the whole space $X$, i.e., their domain of definition coincided with the entire space $X$. In a more general situation, it may be useful to consider linear operators defined on a proper subspace of $X$ only (see Example 5.6.4). In fact, some authors reserve the name operator to such functions distinguishing them from transformations which are defined on the whole space.

Thus, in general, a linear operator $T$ from a vector space $X$ into a vector space $Y$ may be defined only on a proper subspace of $X$, denoted $D(T)$ and called the domain of definition of $T$, or concisely, the domain of $T:$
$$X \supset D(T) \ni \boldsymbol{x} \longrightarrow T \boldsymbol{x} \in Y$$
Note that in the case of linear operators, the domain $D(T)$ must be a vector subspace of $X$ (otherwise it would make no sense to speak of linearity of $T$ ).

Still, the choice of the domain is somehow arbitrary. Different domains with the same rule defining $T$ result formally in different operators in much the same fashion as functions are defined by specifying their domain, codomain, and the rule (see Chapter 1).

With every operator $T$ (not necessarily linear) we can associate its graph, denoted $G(T)$ and defined as graph $T=G(T) \stackrel{\text { def }}{=}{(\boldsymbol{x}, T \boldsymbol{x}): \boldsymbol{x} \in D(T)} \subset X \times Y$
(recall the discussion in Section 1.9).

## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Closed Operators, Closed Graph Theorem

\begin{aligned} \left(\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{y}_1\right)+\left(\boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{y}_2\right) & \stackrel{\text { def }}{=}\left(\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{y}_1+\boldsymbol{y}_2\right) \ \alpha(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) & \stackrel{\text { def }}{=}(\alpha \boldsymbol{x}, \alpha \boldsymbol{y}) \end{aligned}

$$|(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})|= \begin{cases}\left(|\boldsymbol{x}|_X^p+|\boldsymbol{y}|_Y^p\right)^{\frac{1}{p}} & 1 \leq p<\infty \ \max \left{|\boldsymbol{x}|_X,|\boldsymbol{y}|_Y\right} & p=\infty\end{cases}$$

## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Operators

$$X \supset D(T) \ni \boldsymbol{x} \longrightarrow T \boldsymbol{x} \in Y$$

(回想1.9节的讨论)。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|泛函分析代写Functional Analysis代考|Space of Test Functions

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## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Space of Test Functions

Functions with Compact Support. Let $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ be an open set and $u$ any real- (or complex-) valued function defined on $\Omega$. The closure of the set of all points $x \in \Omega$ for which $u$ takes non-zero values is called the support of $u$ :
$$\operatorname{supp} u \stackrel{\text { def }}{=} \overline{{x \in \Omega: u(x) \neq 0}}$$
Note that, due to the closure operation, the support of a function $u$ may include the points at which $u$ vanishes (see Fig. 5.1).

The collection of all infinitely differentiable functions defined on $\Omega$, whose supports are compact (i.e., bounded) and contained in $\Omega$, will be denoted as
$$C_0^{\infty}(\Omega) \stackrel{\text { def }}{=}\left{u \in C^{\infty}(\Omega): \operatorname{supp} u \subset \Omega, \quad \operatorname{supp} u \text { compact }\right}$$
Obviously, $C_0^{\infty}(\Omega)$ is a vector subspace of $C^{\infty}(\Omega)$.
Example 5.3.1
A standard example of a function in $C_0^{\infty}(\mathbb{R})$ is
$$\phi(x)= \begin{cases}\exp \left[1 /\left(x^2-a^2\right)\right] & |x|0) \ 0 & |x| \geq a\end{cases}$$

## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|The Hahn-Banach Theorem

In this section we establish a fundamental result concerning the extension of linear functionals on infinitedimensional vector spaces, the famous Hahn-Banach theorem. The result will be obtained in a general setting of arbitrary vector spaces and later on specialized in a more specific context.

Sublinear Functionals. Let $V$ be a real vector space. A functional $p: V \rightarrow \mathbb{R}$ is said to be sublinear iff
(i) $p(\alpha \boldsymbol{u})=\alpha p(\boldsymbol{u}) \quad \forall \alpha>0$
(ii) $p(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}) \leq p(\boldsymbol{u})+p(\boldsymbol{v}) \quad(p$ is subadditive $)$
for arbitrary vectors $\boldsymbol{u}$ and $\boldsymbol{v}$. Obviously, every linear functional is sublinear and every seminorm is sublinear as well.
THEOREM 5.4.1
(The Hahn-Banach Theorem)
Let $X$ be a real vector space, $p: X \rightarrow \mathbb{R}$ a sublinear functional on $X$, and $M \subset X$ a subspace of $X$. Consider $f: M \rightarrow \mathbb{R}$, a linear functional on $M\left(f \in M^*\right)$ dominated by $p$ on $M$, i.e.,
$$f(\boldsymbol{x}) \leq p(\boldsymbol{x}) \quad \forall \boldsymbol{x} \in M$$
Then, there exists a linear functional $F: X \rightarrow \mathbb{R}$ defined on the whole $X$ such that
(i) $\left.F\right|_M \equiv f$
(ii) $F(\boldsymbol{x}) \leq p(\boldsymbol{x}) \quad \forall \boldsymbol{x} \in X$
In other words, $F$ is an extension of $f$ dominated by $p$ on the whole $X$.

## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Space of Test Functions

$$\operatorname{supp} u \stackrel{\text { def }}{=} \overline{{x \in \Omega: u(x) \neq 0}}$$

$$C_0^{\infty}(\Omega) \stackrel{\text { def }}{=}\left{u \in C^{\infty}(\Omega): \operatorname{supp} u \subset \Omega, \quad \operatorname{supp} u \text { compact }\right}$$

$C_0^{\infty}(\mathbb{R})$中函数的标准示例如下
$$\phi(x)= \begin{cases}\exp \left[1 /\left(x^2-a^2\right)\right] & |x|0) \ 0 & |x| \geq a\end{cases}$$

## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|The Hahn-Banach Theorem

(i) $p(\alpha \boldsymbol{u})=\alpha p(\boldsymbol{u}) \quad \forall \alpha>0$
(ii) $p(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}) \leq p(\boldsymbol{u})+p(\boldsymbol{v}) \quad(p$是次加性的$)$

(哈恩-巴拿赫定理)

$$f(\boldsymbol{x}) \leq p(\boldsymbol{x}) \quad \forall \boldsymbol{x} \in M$$

(i) $\left.F\right|_M \equiv f$
(ii) $F(\boldsymbol{x}) \leq p(\boldsymbol{x}) \quad \forall \boldsymbol{x} \in X$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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## 数学代写|泛函分析代写Functional Analysis代考|Topological Properties of Metric Spaces

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## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Topological Properties of Metric Spaces

Let $X=(X, d)$ be a metric space. Defining, for every $x \in X$, the family $\mathcal{B}_x$ of neighborhoods of $x$ as the family of open balls centered at $x$
$$\mathcal{B}_x={B(x, \varepsilon), \varepsilon>0}$$
we introduce in $X$ a topology induced by the metric $d$. Thus every metric space is a topological space with the topology induced by the metric. Two immediate corollaries follow:
(i) Bases $\mathcal{B}_x$ are of countable type.
(ii) The metric topology is Hausdorff.
The first observation follows from the fact that $\mathcal{B}_x$ is equivalent to its subbase of the form
$$\left{B\left(x, \frac{1}{k}\right), \quad k=1,2, \ldots\right}$$
To prove the second assertion consider two distinct points $x \neq y$. We claim that balls $B(x, \varepsilon)$ and $B(y, \varepsilon)$, where $\varepsilon=d(x, y) / 2$, are disjoint. Indeed, if $z$ were a point belonging to the balls simultaneously, then
$$d(x, y) \leq d(x, z)+d(z, y)<\varepsilon+\varepsilon=d(x, y)$$
Thus all the results we have derived in the first five sections of this chapter for Hausdorff first countable topological spaces hold also for metric spaces. Let us briefly review some of them.

## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Open and Closed Sets in Metric Spaces

Open and Closed Sets in Metric Spaces. A set $G \subset X$ is open if and only if, for every point $x$ of $G$, there exists a ball $B(x, \varepsilon)$, centered at $x$, that is contained in $G$. A point $x$ is an accumulation point of a set $F$ if every ball centered at $x$ contains points from $F$ which are different from $x$, or, equivalently, there exists a sequence $x_n$ points of $F$ converging to $x$.
Note that a sequence $x_n$ converges to $x$ if and only if
$$\forall \varepsilon>0 \exists N=N(\varepsilon): d\left(x_n, x\right)<\varepsilon \quad \forall n \geq N$$
Finally, a set is closed if it contains all its accumulation points.
Continuity in Metric Spaces. Let $(X, d)$ and $(Y, \rho)$ be two metric spaces. Recall that a function $f: X \rightarrow$ $Y$ is continuous at $x_0$ if
$$f\left(\mathcal{B}{x_0}\right) \succ \mathcal{B}{f\left(x_0\right)}$$
or, equivalently,
$$\forall \varepsilon>0 \quad \exists \delta>0: f\left(B\left(x_0, \delta\right)\right) \subset B\left(f\left(x_0\right), \varepsilon\right)$$
The last condition can be put into a more familiar form of the definition of continuity for metric spaces $(\varepsilon-\delta$ continuity):
Function $f: X \rightarrow Y$ is continuous at $x_0$ if and only if for every $\varepsilon>0$ there is a $\delta=\delta\left(\varepsilon, x_0\right)$ such that
$$\rho\left(f(x), f\left(x_0\right)\right)<\varepsilon \quad \text { whenever } \quad d\left(x, x_0\right)<\delta$$ Note that number $\delta$ generally depends not only on $\varepsilon$, but also upon the choice of point $x_0$. If $\delta$ happens to be independent of $x_0$ for all $x_0$ from a set $E$, then $f$ is said to be uniformly continuous on $E$. Let us recall also that, since bases of neighborhoods are of countable type, i.e., metric spaces are first countable topological spaces, continuity in metric spaces is equivalent to sequential continuity: a function $f: X \rightarrow Y$ is continuous at $x_0$ if and only if $$f\left(x_n\right) \rightarrow f\left(x_0\right) \quad \text { whenever } \quad x_n \rightarrow x_0$$ Suppose now that there exists a constant $C>0$, such that
$$\rho(f(x), f(y)) \leq C d(x, y) \quad \text { for every } x, y \in E$$

## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Topological Properties of Metric Spaces

$$\mathcal{B}_x={B(x, \varepsilon), \varepsilon>0}$$

(i)基数$\mathcal{B}_x$为可数型。
(ii)度量拓扑是Hausdorff。

$$\left{B\left(x, \frac{1}{k}\right), \quad k=1,2, \ldots\right}$$

$$d(x, y) \leq d(x, z)+d(z, y)<\varepsilon+\varepsilon=d(x, y)$$

$$\forall \varepsilon>0 \exists N=N(\varepsilon): d\left(x_n, x\right)<\varepsilon \quad \forall n \geq N$$ 最后，如果一个集合包含了它所有的累加点，那么它就是封闭的。 度量空间的连续性。设$(X, d)$和$(Y, \rho)$是两个度量空间。回想一下，函数$f: X \rightarrow$$Y在x_0 if处是连续的$$ f\left(\mathcal{B}{x_0}\right) \succ \mathcal{B}{f\left(x_0\right)} $$或者，等价地，$$ \forall \varepsilon>0 \quad \exists \delta>0: f\left(B\left(x_0, \delta\right)\right) \subset B\left(f\left(x_0\right), \varepsilon\right) $$最后一个条件可以用更熟悉的度量空间连续性定义形式(\varepsilon-\delta continuity)表示: 函数f: X \rightarrow Y在x_0是连续的当且仅当对于每个\varepsilon>0有一个\delta=\delta\left(\varepsilon, x_0\right)使得$$ \rho\left(f(x), f\left(x_0\right)\right)<\varepsilon \quad \text { whenever } \quad d\left(x, x_0\right)<\delta $$请注意，数字\delta一般不仅取决于\varepsilon，还取决于点x_0的选择。如果对于一个集合E中的所有x_0, \delta恰好独立于x_0，那么f在E上是一致连续的。我们还回顾一下，由于邻域的基是可数型的，即度量空间是第一可数的拓扑空间，因此度量空间中的连续性等价于顺序连续性:一个函数f: X \rightarrow Y在x_0处连续当且仅当$$ f\left(x_n\right) \rightarrow f\left(x_0\right) \quad \text { whenever } \quad x_n \rightarrow x_0 $$，现在假设存在一个常数C>0，使得$$ \rho(f(x), f(y)) \leq C d(x, y) \quad \text { for every } x, y \in E $$数学代写|泛函分析代写Functional Analysis代考 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。 ## 微观经济学代写 微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。 ## 线性代数代写 线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。 ## 博弈论代写 现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。 ## 微积分代写 微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。 它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。 ## 计量经济学代写 什么是计量经济学？ 计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。 根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。 ## MATLAB代写 MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。 Posted on Categories:Riemann surface, 数学代写, 黎曼曲面 ## 数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|The Riemann-Hurwitz formula – Applications 如果你也在 怎样代写黎曼曲面Riemann surface 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。黎曼曲面Riemann surface在数学中，特别是在复杂分析中，黎曼面是一个相连的一维复杂流形。这些曲面最早是由Bernhard Riemann研究的，并以其名字命名。黎曼曲面可以被认为是复平面的变形版本：在每一个点附近，它们看起来都像复平面的补丁，但全局的拓扑结构可能是完全不同的。例如，它们可以像一个球体、一个环状体或几个片状体粘在一起。 黎曼曲面Riemann surface的主要兴趣在于它们之间可以定义全形函数。如今，黎曼曲面被认为是研究这些函数的全局行为的自然环境，尤其是多值函数，如平方根和其他代数函数，或对数。每个黎曼面都是一个二维实分析流形（即表面），但它包含更多的结构（特别是复数结构），这是全形函数的明确定义所需要的。一个二维实流形可以变成一个黎曼曲面（通常有几种不对等的方式），当且仅当它是可定向的和可计量的。因此，球体和环形体允许复杂的结构，但莫比乌斯带、克莱因瓶和实投影平面不允许。 黎曼曲面Riemann surface代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。 最高质量的黎曼曲面Riemann surfacen作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此黎曼曲面Riemann surface作业代写的价格不固定。通常在专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。 ## avatest™帮您通过考试 avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！ 在不断发展的过程中，avatest™如今已经成长为论文代写，留学生作业代写服务行业的翘楚和国际领先的教育集团。全体成员以诚信为圆心，以专业为半径，以贴心的服务时刻陪伴着您， 用专业的力量帮助国外学子取得学业上的成功。 •最快12小时交付 •200+ 英语母语导师 •70分以下全额退款 想知道您作业确定的价格吗? 免费下单以相关学科的专家能了解具体的要求之后在1-3个小时就提出价格。专家的 报价比上列的价格能便宜好几倍。 我们在数学Mathematics代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在黎曼曲面Riemann surface代写方面经验极为丰富，各种黎曼曲面Riemann surface相关的作业也就用不着说。 ## 数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|The Riemann-Hurwitz formula – Applications 6.1 Example: f: \mathbb{P}^1 \rightarrow \mathbb{P}^1 a polynomial of degree d. We have g(R)=g(S)=0, so RiemannHurwitz gives$$ -1=-d+\frac{1}{2} b $$or b=2(d-1). To see why that is, we pull the following theorem out of our algebraic hat. 6.2 Theorem: Let f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} be a polynomial mapping of degree d; then the total branching index over the finite branch points is exactly (d-1). This means that the equation f(x)=y has multiple roots for precisely (d-1) values of y, counting y k times when the equation f(x)-y has only d-k distinct roots. 6.3 Remark: This is quite clear in examples such as f(x)=x^n, or for any polynomial of degree 2. In general, f has multiple roots iff a certain expression – the discriminant of f – vanishes; and \operatorname{disc}(f(x)-\alpha) is a polynomial in \alpha of degree (d-1). For generic f, f-\alpha will have a double root for precisely (d-1) values of \alpha. Of course, reversing our arguments here will deduce thm. (6.2) from the Riemann-Hurwitz formula. But we need another (d-1) to agree with Riemann-Hurwitz. This of course comes from the point at \infty. ## 数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Proof of Riemann-Hurwitz To prove the Riemann-Hurwitz formula, we need to introduce a new notion – that of a triangulation of a surface – and give a rigorous definition of the Euler characteristic. To be completely rigorous, though, a mild digression on topological technology is required. 7.1 Definition: A topological space is second countable, or has a countable base, if it contains a countable family of open subsets U_n, such that every open set is a union of some of the U_n. 7.2 Example: A countable base for \mathbb{R} is the collection of open intervals with rational endpoints. The exact same argument for this also proves the following. 7.3 Proposition: A metric space has a countable base iff it contains a dense countable subset. 7.4 Remark: Such metric spaces are often called separable. Another easy observation is: 7.5 Proposition: A toplogical surface has a countable base iff it can be covered by countably many discs. In particular, compact surfaces have a countable base. Every connected surface you can easily imagine has a countable base, but Prüfer has given an example of a connected surface admitting none. Such examples are necessarily quite pathological; it is common to exclude them by building the ‘countable base’ requirement into the definition of a surface. 7.6 Remark: It turns out that one does not exclude any interesting Riemann surfaces by insisting on the countable base condition. That is, it can be proved that every connected Riemann surface has a countable base, even if the condition was not included in the definition to begin with. (The proof is not obvious; see, for example, Springer, Introduction to Riemann Surfaces; you’ll also find Prüfer’s example there.) The relevance of this topological techno-digression is the following theorem; ‘triangulable’ means pretty much what you’d think, but is defined precisely below. 7.7 Proposition: A connected surface is triangulable iff it admits a countable base. In particular, every Riemann surface is triangulable. (This was given a direct proof by Radò (1925).) ## 黎曼曲面代写 ## 数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|The Riemann-Hurwitz formula – Applications 6.1示例:f: \mathbb{P}^1 \rightarrow \mathbb{P}^1次多项式d。我们有g(R)=g(S)=0, riemanhurwitz给出$$ -1=-d+\frac{1}{2} b$$或者$b=2(d-1)$。 为了明白为什么会这样，我们从代数中推导出下面的定理。 6.2定理:设$f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$为次$d$的多项式映射;那么有限个分支点上的总分支索引正好是$(d-1)$。 这意味着对于$y$的$(d-1)$个值，方程$f(x)=y$有多个根，当方程$f(x)-y$只有$d-k$个不同的根时，计算$y k$次。 备注:这在$f(x)=x^n$或任何2次多项式的例子中是非常清楚的。一般来说，如果某个表达式($f$的判别式)消失，$f$有多个根;$\operatorname{disc}(f(x)-\alpha)$是$\alpha$次$(d-1)$的多项式。对于通用的$f, f-\alpha$将有一个双根，精确地表示$\alpha$的$(d-1)$值。当然，在这里颠倒我们的论点会推导出它们。(6.2)由Riemann-Hurwitz公式得到。 但我们需要另一个$(d-1)$来同意Riemann-Hurwitz的观点。这当然来自$\infty$。 ## 数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Proof of Riemann-Hurwitz 为了证明黎曼-赫尔维茨公式，我们需要引入一个新的概念——曲面的三角剖分——并给出欧拉特征的严格定义。不过，为了完全严谨，需要稍微离题一下拓扑技术。 7.1定义:一个拓扑空间是次可数的，或者有一个可数基，如果它包含一个可数的开子集族$U_n$，使得每个开集都是若干个$U_n$的并集。 7.2示例:$\mathbb{R}\$的可数基数是具有有理端点的开区间的集合。同样的论证也证明了以下几点。
7.3命题:度量空间如果包含密集可数子集，则具有可数基。
7.4注:这种度量空间通常称为可分离空间。

7.6注:结果表明，坚持可数基条件并不会排除任何有趣的黎曼曲面。也就是说，可以证明每一个连通的黎曼曲面都有一个可数基，即使这个条件一开始没有包含在定义中。(证据并不明显;例如，参见Springer的《黎曼曲面导论》;你也可以在这里找到普莱尔的例子。)

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。