Tag: MATH890

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黎曼曲面Riemann surface都是二维实解析流形(即曲面)，但它包含更多的结构(特别是复结构)，这是全纯函数的明确定义所需要的。当且仅当二维实流形具有可定向和可度量性时，流形才能转化为黎曼曲面(通常以几种不等价的方式)。因此球面和环面允许复杂结构，但Möbius条、克莱因瓶和实投影平面不允许。

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数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Definition and Simplest Properties

Consider a $g$-dimensional complex torus $\mathbb{C}^g / \Lambda$ where $\Lambda$ is a lattice of full rank:
$$
\Lambda=A N+B M, \quad A, B \in g l(g, \mathbb{C}), N, M \in \mathbb{Z}^g,
$$
and the $2 g$ columns of $A, B$ are $\mathbb{R}$-linearly independent. Non-constant meromorphic functions on $\mathbb{C}^g / \Lambda$ exist only (see, for example, [Sie71]) if the complex torus is an Abelian torus, i.e., if by an appropriate linear choice of coordinates on $\mathbb{C}^g$ the lattice (1.80) can be reduced to a special form: $A$ is a diagonal matrix of the form
$$
A=2 \pi \mathrm{i} \operatorname{diag}\left(a_1=1, \ldots, a_g\right), \quad a_k \in \mathbb{N}, a_k \text { divides } a_{k+1},
$$
and $B$ is a symmetric matrix with negative real part. An Abelian torus with $a_1=\ldots=a_g=1$ is called principally polarized. Jacobi varieties of Riemann surfaces are principally polarized Abelian tori. Meromorphic functions on Abelian tori are constructed in terms of theta functions, which are defined by their Fourier series.

Definition 31. Let $B$ be a symmetric $g \times g$ matrix with negative real part. The theta function is defined by the following series
$$
\theta(z)=\sum_{m \in \mathbb{Z}^g} \exp \left{\frac{1}{2}(B m, m)+(z, m)\right}, \quad z \in \mathbb{C} .
$$
Here
$$
(B m, m)=\sum_{i j} B_{i j} m_i m_j, \quad(z, m)=\sum_j z_j m_j .
$$

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Theta Functions of Riemann Surfaces

From now on we consider an Abelian torus which is a Jacobi variety, $\mathbb{C} / \Lambda=$ $J a c(\mathcal{R})$. By combining the theta function with the Abel map, one obtains the following useful map on a Riemann surface:
$$
\Theta(P):=\theta\left(\mathcal{A}{P_0}(P)-d\right), \quad \mathcal{A}{P_0}(P)=\int_{P_0}^P \omega .
$$
Here we incorporated the base point $P_0 \in \mathcal{R}$ in the notation of the Abel map, and the parameter $d \in \mathbb{C}^g$ is arbitrary. The periodicity properties of the theta function (1.81) imply the following

Proposition 8. $\Theta(P)$ is an entire function on the universal covering $\tilde{\mathcal{R}}$ of $\mathcal{R}$. Under analytical continuation $\mathcal{M}{a_k}, \mathcal{M}{b_k}$ along a-and b-cycles on the Riemann surface, it is transformed as follows:
$$
\begin{gathered}
\mathcal{M}{a_k} \Theta(P)=\Theta(P), \ \mathcal{M}{b_k} \Theta(P)=\exp \left{-\frac{1}{2} B_{k k}-\int_{P_0}^P \omega_k+d_k\right} \Theta(P) .
\end{gathered}
$$
The zero divisor $(\Theta)$ of $\Theta(P)$ on $\mathcal{R}$ is well defined.
Theorem 22. The theta function $\Theta(P)$ either vanishes identically on $\mathcal{R}$ or has exactly $g$ zeros (counting multiplicities):
$$
\operatorname{deg}(\Theta)=g .
$$
Suppose $\Theta \not \equiv 0$. As in Sect. 1.4 consider the simply connected model $F_g$ of the Riemann surface. The differential $\mathrm{d} \log \Theta$ is well defined on $F_g$ and the number of zeros of $\Theta$ is equal to
$$
\operatorname{deg}(\Theta)=\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \int_{\partial F_g} \mathrm{~d} \log \Theta(P) .
$$

黎曼曲面代写

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Definition and Simplest Properties

考虑一个$g$维复环面$\mathbb{C}^g / \Lambda$，其中$\Lambda$是一个满秩格:
$$
\Lambda=A N+B M, \quad A, B \in g l(g, \mathbb{C}), N, M \in \mathbb{Z}^g,
$$
而$A, B$的$2 g$列是$\mathbb{R}$ -线性无关的。$\mathbb{C}^g / \Lambda$上的非常数亚纯函数只有在复环面是阿贝尔环面的情况下才存在(例如，参见[si71])，即，如果在$\mathbb{C}^g$上通过适当的线性选择坐标，晶格(1.80)可以简化为特殊形式:$A$是以下形式的对角矩阵
$$
A=2 \pi \mathrm{i} \operatorname{diag}\left(a_1=1, \ldots, a_g\right), \quad a_k \in \mathbb{N}, a_k \text { divides } a_{k+1},
$$
$B$是一个实部为负的对称矩阵。带$a_1=\ldots=a_g=1$的阿贝尔环面称为主极化环面。黎曼曲面的雅可比变体主要是极化的阿贝尔环面。阿贝尔环面上的亚纯函数是由函数构成的，而函数是由它们的傅立叶级数定义的。

定义:设$B$为一个实部为负的对称$g \times g$矩阵。函数由下面的级数定义
$$
\theta(z)=\sum_{m \in \mathbb{Z}^g} \exp \left{\frac{1}{2}(B m, m)+(z, m)\right}, \quad z \in \mathbb{C} .
$$
这里
$$
(B m, m)=\sum_{i j} B_{i j} m_i m_j, \quad(z, m)=\sum_j z_j m_j .
$$

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Theta Functions of Riemann Surfaces

从现在开始，我们考虑一个阿贝尔环面它是雅可比变分，$\mathbb{C} / \Lambda=$$J a c(\mathcal{R})$。通过将函数与阿贝尔映射结合起来，可以在黎曼曲面上得到以下有用的映射:
$$
\Theta(P):=\theta\left(\mathcal{A}{P_0}(P)-d\right), \quad \mathcal{A}{P_0}(P)=\int_{P_0}^P \omega .
$$
这里我们将基点$P_0 \in \mathcal{R}$合并到Abel映射的符号中，参数$d \in \mathbb{C}^g$是任意的。函数(1.81)的周期性意味着以下几点

8号提案。$\Theta(P)$是一个全功能上的万能覆盖$\tilde{\mathcal{R}}$的$\mathcal{R}$。在Riemann曲面上沿a圈和b圈的解析延拓$\mathcal{M}{a_k}, \mathcal{M}{b_k}$下，变换为:
$$
\begin{gathered}
\mathcal{M}{a_k} \Theta(P)=\Theta(P), \ \mathcal{M}{b_k} \Theta(P)=\exp \left{-\frac{1}{2} B_{k k}-\int_{P_0}^P \omega_k+d_k\right} \Theta(P) .
\end{gathered}
$$
$\mathcal{R}$上$\Theta(P)$的零因子$(\Theta)$定义得很好。
定理22。函数$\Theta(P)$要么在$\mathcal{R}$上完全消失，要么有$g$个零(计算多重性):
$$
\operatorname{deg}(\Theta)=g .
$$
假设$\Theta \not \equiv 0$。如第1.4节所述，考虑黎曼曲面的单连通模型$F_g$。微分$\mathrm{d} \log \Theta$在$F_g$上定义得很好，$\Theta$的0个数等于
$$
\operatorname{deg}(\Theta)=\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \int_{\partial F_g} \mathrm{~d} \log \Theta(P) .
$$

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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黎曼曲面Riemann surface都是二维实解析流形(即曲面)，但它包含更多的结构(特别是复结构)，这是全纯函数的明确定义所需要的。当且仅当二维实流形具有可定向和可度量性时，流形才能转化为黎曼曲面(通常以几种不等价的方式)。因此球面和环面允许复杂结构，但Möbius条、克莱因瓶和实投影平面不允许。

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数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Abelian Differentials

Differentials on a Riemann surface are much easier to handle than functions, and they are the basic tool to investigate and construct functions.

If smooth complex valued functions $f(z, \bar{z}), p(z, \bar{z}), q(z, \bar{z}), s(z, \bar{z})$ are assigned to each local coordinate on $\mathcal{R}$ such that
$$
\begin{aligned}
f & =f(z, \bar{z}), \
\omega & =p(z, \bar{z}) \mathrm{d} z+q(z, \bar{z}) \mathrm{d} \bar{z}, \
S & =s(z, \bar{z}) \mathrm{d} z \wedge \mathrm{d} \bar{z}
\end{aligned}
$$
are invariant under coordinate changes (1.1), one says that the function ( 0 -form) $f$, the differential (1-form) $\omega$ and the 2 -form $S$ are defined on $\mathcal{R}$.
The 1 -form $\omega$ is called a form of type $(1,0)$ (resp. a form of type $(0,1)$ ) if it may locally be written $\omega=p \mathrm{~d} z$ (resp. $\omega=q \mathrm{~d} \bar{z}$ ). The space of differentials is obviously a direct sum of the subspaces of $(1,0)$ and $(0,1)$ forms.
The exterior product of two 1 -forms $\omega_1$ and $\omega_2$ is the 2 -form
$$
\omega_1 \wedge \omega_2=\left(p_1 q_2-p_2 q_1\right) \mathrm{d} z \wedge \mathrm{d} \bar{z} .
$$
The differential operator $d$, which transforms $k$-forms into $(k+1)$-forms is defined by
$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} f & =f_z \mathrm{~d} z+f_{\bar{z}} \mathrm{~d} \bar{z}, \
\mathrm{~d} \omega & =\left(q_z-p_{\bar{z}}\right) \mathrm{d} z \wedge \mathrm{d} \bar{z}, \
\mathrm{~d} S & =0 .
\end{aligned}
$$

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Abelian Differentials of the First, Second and Third Kind

Definition 17. A differential $\omega$ on a Riemann surface $\mathcal{R}$ is called holomorphic (or an Abelian differential of the first kind) if in any local chart it is represented as
$$
\omega=h(z) \mathrm{d} z
$$
where $h(z)$ is holomorphic. The differential $\bar{\omega}$ is called anti-holomorphic.
Holomorphic and anti-holomorphic differentials are closed.
Holomorphic differentials form a complex vector space $H^1(\mathcal{R}, \mathbb{C})$. It is not difficult to show that the dimension of this space is at most $g$. Indeed, Riemann’s bilinear identity with $\omega^{\prime}=\bar{\omega}$ implies that the periods $A_j, B_j$ of a holomorphic differential $\omega$ satisfy
$$
\operatorname{Im} \sum_{j=1}^g A_j \bar{B}j<0 . $$ Thus, if all $a$-periods of the holomorphic differential $\omega$ are zero then $\omega \equiv 0$. If $\omega_1, \ldots, \omega{g+1}$ are holomorphic, then there exists a linear combination of them with all zero $a$-periods, i.e., the differentials are linearly dependent.

Theorem 13. The dimension of the space of holomorphic differentials of a compact Riemann surface is equal to its genus
$$
\operatorname{dim} H^1(\mathcal{R}, \mathbb{C})=g(\mathcal{R}) .
$$

黎曼曲面代写

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Abelian Differentials

黎曼曲面上的微分比函数更容易处理，它们是研究和构造函数的基本工具。

如果将光滑复值函数$f(z, \bar{z}), p(z, \bar{z}), q(z, \bar{z}), s(z, \bar{z})$分配给$\mathcal{R}$上的每个局部坐标，这样
$$
\begin{aligned}
f & =f(z, \bar{z}), \
\omega & =p(z, \bar{z}) \mathrm{d} z+q(z, \bar{z}) \mathrm{d} \bar{z}, \
S & =s(z, \bar{z}) \mathrm{d} z \wedge \mathrm{d} \bar{z}
\end{aligned}
$$
在坐标变化(1.1)下是不变的，有人说函数(0 -形式)$f$，微分(1-形式)$\omega$和2 -形式$S$在$\mathcal{R}$上定义。
1 -表单$\omega$称为$(1,0)$类型的表单(参见:1 -表单)。一种类型$(0,1)$)的形式，如果它可以在本地写成$\omega=p \mathrm{~d} z$(参见。$\omega=q \mathrm{~d} \bar{z}$)。微分空间显然是$(1,0)$和$(0,1)$形式的子空间的直接和。
两种1型$\omega_1$和$\omega_2$的外积是2型
$$
\omega_1 \wedge \omega_2=\left(p_1 q_2-p_2 q_1\right) \mathrm{d} z \wedge \mathrm{d} \bar{z} .
$$
将$k$ -forms转换为$(k+1)$ -forms的微分运算符$d$定义为
$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} f & =f_z \mathrm{~d} z+f_{\bar{z}} \mathrm{~d} \bar{z}, \
\mathrm{~d} \omega & =\left(q_z-p_{\bar{z}}\right) \mathrm{d} z \wedge \mathrm{d} \bar{z}, \
\mathrm{~d} S & =0 .
\end{aligned}
$$

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Abelian Differentials of the First, Second and Third Kind

定义:微分 $\omega$ 在黎曼曲面上 $\mathcal{R}$ 被称为全纯的(或第一类阿贝尔微分)，如果在任何局部图中它被表示为
$$
\omega=h(z) \mathrm{d} z
$$
在哪里 $h(z)$ 是全纯的。微分 $\bar{\omega}$ 称为反全纯的。
全纯和反全纯微分是封闭的。
全纯微分形成一个复向量空间 $H^1(\mathcal{R}, \mathbb{C})$． 不难看出，这个空间的维数最多为 $g$． 事实上，黎曼的双线性恒等式 $\omega^{\prime}=\bar{\omega}$ 意味着周期 $A_j, B_j$ 全纯微分的 $\omega$ 满足
$$
\operatorname{Im} \sum_{j=1}^g A_j \bar{B}j<0 . $$ 因此，如果 $a$-全纯微分的周期 $\omega$ 都是0 $\omega \equiv 0$． 如果 $\omega_1, \ldots, \omega{g+1}$ 都是全纯的，那么它们是否存在一个全部为零的线性组合 $a$-周期，即微分是线性相关的。

定理13。紧致黎曼曲面的全纯微分空间的维数等于它的格
$$
\operatorname{dim} H^1(\mathcal{R}, \mathbb{C})=g(\mathcal{R}) .
$$

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博弈论代写

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微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Quotients Under Group Actions

Definition 4. Let $\Delta$ be a domain in $\mathbb{C}$. A group $G: \Delta \rightarrow \Delta$ of holomorphic transformations acts discontinuously on $\Delta$ if for any $P \in \Delta$ there exists a neighborhood $V \ni P$ such that
$$
g V \cap V=\emptyset, \quad \forall g \in G, \quad g \neq I .
$$
The quotient space $\Delta / G$ is defined by the equivalence relation
$$
P \sim P^{\prime} \Leftrightarrow \exists g \in G: P^{\prime}=g P .
$$
By the natural projection $\pi: \Delta \rightarrow \Delta / G$ every point is mapped to its equivalence class. Every point $P \in \Delta$ has a neighborhood $V$ satisfying (1.10). Then $U=\pi(V)$ is open and $\pi_{\left.\right|_V}: V \rightarrow U$ is a homeomorphism. Its inversion $z: U \rightarrow V \subset \Delta \subset \mathbb{C}$ is a local parameter. One can cover $\Delta / G$ by domains of this type. The transition functions are the corresponding group elements $g$; therefore they are holomorphic.
Theorem 2. $\Delta / G$ is a Riemann surface.

Tori
Let us consider the case $\Delta=\mathbb{C}$ and the group $G$ generated by two translations
$$
z \rightarrow z+w, \quad z \rightarrow z+w^{\prime},
$$
where $w, w^{\prime} \in \mathbb{C}$ are two non-parallel vectors, $\operatorname{Im} w^{\prime} / w \neq 0$, see Fig. 1.2. The group $G$ is commutative and consists of the elements
$$
g_{n, m}(z)=z+n w+m w^{\prime}, \quad n, m \in \mathbb{Z} .
$$
The factor $\mathbb{C} / G$ has a nice geometrical realization as the parallelogram
$$
T=\left{z \in \mathbb{C} \mid z=a w+b w^{\prime}, a, b \in[0,1)\right} .
$$
There are no $G$-equivalent points in $T$ and on the other hand every point in $\mathbb{C}$ is equivalent to some point in $T$. Since the edges of the parallelogram $T$ are $G$-equivalent $z \sim z+w, z \sim z+w^{\prime}, \mathcal{R}$ is a compact Riemann surface, which is topologically a torus. We discuss this case in more detail in Sect. 1.5.5.

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Polyhedral Surfaces as Riemann Surfaces

One can build a Riemann surface gluing together pieces of the complex plane $\mathbb{C}$.

Consider a finite set of disjoint polygons $F_i$ and identify isometrically pairs of edges in such a way that the result is a compact oriented polyhedral surface $\mathcal{P}$. A polyhedron in 3-dimensional Euclidean space is an example of such a surface.
Theorem 3. The polyhedral surface $\mathcal{P}$ is a Riemann surface.

In order to define a complex structure on a polyhedral surface let us distinguish three kinds of points (see Fig. 1.3):

1. Inner points of triangles
2. Inner points of edges
3. Vertices
   One can map isometrically the corresponding polygon $F_i$ (or pairs of neighboring polygons) into $\mathbb{C}$. This provides local parameters at the points of the first and the second kind. Let $P$ be a vertex and $F_i, \ldots, F_n$ the sequence of successive polygons with this vertex (see the point (iii) above). Denote by $\theta_i$ the angle of $F_i$ at $P$. Then define
   $$
   \gamma=\frac{2 \pi}{\sum_{i=1}^n \theta_i} .
   $$
   Consider a suitably small ball neighborhood of $\mathrm{P}$, which is the union $U^r=$ $\cup_i F_i^r$, where $F_i^r=\left{Q \in F_i|| Q-P \mid<r\right}$. Each $F_i^r$ is a sector with angle $\theta_i$ at $P$. We map it as above into $\mathbb{C}$ with $P$ mapped to the origin and then apply $z \mapsto z^\gamma$, which produces a sector with the angle $\gamma \theta_i$. The mappings corresponding to different polygons $F_i$ can be adjusted to provide a homeomorphism of $U^r$ onto a disc in $\mathbb{C}$. All transition functions of the constructed charts are holomorphic since they are compositions of maps of the form $z \mapsto a z+b$ and $z \mapsto z^\gamma$ (away from the origin).

It turns out that any compact Riemann surface can be recovered from some polyhedral surface [Bos].

黎曼曲面代写

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Quotients Under Group Actions

定义:让$\Delta$成为$\mathbb{C}$中的一个域名。一个全纯变换群$G: \Delta \rightarrow \Delta$不连续作用于$\Delta$，如果对于任意$P \in \Delta$存在一个邻域$V \ni P$，使得
$$
g V \cap V=\emptyset, \quad \forall g \in G, \quad g \neq I .
$$
商空间$\Delta / G$由等价关系定义
$$
P \sim P^{\prime} \Leftrightarrow \exists g \in G: P^{\prime}=g P .
$$
通过自然投影$\pi: \Delta \rightarrow \Delta / G$，每个点都映射到它的等价类。每个点$P \in \Delta$都有一个满足(1.10)的邻域$V$。那么$U=\pi(V)$是开放的，$\pi_{\left.\right|_V}: V \rightarrow U$是同胚。它的反转$z: U \rightarrow V \subset \Delta \subset \mathbb{C}$是一个局部参数。可以通过这种类型的域覆盖$\Delta / G$。过渡函数是对应的组元素$g$;因此它们是全纯的。
定理2。$\Delta / G$是一个黎曼曲面。

Tori
让我们考虑由两个翻译生成的情况$\Delta=\mathbb{C}$和组$G$
$$
z \rightarrow z+w, \quad z \rightarrow z+w^{\prime},
$$
其中$w, w^{\prime} \in \mathbb{C}$为两个非平行向量，$\operatorname{Im} w^{\prime} / w \neq 0$见图1.2。群$G$是可交换的，由元素组成
$$
g_{n, m}(z)=z+n w+m w^{\prime}, \quad n, m \in \mathbb{Z} .
$$
因子$\mathbb{C} / G$有一个很好的几何实现作为平行四边形
$$
T=\left{z \in \mathbb{C} \mid z=a w+b w^{\prime}, a, b \in[0,1)\right} .
$$
在$T$中没有$G$等价点，另一方面，$\mathbb{C}$中的每个点都等价于$T$中的某个点。由于平行四边形$T$的边是$G$相等的，$z \sim z+w, z \sim z+w^{\prime}, \mathcal{R}$是一个紧致的黎曼曲面，在拓扑上是一个环面。我们将在1.5.5节中更详细地讨论这种情况。

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Polyhedral Surfaces as Riemann Surfaces

我们可以把复杂平面的碎片粘合在一起，建立一个黎曼曲面$\mathbb{C}$。

考虑一组有限的不相交多边形$F_i$，并以这样一种方式确定等距边对，结果是一个紧致定向多面体表面$\mathcal{P}$。三维欧几里得空间中的多面体就是这种曲面的一个例子。
定理3。多面体曲面$\mathcal{P}$是一个黎曼曲面。

为了定义多面体表面上的复杂结构，我们区分三种点(如图1.3所示):

三角形的内点

边的内点

顶点
可以等距映射对应的多边形$F_i$(或相邻的多边形对)到$\mathbb{C}$。这在第一种和第二种点上提供了局部参数。设$P$为顶点，$F_i, \ldots, F_n$为具有该顶点的连续多边形序列(参见上文第(iii)点)。用$\theta_i$表示$F_i$在$P$处的角度。然后定义
$$
\gamma=\frac{2 \pi}{\sum_{i=1}^n \theta_i} .
$$
考虑一个合适的小球邻域$\mathrm{P}$，它是联合$U^r=$$\cup_i F_i^r$，其中$F_i^r=\left{Q \in F_i|| Q-P \mid<r\right}$。每个$F_i^r$是一个角$\theta_i$在$P$的扇形。如上所述，我们将其映射到$\mathbb{C}$，并将$P$映射到原点，然后应用$z \mapsto z^\gamma$，这将产生一个角度为$\gamma \theta_i$的扇区。可以调整对应于不同多边形$F_i$的映射，以提供$U^r$到$\mathbb{C}$中的光盘的同胚性。所有构造图的过渡函数都是全纯的，因为它们是$z \mapsto a z+b$和$z \mapsto z^\gamma$(远离原点)形式的映射的组合。

事实证明，任何紧致黎曼曲面都可以从某些多面体表面恢复[Bos]。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写黎曼曲面Riemann surface 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。黎曼曲面Riemann surface在数学中，特别是在复杂分析中，黎曼面是一个相连的一维复杂流形。这些曲面最早是由Bernhard Riemann研究的，并以其名字命名。黎曼曲面可以被认为是复平面的变形版本：在每一个点附近，它们看起来都像复平面的补丁，但全局的拓扑结构可能是完全不同的。例如，它们可以像一个球体、一个环状体或几个片状体粘在一起。

黎曼曲面Riemann surface的主要兴趣在于它们之间可以定义全形函数。如今，黎曼曲面被认为是研究这些函数的全局行为的自然环境，尤其是多值函数，如平方根和其他代数函数，或对数。每个黎曼面都是一个二维实分析流形（即表面），但它包含更多的结构（特别是复数结构），这是全形函数的明确定义所需要的。一个二维实流形可以变成一个黎曼曲面（通常有几种不对等的方式），当且仅当它是可定向的和可计量的。因此，球体和环形体允许复杂的结构，但莫比乌斯带、克莱因瓶和实投影平面不允许。

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数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|The Riemann-Hurwitz formula – Applications

6.1 Example: $f: \mathbb{P}^1 \rightarrow \mathbb{P}^1$ a polynomial of degree $d$. We have $g(R)=g(S)=0$, so RiemannHurwitz gives
$$
-1=-d+\frac{1}{2} b
$$
or $b=2(d-1)$.
To see why that is, we pull the following theorem out of our algebraic hat.
6.2 Theorem: Let $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ be a polynomial mapping of degree $d$; then the total branching index over the finite branch points is exactly $(d-1)$.

This means that the equation $f(x)=y$ has multiple roots for precisely $(d-1)$ values of $y$, counting $y k$ times when the equation $f(x)-y$ has only $d-k$ distinct roots.
6.3 Remark: This is quite clear in examples such as $f(x)=x^n$, or for any polynomial of degree 2. In general, $f$ has multiple roots iff a certain expression – the discriminant of $f$ – vanishes; and $\operatorname{disc}(f(x)-\alpha)$ is a polynomial in $\alpha$ of degree $(d-1)$. For generic $f, f-\alpha$ will have a double root for precisely $(d-1)$ values of $\alpha$. Of course, reversing our arguments here will deduce thm. (6.2) from the Riemann-Hurwitz formula.

But we need another $(d-1)$ to agree with Riemann-Hurwitz. This of course comes from the point at $\infty$.

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Proof of Riemann-Hurwitz

To prove the Riemann-Hurwitz formula, we need to introduce a new notion – that of a triangulation of a surface – and give a rigorous definition of the Euler characteristic. To be completely rigorous, though, a mild digression on topological technology is required.
7.1 Definition: A topological space is second countable, or has a countable base, if it contains a countable family of open subsets $U_n$, such that every open set is a union of some of the $U_n$.
7.2 Example: A countable base for $\mathbb{R}$ is the collection of open intervals with rational endpoints. The exact same argument for this also proves the following.
7.3 Proposition: A metric space has a countable base iff it contains a dense countable subset.
7.4 Remark: Such metric spaces are often called separable.
Another easy observation is:
7.5 Proposition: A toplogical surface has a countable base iff it can be covered by countably many discs.

In particular, compact surfaces have a countable base. Every connected surface you can easily imagine has a countable base, but Prüfer has given an example of a connected surface admitting none. Such examples are necessarily quite pathological; it is common to exclude them by building the ‘countable base’ requirement into the definition of a surface.
7.6 Remark: It turns out that one does not exclude any interesting Riemann surfaces by insisting on the countable base condition. That is, it can be proved that every connected Riemann surface has a countable base, even if the condition was not included in the definition to begin with. (The proof is not obvious; see, for example, Springer, Introduction to Riemann Surfaces; you’ll also find Prüfer’s example there.)

The relevance of this topological techno-digression is the following theorem; ‘triangulable’ means pretty much what you’d think, but is defined precisely below.
7.7 Proposition: A connected surface is triangulable iff it admits a countable base. In particular, every Riemann surface is triangulable. (This was given a direct proof by Radò (1925).)

黎曼曲面代写

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|The Riemann-Hurwitz formula – Applications

6.1示例:$f: \mathbb{P}^1 \rightarrow \mathbb{P}^1$次多项式$d$。我们有$g(R)=g(S)=0$, riemanhurwitz给出
$$
-1=-d+\frac{1}{2} b
$$
或者$b=2(d-1)$。
为了明白为什么会这样，我们从代数中推导出下面的定理。
6.2定理:设$f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$为次$d$的多项式映射;那么有限个分支点上的总分支索引正好是$(d-1)$。

这意味着对于$y$的$(d-1)$个值，方程$f(x)=y$有多个根，当方程$f(x)-y$只有$d-k$个不同的根时，计算$y k$次。
备注:这在$f(x)=x^n$或任何2次多项式的例子中是非常清楚的。一般来说，如果某个表达式($f$的判别式)消失，$f$有多个根;$\operatorname{disc}(f(x)-\alpha)$是$\alpha$次$(d-1)$的多项式。对于通用的$f, f-\alpha$将有一个双根，精确地表示$\alpha$的$(d-1)$值。当然，在这里颠倒我们的论点会推导出它们。(6.2)由Riemann-Hurwitz公式得到。

但我们需要另一个$(d-1)$来同意Riemann-Hurwitz的观点。这当然来自$\infty$。

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Proof of Riemann-Hurwitz

为了证明黎曼-赫尔维茨公式，我们需要引入一个新的概念——曲面的三角剖分——并给出欧拉特征的严格定义。不过，为了完全严谨，需要稍微离题一下拓扑技术。
7.1定义:一个拓扑空间是次可数的，或者有一个可数基，如果它包含一个可数的开子集族$U_n$，使得每个开集都是若干个$U_n$的并集。
7.2示例:$\mathbb{R}$的可数基数是具有有理端点的开区间的集合。同样的论证也证明了以下几点。
7.3命题:度量空间如果包含密集可数子集，则具有可数基。
7.4注:这种度量空间通常称为可分离空间。
另一个简单的观察是:
命题:如果一个拓扑表面可以被可数的圆盘覆盖，那么它就有一个可数的基。

特别地，紧致曲面具有可数基。你可以很容易地想象到每一个连通曲面都有一个可数的基底，但是普雷弗给出了一个没有基底的连通曲面的例子。这样的例子必然是非常病态的;通常通过在曲面的定义中建立“可计数基”要求来排除它们。
7.6注:结果表明，坚持可数基条件并不会排除任何有趣的黎曼曲面。也就是说，可以证明每一个连通的黎曼曲面都有一个可数基，即使这个条件一开始没有包含在定义中。(证据并不明显;例如，参见Springer的《黎曼曲面导论》;你也可以在这里找到普莱尔的例子。)

这个拓扑技术题外话的相关性是以下定理;“triangulable”的意思和你想的差不多，但具体定义如下。
7.7命题:连通曲面是可三角的，只要它有一个可数的底。特别地，每一个黎曼曲面都是可三角化的。(这是由Radò(1925)直接证明的。)

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数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Meromorphic functions and maps to P1

We now study the special case of holomorphic maps with target space $\mathbb{P}^1$. It turns out that we recover the more familiar notion of meromorphic function.
4.1 Definition: A function $f: U \rightarrow \mathbb{C} \cup{\infty}(U \subseteq \mathbb{C}$ open) is called meromorphic if it is holomorphic at every point where it has a finite value, whereas, near every point $z_0$ with $f\left(z_0\right)=\infty, f(z)=\phi(z) /\left(z-z_0\right)^n$ for some holomorphic function $\phi$, defined and non-zero around $z_0$. The positive number $n$ is the order of the pole at $z_0$.
4.2 Remark: Equivalently, we ask that, locally, $f=\phi / \psi$ with $\phi$ and $\psi$ holomorphic. We can always arrange that $\phi\left(z_0\right)$ or $\psi\left(z_0\right)$ are non-zero, by dividing out any $\left(z-z_0\right)$ power, and we define $a / 0=\infty$ for any $a \neq 0$.
4.3 Theorem: A meromorphic function on $U$ is the same as a holomorphic map $U \rightarrow \mathbb{P}^1$ which is not identically $\infty$.

Proof: Let $f$ be meromorphic. Clearly it defines a continuous map to $\mathbb{P}^1$, because $f(z) \rightarrow \infty$ near a pole. Clearly, also, it is holomorphic away from its poles. Holomorphicity near a pole $z_0$ means: for every function $g$, defined and holomorphic near $\infty \in \mathbb{P}^1, g \circ f$ is holomorphic near $z_0$. But $g$ is holomorphic at $\infty$ iff the function $h$ defined by
$$
h(z)= \begin{cases}g(1 / z) & \text { if } z \neq 0 \ g(\infty) & \text { if } z=0\end{cases}
$$
is holomorphic near 0. But then, $g \circ f=h(1 / f)=h\left(\left(z-z_0\right)^n / \phi(z)\right)$ which is holomorphic, being the composition of holomorphic functions. (Recall $\phi(z) \neq 0$ near $z_0$.)

Conversely, let $f: U \rightarrow \mathbb{P}^1$ be a holomorphic map. By definition, using the function $w \mapsto w$ defined on $\mathbb{C} \subset \mathbb{P}^1$, the composite function $f:\left(f^{-1}(\mathbb{C})=U \backslash f^{-1}(\infty)\right) \rightarrow \mathbb{C}$ is holomorphic; so we must only check the behaviour near the infinite value. For that, we use the function $w \mapsto 1 / w$ holomorphic on $\mathbb{P}^1 \backslash{0}$ and conclude that $1 / f$ is holomorphic on $U$, away from the zeroes of $f$. But then $f$ is meromorphic.

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Algebra with meromorphic functions

There is a slight difference between meromorphic functions and maps to $\mathbb{P}^1$; it stems from the condition that $f$ should not be identically $\infty$, to be called meromorphic. This has a significant consequence, as far as algebra is concerned:
4.7 Proposition: The meromorphic functions on a connected Riemann surface form a field, called the field of fractions of the Riemann surface.

Recall that a field is a set with associative and commutative operations, addition and multiplication, such that multiplication is distributive for addition; and, moreover, the ratio $a / b$ of any two elements, with $b$ not equal two zero, is defined and has the familiar property $a / b * b=a$.
Proof: This is clear from the local definition (4.1).
Remark: From another point of view, this may seem curious. Recall from calculus that certain arithmetic operations involving $\infty$ and 0 cannot be consistently defined: $\infty-\infty, \infty / \infty, 0 / 0$ and $\infty \cdot 0$ cannot be assigned meanings consistent with the usual arithmetic laws. For meromorphic functions, we assign a meaning to this undefined expressions by taking the limit of the nearby values of the function; the local expression (4.1) of a meromorphic function ensures that the limit exists.

黎曼曲面代写

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Meromorphic functions and maps to P1

现在我们研究具有目标空间的全纯映射的特殊情况 $\mathbb{P}^1$． 我们恢复了更熟悉的亚纯函数的概念。
4.1定义:函数 $f: U \rightarrow \mathbb{C} \cup{\infty}(U \subseteq \mathbb{C}$ 如果开(Open)在其有有限值的每一点上都是全纯的，则称其为亚纯的，而在每一点附近则称其为全纯的 $z_0$ 有 $f\left(z_0\right)=\infty, f(z)=\phi(z) /\left(z-z_0\right)^n$ 对于某个全纯函数 $\phi$，且周围是非零的 $z_0$． 正数 $n$ 杆子的顺序是多少 $z_0$．
4.2备注:同样，我们要求，在局部， $f=\phi / \psi$ 有 $\phi$ 和 $\psi$ 全纯的我们总是可以安排的 $\phi\left(z_0\right)$ 或 $\psi\left(z_0\right)$ 都是非零的，除以任何 $\left(z-z_0\right)$ 权力，我们定义 $a / 0=\infty$ 对于任何 $a \neq 0$．
定理:上的亚纯函数 $U$ 和全纯映射是一样的吗 $U \rightarrow \mathbb{P}^1$ 哪个是不相同的 $\infty$．

证明:设$f$是亚纯的。显然，它定义了一个到$\mathbb{P}^1$的连续映射，因为$f(z) \rightarrow \infty$靠近一个极点。很明显，它在远离极点的地方是全纯的。极点附近的全纯性$z_0$意味着:对于每一个函数$g$，在$\infty \in \mathbb{P}^1, g \circ f$附近定义的全纯在$z_0$附近是全纯的。但是$g$在$\infty$是全纯的如果函数$h$定义为
$$
h(z)= \begin{cases}g(1 / z) & \text { if } z \neq 0 \ g(\infty) & \text { if } z=0\end{cases}
$$
在0附近是全纯的。然后，$g \circ f=h(1 / f)=h\left(\left(z-z_0\right)^n / \phi(z)\right)$它是全纯的，是全纯函数的复合。(回想一下$z_0$附近的$\phi(z) \neq 0$。)

反过来，设$f: U \rightarrow \mathbb{P}^1$为全纯映射。根据定义，利用$\mathbb{C} \subset \mathbb{P}^1$上定义的函数$w \mapsto w$，复合函数$f:\left(f^{-1}(\mathbb{C})=U \backslash f^{-1}(\infty)\right) \rightarrow \mathbb{C}$是全纯的;所以我们必须只检查在无限值附近的行为。为此，我们使用$w \mapsto 1 / w$在$\mathbb{P}^1 \backslash{0}$上全纯的函数，并得出$1 / f$在$U$上是全纯的，远离$f$的零点。但是$f$是亚纯的。

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Algebra with meromorphic functions

亚纯函数和映射到$\mathbb{P}^1$之间有细微的区别;它源于$f$不应该相同$\infty$的条件，称为亚纯。就代数而言，这有一个重要的结果:
4.7命题:连通黎曼曲面上的亚纯函数形成一个场，称为黎曼曲面的分数场。

回想一下，一个域是一个具有结合律和交换律运算，加法和乘法的集合，使得乘法对加法是分配律;而且，任意两个元素的比值$a / b$，当$b$不等于2 0时，都是有定义的，并且具有我们熟悉的性质$a / b * b=a$。
证明:从局部定义(4.1)中可以清楚地看出这一点。
备注:从另一个角度来看，这似乎很奇怪。回想一下微积分中涉及$\infty$和0的某些算术运算不能被一致地定义:$\infty-\infty, \infty / \infty, 0 / 0$和$\infty \cdot 0$不能被赋予与通常算术定律一致的含义。对于亚纯函数，我们通过取函数附近值的极限来赋予这个未定义表达式意义;亚纯函数的局部表达式(4.1)保证了极限的存在。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写黎曼曲面Riemann surface 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。黎曼曲面Riemann surface在数学中，特别是在复杂分析中，黎曼面是一个相连的一维复杂流形。这些曲面最早是由Bernhard Riemann研究的，并以其名字命名。黎曼曲面可以被认为是复平面的变形版本：在每一个点附近，它们看起来都像复平面的补丁，但全局的拓扑结构可能是完全不同的。例如，它们可以像一个球体、一个环状体或几个片状体粘在一起。

黎曼曲面Riemann surface的主要兴趣在于它们之间可以定义全形函数。如今，黎曼曲面被认为是研究这些函数的全局行为的自然环境，尤其是多值函数，如平方根和其他代数函数，或对数。每个黎曼面都是一个二维实分析流形（即表面），但它包含更多的结构（特别是复数结构），这是全形函数的明确定义所需要的。一个二维实流形可以变成一个黎曼曲面（通常有几种不对等的方式），当且仅当它是可定向的和可计量的。因此，球体和环形体允许复杂的结构，但莫比乌斯带、克莱因瓶和实投影平面不允许。

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数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|What are Riemann surfaces?

Problem: Natural algebraic expressions have ‘ambiguities’ in their solutions; that is, they define multi-valued rather than single-valued functions.

In the real case, there is usually an obvious way to fix this ambiguity, by selecting one branch of the function. For example, consider $f(x)=\sqrt{x}$. For real $x$, this is only defined for $x \geq 0$, where we conventionally select the positive square root (Fig.1.1).

We get a continuous function $[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$, analytic everywhere except at 0 . Clearly, there is a problem at 0 , where the function is not differentiable; so this is the best we can do.

In the complex story, we take ‘ $w=\sqrt{z}$ ‘ to mean $w^2=z$; but, to get a single-valued function of $z$, we must make a choice, and a continuous choice requires a cut in the domain.

A standard way to do that is to define ‘ $\sqrt{z}$ ‘ $: \mathbb{C} \backslash \mathbb{R}^{-} \rightarrow \mathbb{C}$ to be the square root with positive real part. There is a unique such, for $z$ away from the negative real axis. This function is continuous and in fact complex-analytic, or holomorphic, away from the negative real axis.

A different choice for $\sqrt{z}$ is the square root with positive imaginary part. This is uniquely defined away from the positive real axis, and determines a complex-analytic function on $\mathbb{C} \backslash \mathbb{R}^{+}$.
In formulae: $z=r e^{i \theta} \Longrightarrow \sqrt{z}=\sqrt{r} e^{i \theta / 2}$, but in the first case we take $-\pi<\theta<\pi$, and, in the second, $0<\theta<2 \pi$.

Either way, there is no continuous extension of the function over the missing half-line: when $z$ approaches a point on the half-line from opposite sides, the limits of the chosen values of $\sqrt{z}$ differ by a sign. A restatement of this familiar problem is: starting at a point $z_0 \neq 0$ in the plane, any choice of $\sqrt{z_0}$, followed continuously around the origin once, will lead to the opposite choice of $\sqrt{z_0}$ upon return; $z_0$ needs to travel around the origin twice, before $\sqrt{z_0}$ travels once.

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|An interesting example

Let us conclude the lecture with an example of a Riemann surface with an interesting shape, which cannot be identified by projection (or in any other way) with the $z$-plane or the $w$-plane.
Start with the function $w=\sqrt{\left(z^2-1\right)\left(z^2-k^2\right)}$ where $k \in \mathbb{C}, k \neq \pm 1$, whose graph is the Riemann surface
$$
T=\left{(z, w) \in \mathbb{C}^2 \mid w^2=\left(z^2-1\right)\left(z^2-k^2\right)\right}
$$
There are two values for $w$ for every value of $z$, other than $z= \pm 1$ and $z= \pm k$, in which cases $w=0$. A real snapshot of the graph (when $k \in \mathbb{R}$ ) is indicated in Fig. (1.3), where the dotted lines indicate that the values are imaginary.

Near $z=1, z=1+\epsilon$ and the function is expressible as
$$
w=\sqrt{\epsilon(2+\epsilon)(1+\epsilon+k)(1+\epsilon-k)}=\sqrt{\epsilon} \sqrt{2+\epsilon} \sqrt{(1+k)+\epsilon} \sqrt{(1-k)+\epsilon} .
$$
A choice of sign for $\sqrt{2(1+k)(1-k)}$ leads to a holomorphic function $\sqrt{2+\epsilon} \sqrt{(1+k)+\epsilon} \sqrt{(1-k)+\epsilon}$ for small $\epsilon$, so $w=\sqrt{\epsilon} \times$ (a holomorphic function of $\epsilon$ ), and the qualitative behaviour of the function near $w=1$ is like that of $\sqrt{\epsilon}=\sqrt{z-1}$.

Similarly, $w$ behaves like the square root near $-1, \pm k$. The important thing is that there is no continuous single-valued choice of $w$ near these points: any choice of $w$, followed continuously round any of the four points, leads to the opposite choice upon return.

Defining a continuous branch for the function necessitates some cuts. The simplest way is to remove the open line segments joining 1 with $k$ and -1 with $-k$. On the complement of these segments, we can make a continuous choice of $w$, which gives an analytic function (for $z \neq \pm 1, \pm k$ ). The other ‘branch’ of the graph is obtained by a global change of sign.

黎曼曲面代写

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|What are Riemann surfaces?

问题:自然代数表达式的解具有“模糊性”;也就是说，它们定义了多值函数而不是单值函数。

在实际情况中，通常有一种明显的方法来解决这种歧义，即选择函数的一个分支。例如，考虑$f(x)=\sqrt{x}$。对于真实的$x$，这只定义为$x \geq 0$，我们通常选择正平方根(图1.1)。

我们得到一个连续函数$[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$，除0点外处处是解析函数。显然，在0处有个问题，函数不可微;这是我们能做的最好的了。

在这个复杂的故事中，我们用$w=\sqrt{z}$表示$w^2=z$;但是，为了得到$z$的单值函数，我们必须做出选择，而连续的选择需要在定义域内进行切割。

一个标准的方法是定义’ $\sqrt{z}$ ‘ $: \mathbb{C} \backslash \mathbb{R}^{-} \rightarrow \mathbb{C}$为实部为正的平方根。有一个唯一的这样，对于$z$远离负实轴。这个函数是连续的，实际上是复解析的，或者说是全纯的，远离负实轴。

$\sqrt{z}$的另一个选项是虚部为正的平方根。这是唯一的定义远离正实轴，并确定在$\mathbb{C} \backslash \mathbb{R}^{+}$上的复解析函数。
在公式中:$z=r e^{i \theta} \Longrightarrow \sqrt{z}=\sqrt{r} e^{i \theta / 2}$，但在第一种情况下我们取$-\pi<\theta<\pi$，在第二种情况下取$0<\theta<2 \pi$。

无论哪种方式，在缺失的半线上都没有函数的连续扩展:当$z$从相对的两侧接近半线上的一点时，$\sqrt{z}$所选值的极限相差一个符号。这个熟悉的问题的重述是:从平面上的一点$z_0 \neq 0$开始，任何选择$\sqrt{z_0}$，绕着原点连续走一圈，返回时将导致相反的选择$\sqrt{z_0}$;$z_0$需要绕原点转两圈，在$\sqrt{z_0}$转一圈之前。

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|An interesting example

让我们以一个具有有趣形状的黎曼曲面的例子来结束讲座，它不能通过投影(或任何其他方式)与$z$ -平面或$w$ -平面识别。
从函数$w=\sqrt{\left(z^2-1\right)\left(z^2-k^2\right)}$开始，其中$k \in \mathbb{C}, k \neq \pm 1$，它的图形是黎曼曲面
$$
T=\left{(z, w) \in \mathbb{C}^2 \mid w^2=\left(z^2-1\right)\left(z^2-k^2\right)\right}
$$
对于每个$z$的值，$w$有两个值，除了$z= \pm 1$和$z= \pm k$，在这种情况下$w=0$。图(1.3)显示了图形的真实快照(当$k \in \mathbb{R}$时)，其中虚线表示值是虚构的。

在$z=1, z=1+\epsilon$附近，函数可表示为
$$
w=\sqrt{\epsilon(2+\epsilon)(1+\epsilon+k)(1+\epsilon-k)}=\sqrt{\epsilon} \sqrt{2+\epsilon} \sqrt{(1+k)+\epsilon} \sqrt{(1-k)+\epsilon} .
$$
选择$\sqrt{2(1+k)(1-k)}$的符号导致小$\epsilon$的全纯函数$\sqrt{2+\epsilon} \sqrt{(1+k)+\epsilon} \sqrt{(1-k)+\epsilon}$，因此$w=\sqrt{\epsilon} \times$ ($\epsilon$的全纯函数)，并且该函数在$w=1$附近的定性行为类似于$\sqrt{\epsilon}=\sqrt{z-1}$。

类似地，$w$的行为类似于$-1, \pm k$附近的平方根。重要的是，在这些点附近没有连续的单值选择$w$:任何选择$w$，连续地绕过四个点中的任何一个，返回时都会导致相反的选择。

定义函数的连续分支需要进行一些切割。最简单的方法是删除连接1与$k$和-1与$-k$的开放线段。在这些段的补上，我们可以连续选择$w$，这给出了一个解析函数(对于$z \neq \pm 1, \pm k$)。图的另一个“分支”是通过全局符号变化得到的。

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它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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黎曼曲面Riemann surface的主要兴趣在于它们之间可以定义全形函数。如今，黎曼曲面被认为是研究这些函数的全局行为的自然环境，尤其是多值函数，如平方根和其他代数函数，或对数。每个黎曼面都是一个二维实分析流形（即表面），但它包含更多的结构（特别是复数结构），这是全形函数的明确定义所需要的。一个二维实流形可以变成一个黎曼曲面（通常有几种不对等的方式），当且仅当它是可定向的和可计量的。因此，球体和环形体允许复杂的结构，但莫比乌斯带、克莱因瓶和实投影平面不允许。

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数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Continuous dynamics on Riemann surfaces

In this chapter, we shall look at dynamics from another point of view. Let $X$ be a Riemann surface; then $\operatorname{Hol}(X, X)$, endowed, as usual, with the compact-open topology, is a topological semigroup with identity, i. e., the operation given by the composition $(f, g) \mapsto f \circ g$ is continuous, associative, and has an identity. From this point of view, a semigroup homomorphism $\Phi: \mathbb{N} \rightarrow \operatorname{Hol}(X, X)$ is the same thing as the sequence of iterates of the single function $\Phi(1)$. In other words, in the previous chapters we have actually studied semigroup homomorphisms of $\mathbb{N}$ into $\operatorname{Hol}(X, X)$.

From this point of view, a natural generalization of the sequence of iterates is a one-parameter semigroup, i. e., a continuous semigroup homomorphism $\Phi: \mathbb{R}^{+} \rightarrow$ $\operatorname{Hol}(X, X)$. In this chapter, we shall thoroughly study these objects, aiming toward a complete classification. This will be possible because on Riemann surfaces with nonAbelian fundamental group every one-parameter semigroup $\Phi$ is trivial, i. e., $\Phi_t=\mathrm{id}_X$ for all $t \geq 0$. Furthermore, the one-parameter semigroups on other Riemann surfaces different from the disk can be classified (Section 5.3); so the main problem is the description of one-parameter semigroups on $\mathbb{D}$.

We shall actually provide several different descriptions of one-parameter semigroups on $\mathbb{D}$, useful in different contexts. We shall show how to relate one-parameter semigroups to Cauchy problems and ordinary differential equations, proving that a semigroup is completely determined by a holomorphic function $F: \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{C}$, its infinitesimal generator. We shall give both a differential characterization and a completely explicit description of infinitesimal generators. Finally, we shall show how to replace $\mathbb{D}$ by another simply connected domain (in essentially a unique way) so to express a generic one-parameter semigroup in a particularly simple form; in a sense we shall transfer the analytic intricacies of one-parameter semigroups in a geometrically simple domain as $\mathbb{D}$ to the geometrical intricacies of a domain of definition for analytically very simple one-parameter semigroups, expressed in terms of affine maps.

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Algebraic semigroup homomorphisms

In this section, we collect some well-known facts about algebraic semigroups homomorphism of $\mathbb{R}^{+}$into other groups or semigroups that we shall need later. In this section, as operation on $\mathbb{R}^{+}$we shall always consider the sum, that makes $\mathbb{R}^{+}$in a semigroup but of course not a group. Moreover, we shall put $\mathbb{R}^{+}=(0,+\infty)$, so that $\left(\mathbb{R}^{+}, \cdot\right)$ is a topological group.

Definition 5.1.1. Let $G$ be a semigroup with identity element $e$. A function $\Phi: \mathbb{R}^{+} \rightarrow G$ is a semigroup homomorphism if $\Phi(0)=e$ and $\Phi(t+s)=\Phi(t) \circ \Phi(s)$ for all $t, s \geq 0$, where – denotes the operation in $G$. In the sequel, we shall often write $\Phi_t$ instead of $\Phi(t)$.
Lemma 5.1.2. Let $G$ be a group. Then:
(i) every semigroup homomorphism $\Phi: \mathbb{R}^{+} \rightarrow G$ can be extended in a unique way to a group homomorphism $\tilde{\Phi}: \mathbb{R} \rightarrow G$; in particular, if $G$ is a topological group and $\Phi$ is continuous, then $\Phi$ is continuous too;
(ii) if $G$ is finite, then every semigroup homomorphism $\Phi: \mathbb{R}^{+} \rightarrow G$ is trivial.
Proof. (i) The (unique) extension is obviously given by
$$
\tilde{\Phi}(t)= \begin{cases}\Phi(t) & \text { if } t \geq 0 ; \ {[\Phi(-t)]^{-1}} & \text { if } t \leq 0,\end{cases}
$$
where $[\cdot]^{-1}$ denotes the inverse operator in $G$. The continuity of $\tilde{\Phi}$ follows immediately from the continuity of the group operations.

黎曼曲面代写

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Continuous dynamics on Riemann surfaces

在本章中，我们将从另一个角度来看动力学。设$X$为黎曼曲面;那么$\operatorname{Hol}(X, X)$，像往常一样，被赋予紧开拓扑，是一个具有恒等的拓扑半群，即复合$(f, g) \mapsto f \circ g$所给出的运算是连续的，结合的，并且具有恒等。从这个角度来看，半群同态$\Phi: \mathbb{N} \rightarrow \operatorname{Hol}(X, X)$与单个函数$\Phi(1)$的迭代序列是一样的。换句话说，在前面的章节中，我们实际上已经研究了$\mathbb{N}$到$\operatorname{Hol}(X, X)$的半群同态。

从这个角度来看，迭代序列的自然推广是一个单参数半群，即连续半群同态$\Phi: \mathbb{R}^{+} \rightarrow$$\operatorname{Hol}(X, X)$。在本章中，我们将对这些对象进行深入的研究，以期进行完整的分类。这是可能的，因为在具有非阿贝尔基本群的黎曼曲面上，每一个单参数半群$\Phi$都是平凡的，即$\Phi_t=\mathrm{id}_X$对于所有$t \geq 0$。此外，不同于圆盘的其他黎曼曲面上的单参数半群可以被分类(第5.3节);所以主要的问题是$\mathbb{D}$上的单参数半群的描述。

实际上，我们将在$\mathbb{D}$上提供对单参数半群的几种不同描述，这些描述在不同的上下文中都很有用。我们将展示如何将单参数半群与柯西问题和常微分方程联系起来，证明一个半群是完全由一个全纯函数$F: \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{C}$，它的无穷小生成器决定的。我们将给出无穷小发生器的微分表征和完全显式描述。最后，我们将展示如何用另一个单连通域(实质上是一种独特的方式)代替$\mathbb{D}$，以便用一种特别简单的形式表示一般的单参数半群;在某种意义上，我们将把几何简单域上单参数半群的解析复杂性(如$\mathbb{D}$)转移到用仿射映射表示的解析非常简单单参数半群的定义域上的几何复杂性。

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Algebraic semigroup homomorphisms

在这一节中，我们收集了一些关于代数半群的众所周知的事实，$\mathbb{R}^{+}$的同态到其他群或半群中，我们将在后面用到。在本节中，作为对$\mathbb{R}^{+}$的操作，我们将始终考虑使$\mathbb{R}^{+}$属于半群而不是群的和。此外，我们将放入$\mathbb{R}^{+}=(0,+\infty)$，因此$\left(\mathbb{R}^{+}, \cdot\right)$是一个拓扑群。

5.1.1.定义设$G$为具有单位元素$e$的半群。如果$\Phi(0)=e$和$\Phi(t+s)=\Phi(t) \circ \Phi(s)$对所有$t, s \geq 0$都是半群同态，则函数$\Phi: \mathbb{R}^{+} \rightarrow G$是半群同态，其中-表示$G$中的操作。在续集中，我们将经常写$\Phi_t$而不是$\Phi(t)$。
引理5.1.2。让$G$成为一个团体。然后:
(i)每一个半群同态$\Phi: \mathbb{R}^{+} \rightarrow G$都能以唯一的方式推广到群同态$\tilde{\Phi}: \mathbb{R} \rightarrow G$;特别地，如果$G$是拓扑群并且$\Phi$是连续的，那么$\Phi$也是连续的;
(ii)如果$G$是有限的，则所有半群同态$\Phi: \mathbb{R}^{+} \rightarrow G$都是平凡的。
证明。(i)(唯一)扩展显然由
$$
\tilde{\Phi}(t)= \begin{cases}\Phi(t) & \text { if } t \geq 0 ; \ {[\Phi(-t)]^{-1}} & \text { if } t \leq 0,\end{cases}
$$
其中$[\cdot]^{-1}$为$G$中的逆算子。$\tilde{\Phi}$的连续性紧随集团业务的连续性。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写黎曼曲面Riemann surface 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。黎曼曲面Riemann surface在数学中，特别是在复杂分析中，黎曼面是一个相连的一维复杂流形。这些曲面最早是由Bernhard Riemann研究的，并以其名字命名。黎曼曲面可以被认为是复平面的变形版本：在每一个点附近，它们看起来都像复平面的补丁，但全局的拓扑结构可能是完全不同的。例如，它们可以像一个球体、一个环状体或几个片状体粘在一起。

黎曼曲面Riemann surface的主要兴趣在于它们之间可以定义全形函数。如今，黎曼曲面被认为是研究这些函数的全局行为的自然环境，尤其是多值函数，如平方根和其他代数函数，或对数。每个黎曼面都是一个二维实分析流形（即表面），但它包含更多的结构（特别是复数结构），这是全形函数的明确定义所需要的。一个二维实流形可以变成一个黎曼曲面（通常有几种不对等的方式），当且仅当它是可定向的和可计量的。因此，球体和环形体允许复杂的结构，但莫比乌斯带、克莱因瓶和实投影平面不允许。

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数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Models on the unit disk

The goal of this section is to prove that every $f \in \operatorname{Hol}(\mathbb{D}, \mathbb{D})$ which is not superattracting elliptic admits a model in the sense of Definition 3.5.2. When $f$ is attracting elliptic, we know this already (Corollary 4.1.3); so we shall focus on hyperbolic and parabolic maps.

The idea is to apply Theorem 3.5.10; therefore, we must build a simply connected $f$-absorbing domain where $f$ is injective. To do so, we need a couple of lemmas that might be interesting on their own.

Lemma 4.5.1. Let $\Omega \subset \mathbb{C}$ be a convex domain and take $f \in \operatorname{Hol}(\Omega, \mathbb{C})$ such that $\operatorname{Re} f^{\prime} \geq 0$ on $\Omega$. Then $f$ is either constant or injective.

Proof. If there is $z_0 \in \Omega$ so that $\operatorname{Re} f^{\prime}\left(z_0\right)=0$, then by the minimum principle for harmonic functions $f^{\prime}$ is constant, and hence $f$ is either constant or injective. We henceforth can suppose that $\operatorname{Re} f^{\prime}>0$ everywhere.

Assume, by contradiction, that $f\left(z_1\right)=f\left(z_2\right)$ for two distinct points $z_1, z_2 \in \Omega$. Integrating along the segment $\sigma$ from $z_1$ to $z_2$, we obtain
$$
0=f\left(z_2\right)-f\left(z_1\right)=\int_\sigma f^{\prime}(\zeta) d \zeta=\left(z_2-z_1\right) \int_0^1 f^{\prime}\left(z_1+t\left(z_2-z_1\right)\right) d t
$$

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|The hyperbolic step

In the previous section, we saw that if $f \in \operatorname{Hol}(\mathbb{D}, \mathbb{D})$ is not superattracting elliptic then it admits a model. A natural question is whether we can understand the model just by looking at the function $f$. The answer is essentially affirmative; to show how, we need a couple of definitions and preliminary results.

Definition 4.6.1. Let $X$ be a hyperbolic Riemann surface and take $f \in \operatorname{Hol}(X, X)$ and $z \in X$. For any $\mu \geq 1$ the Schwarz-Pick lemma implies that the sequence $\left{\omega_X\left(f^v(z), f^{v+\mu}(z)\right)\right}_{v \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}^{+}$is decreasing, and hence it has a limit $s_\mu^f(z) \in \mathbb{R}^{+}$, that we shall call the hyperbolic $\mu$-step of $f$ at $z$. When the function $f$ is clear by the context we shall write $s_\mu$ instead of $s_\mu^f$. If $\mu=1$, we shall write $s^f(z)$ instead of $s_1^f(z)$ and we shall call $s^f(z)$ the hyperbolic step of $f$ at $z$. We shall say that $f$ has positive hyperbolic step if there exists $z_0 \in \mathbb{D}$ such that $s^f\left(z_0\right)>0$; otherwise, we say that $f$ has a zero hyperbolic step. If $X$ is an elliptic or parabolic Riemann surface, we shall put $s_\mu^f \equiv 0$ for all $\mu \geq 1$ and $f \in \operatorname{Hol}(X, X)$.

Remark 4.6.2. In the literature, parabolic maps with a positive hyperbolic step are sometimes called of simply parabolic type or of parabolic II type or of automorphic type. Analogously, parabolic maps with a zero hyperbolic step are sometimes called of doubly parabolic type or of parabolic I type or of nonautomorphic type.

黎曼曲面代写

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Models on the unit disk

本节的目的是证明每一个$f \in \operatorname{Hol}(\mathbb{D}, \mathbb{D})$，它不是超吸引椭圆承认一个定义3.5.2意义上的模型。当$f$吸引椭圆时，我们已经知道这一点(推论4.1.3);因此，我们将重点关注双曲和抛物线图。

这个想法是应用定理3.5.10;因此，我们必须建立一个单连通的$f$吸收域，其中$f$是内射的。要做到这一点，我们需要一些引理，它们本身可能很有趣。

引理4.5.1。设$\Omega \subset \mathbb{C}$为凸域，取$f \in \operatorname{Hol}(\Omega, \mathbb{C})$使得$\operatorname{Re} f^{\prime} \geq 0$在$\Omega$上。那么$f$要么是常量，要么是单射。

证明。如果存在$z_0 \in \Omega$，那么$\operatorname{Re} f^{\prime}\left(z_0\right)=0$，那么根据调和函数的最小原则$f^{\prime}$是常数，因此$f$要么是常数要么是内射。从此我们可以假设$\operatorname{Re} f^{\prime}>0$到处都是。

根据矛盾，假设$f\left(z_1\right)=f\left(z_2\right)$对于两个不同的点$z_1, z_2 \in \Omega$。沿着$\sigma$从$z_1$到$z_2$的段积分，我们得到
$$
0=f\left(z_2\right)-f\left(z_1\right)=\int_\sigma f^{\prime}(\zeta) d \zeta=\left(z_2-z_1\right) \int_0^1 f^{\prime}\left(z_1+t\left(z_2-z_1\right)\right) d t
$$

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|The hyperbolic step

在上一节中，我们看到，如果$f \in \operatorname{Hol}(\mathbb{D}, \mathbb{D})$不是超吸引椭圆，那么它承认一个模型。一个自然的问题是，我们是否可以仅仅通过观察$f$函数来理解这个模型。答案基本上是肯定的;为了说明这一点，我们需要一些定义和初步结果。

4.6.1.定义设$X$为双曲黎曼曲面取$f \in \operatorname{Hol}(X, X)$和$z \in X$。对于任何$\mu \geq 1$, Schwarz-Pick引理表明，序列$\left{\omega_X\left(f^v(z), f^{v+\mu}(z)\right)\right}{v \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}^{+}$是递减的，因此它有一个极限$s\mu^f(z) \in \mathbb{R}^{+}$，我们称之为$f$在$z$的双曲$\mu$ -步。当上下文明确了$f$函数时，我们应该写$s_\mu$而不是$s_\mu^f$。如果是$\mu=1$，我们将写成$s^f(z)$而不是$s_1^f(z)$，我们将称$s^f(z)$为$z$的$f$的双曲步。我们说$f$有正双曲阶跃如果存在$z_0 \in \mathbb{D}$使得$s^f\left(z_0\right)>0$;否则，我们说$f$的双曲步长为零。如果$X$是椭圆型或抛物线型黎曼曲面，我们将把$s_\mu^f \equiv 0$代入所有的$\mu \geq 1$和$f \in \operatorname{Hol}(X, X)$。

4.6.2。在文献中，具有正双曲阶跃的抛物型映射有时被称为单纯抛物型或抛物II型或自同构型。类似地，具有零双曲阶跃的抛物线映射有时称为双抛物线型或抛物线I型或非自同构型。

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它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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黎曼曲面Riemann surface的主要兴趣在于它们之间可以定义全形函数。如今，黎曼曲面被认为是研究这些函数的全局行为的自然环境，尤其是多值函数，如平方根和其他代数函数，或对数。每个黎曼面都是一个二维实分析流形（即表面），但它包含更多的结构（特别是复数结构），这是全形函数的明确定义所需要的。一个二维实流形可以变成一个黎曼曲面（通常有几种不对等的方式），当且仅当它是可定向的和可计量的。因此，球体和环形体允许复杂的结构，但莫比乌斯带、克莱因瓶和实投影平面不允许。

黎曼曲面Riemann surface代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。 最高质量的黎曼曲面Riemann surfacen作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此黎曼曲面Riemann surface作业代写的价格不固定。通常在专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。

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数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Random iteration of small perturbations

In this section, we shall discuss the behavior of iterated function systems generated by functions close enough to a given self-map $F$; in particular, we would like to understand whether the dynamics of the iterated function systems mimics the dynamics of the sequence of iterates of $F$.

Recalling Theorem 3.3.2, we see that we have three cases to consider: when $F$ has an attracting fixed point, when $F$ is a periodic or pseudoperiodic automorphism, and when the sequence $\left{F^k\right}$ is compactly divergent.
In the first case, we have a fairly complete result.
Theorem 3.7.1. Let $X$ be a hyperbolic Riemann surface and let $F \in \operatorname{Hol}(X, X)$ be with an attracting fixed point $z_0 \in X$. Then:
(i) there exists a neighborhoodU of $F$ in $\operatorname{Hol}(X, X)$ such that every right iterated function system generated by $\left{f_v\right} \subset \mathcal{U}$ converges to a constant in $X$;
(ii) if $\left{f_v\right} \subset \operatorname{Hol}(X, X)$ is a sequence converging to $F$, then the left iterated function system generated by $\left{f_v\right}$ converges to $z_0$.

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Discrete dynamics on the unit disk

The previous chapter was mostly devoted to the study of dynamics on general hyperbolic Riemann surfaces, even though we did prove at least one important theorem regarding the dynamics on the unit disk $\mathbb{D}$, namely the Wolff-Denjoy theorem. In this chapter, we shall instead concentrate on the dynamics in $\mathbb{D}$, obtaining deep and detailed results.

We shall encounter two main interrelated themes: the study of how the orbits approach the Wolff point and the study of the possible models (in the sense of Definition 3.5.2) a holomorphic self-map can have. When the Wolff point of $f \in \operatorname{Hol}(\mathbb{D}, \mathbb{D})$ is in $\mathbb{D}$, then the theory is relatively simple. If the derivative $f^{\prime}(\tau)$ at the Wolff point satisfies $0<\left|f^{\prime}(\tau)\right|<1$ (attracting elliptic case), then the orbits essentially behave like the orbits of the linear map $z \mapsto f^{\prime}(\tau) z$ in $\mathbb{D}$, which is the model for our $f$. When instead $f^{\prime}(\tau)=0$ (superattracting elliptic case) the model is given by a power map, and even though the intertwining map in general is not defined on the whole of $\mathbb{D}$, we shall anyway be able to understand how the orbits approach the Wolff point.

When the Wolff point $\tau$ belongs to the boundary, the situation becomes more complicated-and more interesting. In the hyperbolic case, i. e., when the angular derivative $f^{\prime}(\tau)$ at the Wolff point satisfies $0<f^{\prime}(\tau)<1$, it turns out that the orbits converge to the Wolff point nontangentially with a precise slope; furthermore, the model will be again given by the multiplication by $f^{\prime}(\tau)$ but on the upper half-plane, not in $\mathbb{D}$. When $f$ is parabolic, i.e., $f^{\prime}(\tau)=1$, it turns out that we have two different cases to consider. When the hyperbolic step, that is the limit of the Poincaré distance between two consecutive points in an orbit, is positive, then we shall see that the orbits approach the Wolff point tangentially; moreover, there are two possible models, both on $\mathbb{H}^{+}$but one given by $w \mapsto w+1$ and the other by $w \mapsto w-1$. When instead the hyperbolic step is zero, then there is only one model, given again by $w \mapsto w+1$ but this time on $\mathbb{C}$; furthermore, there are examples where the orbits converge tangentially to the Wolff point and examples where the orbits converge nontangentially to the Wolff point. To understand when a given parabolic map has positive or zero hyperbolic step and, in the latter case, decide how the orbits converge to the Wolff point is a problem not yet completely solved.

黎曼曲面代写

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Random iteration of small perturbations

在本节中，我们将讨论由足够接近给定自映射$F$的函数生成的迭代函数系统的行为;特别是，我们想了解迭代函数系统的动态是否模仿$F$迭代序列的动态。

回顾定理3.3.2，我们看到有三种情况需要考虑:当$F$有一个吸引不动点时，当$F$是周期或伪周期自同态时，以及当序列$\left{F^k\right}$紧发散时。
在第一种情况下，我们有一个相当完整的结果。
定理3.7.1。设$X$为双曲黎曼曲面，设$F \in \operatorname{Hol}(X, X)$有一个吸引不动点$z_0 \in X$。然后:
(i)在$\operatorname{Hol}(X, X)$中存在$F$的邻域du，使得$\left{f_v\right} \subset \mathcal{U}$生成的每一个右迭代函数系统收敛于$X$中的一个常数;
(ii)如果$\left{f_v\right} \subset \operatorname{Hol}(X, X)$是收敛于$F$的序列，则$\left{f_v\right}$生成的左迭代函数系统收敛于$z_0$。

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Discrete dynamics on the unit disk

上一章主要致力于研究一般双曲黎曼曲面上的动力学，尽管我们确实证明了至少一个关于单位盘上动力学的重要定理$\mathbb{D}$，即Wolff-Denjoy定理。在本章中，我们将转而关注$\mathbb{D}$中的动态，获得深入而详细的结果。

我们将遇到两个主要的相互关联的主题:轨道如何接近沃尔夫点的研究和全纯自映射可能具有的模型(在定义3.5.2的意义上)的研究。当$f \in \operatorname{Hol}(\mathbb{D}, \mathbb{D})$的Wolff点在$\mathbb{D}$时，则理论相对简单。如果Wolff点的导数$f^{\prime}(\tau)$满足$0<\left|f^{\prime}(\tau)\right|<1$(吸引椭圆的情况)，那么轨道本质上就像$\mathbb{D}$中线性映射$z \mapsto f^{\prime}(\tau) z$的轨道一样，这是$f$的模型。当代替$f^{\prime}(\tau)=0$(超吸引椭圆的情况下)模型是由一个功率图给出的，即使缠结图在$\mathbb{D}$的整体上没有定义，我们无论如何都能够理解轨道是如何接近沃尔夫点的。

当Wolff点$\tau$属于边界时，情况变得更加复杂，也更加有趣。在双曲情况下，即当Wolff点处的角导数$f^{\prime}(\tau)$满足$0<f^{\prime}(\tau)<1$时，轨道以精确的斜率非切向Wolff点收敛;此外，该模型将再次通过乘以$f^{\prime}(\tau)$给出，但在上半平面上，而不是在$\mathbb{D}$中。当$f$是抛物线，即$f^{\prime}(\tau)=1$时，我们有两种不同的情况需要考虑。当双曲阶跃，即轨道上两个连续点之间的庞加莱距离的极限，为正时，我们会看到轨道与沃尔夫点切线接近;此外，有两种可能的模型，都在$\mathbb{H}^{+}$上，但一个由$w \mapsto w+1$给出，另一个由$w \mapsto w-1$给出。当双曲阶跃为零时，则只有一个模型，同样由$w \mapsto w+1$给出，但这次是$\mathbb{C}$;此外，也有轨道与Wolff点切线相交的例子也有轨道与Wolff点非切线相交的例子。要了解给定的抛物线图何时具有正双曲阶跃或零双曲阶跃，以及在后者的情况下，确定轨道如何收敛于沃尔夫点，是一个尚未完全解决的问题。

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微观经济学代写

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写黎曼曲面Riemann surface 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。黎曼曲面Riemann surface在数学中，特别是在复杂分析中，黎曼面是一个相连的一维复杂流形。这些曲面最早是由Bernhard Riemann研究的，并以其名字命名。黎曼曲面可以被认为是复平面的变形版本：在每一个点附近，它们看起来都像复平面的补丁，但全局的拓扑结构可能是完全不同的。例如，它们可以像一个球体、一个环状体或几个片状体粘在一起。

黎曼曲面Riemann surface的主要兴趣在于它们之间可以定义全形函数。如今，黎曼曲面被认为是研究这些函数的全局行为的自然环境，尤其是多值函数，如平方根和其他代数函数，或对数。每个黎曼面都是一个二维实分析流形（即表面），但它包含更多的结构（特别是复数结构），这是全形函数的明确定义所需要的。一个二维实流形可以变成一个黎曼曲面（通常有几种不对等的方式），当且仅当它是可定向的和可计量的。因此，球体和环形体允许复杂的结构，但莫比乌斯带、克莱因瓶和实投影平面不允许。

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数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|The Wolff lemma

We now discuss the Wolff lemma, the second boundary version of the Schwarz lemma; in the next section, we shall see some of its consequences, mainly on the structure of the automorphism group of hyperbolic Riemann surfaces, even though for us the main applications will be in the study of the dynamics of holomorphic self-maps, as we shall see in the next chapter.

The original Schwarz lemma said something about functions $f \in \operatorname{Hol}(\mathbb{D}, \mathbb{D})$ with a fixed point in $\mathbb{D}$. We now assume instead as hypothesis that $f$ has no fixed points in $\mathbb{D}$. It turns out that then it exists a point $\tau \in \partial \mathbb{D}$ such that $f$ sends every horocycle centered in $\tau$ into itself, exactly as a function with a fixed point $z_0 \in \mathbb{D}$ sends every Poincaré ball centered in $z_0$ into itself. This is the content of the Wolff lemma.

Theorem 2.5.1 (Wolff lemma, 1926). Let $f \in \operatorname{Hol}(\mathbb{D}, \mathbb{D})$ be without fixed points. Then there is a unique $\tau \in \partial \mathbb{D}$ such that for all $z \in \mathbb{D}$,
$$
\frac{|\tau-f(z)|^2}{1-|f(z)|^2} \leq \frac{|\tau-z|^2}{1-|z|^2},
$$
i.e.,
$$
f(E(\tau, R)) \subseteq E(\tau, R)
$$
for all $R>0$. Moreover, the equality in (2.65) holds at one point (and hence everywhere) if and only if $f$ is a parabolic automorphism of $\mathbb{D}$ leaving $\tau$ fixed.

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|The automorphism group of hyperbolic Riemann surfaces

The main applications of the Wolff lemma are in dynamics, as we shall see in the next chapter. Here, we shall instead describe a different application of the Wolff and Julia lemmas, with remarkable consequences for the study of Riemann surfaces.

In Proposition 1.4.12, we saw that two automorphisms of $\mathbb{D}$ commute if and only if they have the same fixed points. We shall now prove a first extension of that result.
Theorem 2.6.1. Let $y \in \operatorname{Aut}(\mathbb{D})$ be hyperbolic, and $f \in \operatorname{Hol}(\mathbb{D}, \mathbb{D})$ be such that
$$
f \circ \gamma=y \circ f
$$
Then either $f$ is a hyperbolic automorphism of $\mathbb{D}$ with the same fixed points as $y$ or $f \equiv \mathrm{id}_{\mathbb{D}}$.

Proof. Assume $f \neq \mathrm{id}_{\mathbb{D}}$; in particular, $f$ cannot have more than one fixed point (Corollary 1.1.14). If $f$ has a fixed point $z_0 \in \mathbb{D}$, then by (2.70)
$$
f\left(\gamma\left(z_0\right)\right)=y\left(f\left(z_0\right)\right)=\gamma\left(z_0\right)
$$
i. e., $\gamma\left(z_0\right)=z_0$, impossible. Hence $f$ is fixed point free and we can apply the Wolff lemma to get a point $\tau \in \partial \mathbb{D}$ satisfying (2.66). However, $\gamma(\tau)$ still satisfies (2.66), by (2.70) and Proposition 2.1.5; therefore, the uniqueness part of Wolff lemma implies $\gamma(\tau)=\tau$.

黎曼曲面代写

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|The Wolff lemma

现在我们讨论Wolff引理，Schwarz引理的第二个边界版本;在下一节中，我们将看到它的一些结果，主要是关于双曲黎曼曲面的自同构群的结构，尽管对我们来说，主要的应用将是研究全纯自映射的动力学，我们将在下一章中看到。

最初的施瓦茨引理是关于函数$f \in \operatorname{Hol}(\mathbb{D}, \mathbb{D})$在$\mathbb{D}$有一个不动点。我们现在假设$f$在$\mathbb{D}$中没有固定点。结果是，它存在一个点$\tau \in \partial \mathbb{D}$，使得$f$将每一个以$\tau$为中心的环送入自身，就像一个带固定点$z_0 \in \mathbb{D}$的函数将每一个以$z_0$为中心的环送入自身一样。这就是沃尔夫引理的内容。

定理2.5.1(沃尔夫引理，1926)。让$f \in \operatorname{Hol}(\mathbb{D}, \mathbb{D})$没有固定点。然后有一个独特的$\tau \in \partial \mathbb{D}$对于所有$z \in \mathbb{D}$，
$$
\frac{|\tau-f(z)|^2}{1-|f(z)|^2} \leq \frac{|\tau-z|^2}{1-|z|^2},
$$
即，
$$
f(E(\tau, R)) \subseteq E(\tau, R)
$$
对于所有$R>0$。此外，式(2.65)中的等式在一点上成立(因此处处成立)当且仅当$f$是$\mathbb{D}$的抛物自同构，使$\tau$固定。

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|The automorphism group of hyperbolic Riemann surfaces

沃尔夫引理的主要应用是在动力学中，我们将在下一章看到。在这里，我们将描述Wolff引理和Julia引理的另一种应用，对黎曼曲面的研究有显著的影响。

在命题1.4.12中，我们看到$\mathbb{D}$的两个自同构交换当且仅当它们有相同的不动点。现在我们要证明这个结果的第一个推广。
定理2.6.1。设$y \in \operatorname{Aut}(\mathbb{D})$为双曲，$f \in \operatorname{Hol}(\mathbb{D}, \mathbb{D})$为
$$
f \circ \gamma=y \circ f
$$
那么$f$是$\mathbb{D}$的双曲自同构，与$y$或$f \equiv \mathrm{id}_{\mathbb{D}}$具有相同的不动点。

证明。假设$f \neq \mathrm{id}_{\mathbb{D}}$;特别地，$f$不能有多个不动点(推论1.1.14)。如果$f$有一个固定点$z_0 \in \mathbb{D}$，则由(2.70)
$$
f\left(\gamma\left(z_0\right)\right)=y\left(f\left(z_0\right)\right)=\gamma\left(z_0\right)
$$
例如，$\gamma\left(z_0\right)=z_0$，不可能。因此$f$是不动点，我们可以应用Wolff引理得到一个满足(2.66)的点$\tau \in \partial \mathbb{D}$。然而，$\gamma(\tau)$仍然满足(2.66)、(2.70)和命题2.1.5;因此，Wolff引理的唯一性部分暗示$\gamma(\tau)=\tau$。

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线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

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现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。