Posted on Categories:Modern Algebra, 数学代写, 现代代数

## avatest™帮您通过考试

avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！

•最快12小时交付

•200+ 英语母语导师

•70分以下全额退款

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Kernel of a Homomorphism

For any homomorphism $\phi$ from the group $G$ to the group $G^{\prime}, \operatorname{ker} \phi$ is a normal subgroup of $G$.

Proof The identity $e$ is in $\operatorname{ker} \phi$ since $\phi(e)=e^{\prime}$, so $\operatorname{ker} \phi$ is always nonempty. If $a \in \operatorname{ker} \phi$ and $b \in \operatorname{ker} \phi$, then $\phi(a)=e^{\prime}$ and $\phi(b)=e^{\prime}$. Also, by Theorem 3.32, $\phi\left(b^{-1}\right)=[\phi(b)]^{-1}$, so
\begin{aligned} \phi\left(a b^{-1}\right) & =\phi(a) \phi\left(b^{-1}\right) \ & =\phi(a)[\phi(b)]^{-1} \ & =e^{\prime} \cdot\left(e^{\prime}\right)^{-1} \ & =e^{\prime}, \end{aligned}
and therefore $a b^{-1} \in \operatorname{ker} \phi$. Thus, by Theorem 3.12, $\operatorname{ker} \phi$ is a subgroup of $G$.
To show that $\operatorname{ker} \phi$ is normal, let $x \in G$ and $a \in \operatorname{ker} \phi$. Then
\begin{aligned} \phi\left(x a x^{-1}\right) & =\phi(x) \phi(a) \phi\left(x^{-1}\right) & & \text { since } \phi \text { is a homomorphism } \ & =\phi(x) \cdot e^{\prime} \cdot \phi\left(x^{-1}\right) & & \text { since } a \in \operatorname{ker} \phi \ & =\phi(x) \cdot \phi\left(x^{-1}\right) & & \ & =e^{\prime} & & \text { by part b of Theorem 3.32. } \end{aligned}
by part b of Theorem 3.32.
Thus $x a x^{-1}$ is in ker $\phi$, and ker $\phi$ is a normal subgroup by Theorem 4.20.
The mapping $\phi$ in Theorem 4.25 has $H$ as its kernel, and this shows that every normal subgroup of $G$ is the kernel of a homomorphism. Combining this fact with Theorem 4.26, we see that the normal subgroups of $G$ and the kernels of the homomorphisms from $G$ to another group are the same subgroups of $G$.

We can now prove that every homomorphic image of $G$ is isomorphic to a quotient group of $G$.

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Homomorphic Image $\Rightarrow$ Quotient Group

Let $G$ and $G^{\prime}$ be groups with $G^{\prime}$ a homomorphic image of $G$. Then $G^{\prime}$ is isomorphic to a quotient group of $G$.

Proof Let $\phi$ be an epimorphism from $G$ to $G^{\prime}$, and let $K=\operatorname{ker} \phi$. For each $a K$ in $G / K$, define $\theta(a K)$ by
$$\theta(a K)=\phi(a)$$
First, we need to prove that this rule defines a mapping. For any $a K$ and $b K$ in $G / K$,
\begin{aligned} a K=b K & \Leftrightarrow b^{-1} a K=K \ & \Leftrightarrow b^{-1} a \in K \ & \Leftrightarrow \phi\left(b^{-1} a\right)=e^{\prime} \ & \Leftrightarrow \phi\left(b^{-1}\right) \phi(a)=e^{\prime} \ & \Leftrightarrow[\phi(b)]^{-1} \phi(a)=e^{\prime} \ & \Leftrightarrow \phi(a)=\phi(b) \ & \Leftrightarrow \theta(a K)=\theta(b K) . \end{aligned}

Thus $\theta$ is a well-defined mapping from $G / K$ to $G^{\prime}$, and the $\Leftarrow$ parts of the $\Leftrightarrow$ statements show that $\theta$ is one-to-one as well.
We shall show that $\theta$ is an isomorphism from $G / K$ to $G^{\prime}$. Since
\begin{aligned} \theta(a K \cdot b K) & =\theta(a b K) \ & =\phi(a b) \ & =\phi(a) \cdot \phi(b) \ & =\theta(a K) \cdot \theta(b K), \end{aligned}
$\theta$ is a homomorphism. To show that $\theta$ is onto, let $a^{\prime}$ be arbitrary in $G^{\prime}$. Since $\phi$ is an epimorphism, there exists an element $a$ in $G$ such that $\phi(a)=a^{\prime}$. Then $a K$ is in $G / K$, and
$$\theta(a K)=\phi(a)=a^{\prime} .$$

# 现代代数代写

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Kernel of a Homomorphism

\begin{aligned} \phi\left(a b^{-1}\right) & =\phi(a) \phi\left(b^{-1}\right) \ & =\phi(a)[\phi(b)]^{-1} \ & =e^{\prime} \cdot\left(e^{\prime}\right)^{-1} \ & =e^{\prime}, \end{aligned}

\begin{aligned} \phi\left(x a x^{-1}\right) & =\phi(x) \phi(a) \phi\left(x^{-1}\right) & & \text { since } \phi \text { is a homomorphism } \ & =\phi(x) \cdot e^{\prime} \cdot \phi\left(x^{-1}\right) & & \text { since } a \in \operatorname{ker} \phi \ & =\phi(x) \cdot \phi\left(x^{-1}\right) & & \ & =e^{\prime} & & \text { by part b of Theorem 3.32. } \end{aligned}

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Homomorphic Image $\Rightarrow$ Quotient Group

$$\theta(a K)=\phi(a)$$

\begin{aligned} a K=b K & \Leftrightarrow b^{-1} a K=K \ & \Leftrightarrow b^{-1} a \in K \ & \Leftrightarrow \phi\left(b^{-1} a\right)=e^{\prime} \ & \Leftrightarrow \phi\left(b^{-1}\right) \phi(a)=e^{\prime} \ & \Leftrightarrow[\phi(b)]^{-1} \phi(a)=e^{\prime} \ & \Leftrightarrow \phi(a)=\phi(b) \ & \Leftrightarrow \theta(a K)=\theta(b K) . \end{aligned}

\begin{aligned} \theta(a K \cdot b K) & =\theta(a b K) \ & =\phi(a b) \ & =\phi(a) \cdot \phi(b) \ & =\theta(a K) \cdot \theta(b K), \end{aligned}
$\theta$是同态。为了表明$\theta$是对的，让$a^{\prime}$在$G^{\prime}$中是任意的。因为$\phi$是一个外胚，所以在$G$中存在一个元素$a$，使得$\phi(a)=a^{\prime}$。然后$a K$在$G / K$中，和
$$\theta(a K)=\phi(a)=a^{\prime} .$$

avatest.org 为您提供可靠及专业的论文代写服务以便帮助您完成您学术上的需求，让您重新掌握您的人生。我们将尽力给您提供完美的论文，并且保证质量以及准时交稿。除了承诺的奉献精神，我们的专业写手、研究人员和校对员都经过非常严格的招聘流程。所有写手都必须证明自己的分析和沟通能力以及英文水平，并通过由我们的资深研究人员和校对员组织的面试。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

Posted on Categories:Modern Algebra, 数学代写, 现代代数

## avatest™帮您通过考试

avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！

•最快12小时交付

•200+ 英语母语导师

•70分以下全额退款

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Set Generated by A

If $A$ is a nonempty subset of the group $G$, then the set generated by $\boldsymbol{A}$, denoted by $\langle A\rangle$, is the set defined by
$$\langle A\rangle=\left{x \in G \mid x=a_1 a_2 \cdots a_n \text { with either } a_i \in A \text { or } a_i^{-1} \in A\right} .$$
In other words, $\langle A\rangle$ is the set of all products that can be formed with a finite number of factors, each of which either is an element of $A$ or has an inverse that is an element of $A$.

For any nonempty subset $A$ of a group $G$, the set $\langle A\rangle$ is a subgroup of $G$ called the subgroup of $G$ generated by $A$.

Proof There exists at least one $a \in A$, since $A \neq \varnothing$. Then $e=a a^{-1} \in\langle A\rangle$, so $\langle A\rangle$ is nonempty.
If $x \in\langle A\rangle$ and $y \in\langle A\rangle$, then
$$x=x_1 x_2 \cdots x_n \text { with either } x_i \in A \text { or } x_i^{-1} \in A$$
and
$$y=y_1 y_2 \cdots y_k \text { with either } y_j \in A \text { or } y_j^{-1} \in A \text {. }$$
Thus
$$x y=x_1 x_2 \cdots x_n y_1 y_2 \cdots y_k,$$
where each factor on the right either is in $A$ or has an inverse that is an element of $A$. Also,
$$x^{-1}=x_n^{-1} \cdots x_2^{-1} x_1^{-1} \text { with either } x_i^{-1} \in A \text { or } x_i \in A .$$
The nonempty set $\langle A\rangle$ is closed and contains inverses, and therefore it is a subgroup of $G$.

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Group of Cosets

Let $H$ be a normal subgroup of $G$. Then the cosets of $H$ in $G$ form a group with respect to the product of subsets as given in Definition 4.10.

Proof Let $H$ be a normal subgroup of $G$. We shall denote the set of all distinct cosets of $H$ in $G$ by $G / H$. Multiplication in $G / H$ is associative, by part a of Theorem 4.11.

We need to show that the cosets of $H$ in $G$ are closed under the given product. Let $a H$ and $b H$ be arbitrary cosets of $H$ in $G$. Using the associative property freely, we have
\begin{aligned} (a H)(b H) & =a(H b) H & & \ & =a(b H) H & & \text { since } H \text { is normal } \ & =(a b) H \cdot H & & \ & =a b H & & \text { since } H^2=H . \end{aligned}
Thus $G / H$ is closed and $(a H)(b H)=a b H$.
The coset $H=e H$ is the identity, since $(a H)(e H)=a e H=a H$ and $(e H)(a H)=$ $e a H=a H$ for all $a H$ in $G / H$.
The inverse of $a H$ is $a^{-1} H$, since
$$(a H)\left(a^{-1} H\right)=a a^{-1} H=e H=H$$

and
$$\left(a^{-1} H\right)(a H)=a^{-1} a H=e H=H .$$
This completes the proof.

# 现代代数代写

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Set Generated by A

$$\langle A\rangle=\left{x \in G \mid x=a_1 a_2 \cdots a_n \text { with either } a_i \in A \text { or } a_i^{-1} \in A\right} .$$

$$x=x_1 x_2 \cdots x_n \text { with either } x_i \in A \text { or } x_i^{-1} \in A$$

$$y=y_1 y_2 \cdots y_k \text { with either } y_j \in A \text { or } y_j^{-1} \in A \text {. }$$

$$x y=x_1 x_2 \cdots x_n y_1 y_2 \cdots y_k,$$

$$x^{-1}=x_n^{-1} \cdots x_2^{-1} x_1^{-1} \text { with either } x_i^{-1} \in A \text { or } x_i \in A .$$

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Group of Cosets

\begin{aligned} (a H)(b H) & =a(H b) H & & \ & =a(b H) H & & \text { since } H \text { is normal } \ & =(a b) H \cdot H & & \ & =a b H & & \text { since } H^2=H . \end{aligned}

$$具有无穷积分极限的积分是I型反常积分。 如果f(x)在[a, \infty)上连续，则$$
\int_a^{\infty} f(x) d x=\lim _{b \rightarrow \infty} \int_a^b f(x) d x .
$$如果f(x)在(-\infty, b]上连续，则$$
\int_{-\infty}^b f(x) d x=\lim _{a \rightarrow-\infty} \int_a^b f(x) d x .
$$如果f(x)在(-\infty, \infty)上连续，则$$
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x=\int_{-\infty}^c f(x) d x+\int_c^{\infty} f(x) d x,
$$其中c是任意实数。 在每一种情况下，如果极限存在并且是有限的，我们说反常积分是收敛的，极限就是反常积分的值。当极限不存在时，反常积分发散。 ## 数学代写|微积分代写Calculus代考|Integrands with Vertical Asymptotes 另一种反常积分出现在被积函数在积分极限或积分极限之间的某一点上有一条垂直渐近线(无限不连续)。如果被积项f在积分区间内是正的，我们可以再次将反常积分解释为f图形下和x轴上在积分极限之间的面积。 考虑位于从x=0到x=1的曲线y=1 / \sqrt{x}下面的第一象限的区域(图8.12 \mathrm{~b})。首先我们求出a到1的部分面积(图8.16):$$
\left.\int_a^1 \frac{d x}{\sqrt{x}}=2 \sqrt{x}\right]a^1=2-2 \sqrt{a} . $$然后我们发现这个面积的极限为a \rightarrow 0^{+}:$$ \lim {a \rightarrow 0^{+}} \int_a^1 \frac{d x}{\sqrt{x}}=\lim {a \rightarrow 0}(2-2 \sqrt{a})=2 . $$因此从0到1的曲线下的面积是有限的，定义为$$ \int_0^1 \frac{d x}{\sqrt{x}}=\lim {a \rightarrow 0^{+}} \int_a^1 \frac{d x}{\sqrt{x}}=2 .
$$数学代写|微积分代写Calculus 代考 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。 ## 微观经济学代写 微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。 ## 线性代数代写 线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。 ## 博弈论代写 现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。 ## 微积分代写 微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。 它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。 ## 计量经济学代写 什么是计量经济学？ 计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。 根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。 ## MATLAB代写 MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。 Posted on Categories:Calculus Assignment, 微积分, 数学代写 ## 数学代写|微积分代写Calculus代考|MTH251 如果你也在 怎样代写微积分Calculus 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。微积分Calculus 基本上就是非常高级的代数和几何。从某种意义上说，它甚至不是一门新学科——它采用代数和几何的普通规则，并对它们进行调整，以便它们可以用于更复杂的问题。(当然，问题在于，从另一种意义上说，这是一门新的、更困难的学科。) 微积分Calculus数学之所以有效，是因为曲线在局部是直的;换句话说，它们在微观层面上是直的。地球是圆的，但对我们来说，它看起来是平的，因为与地球的大小相比，我们在微观层面上。微积分之所以有用，是因为当你放大曲线，曲线变直时，你可以用正则代数和几何来处理它们。这种放大过程是通过极限数学来实现的。 微积分Calculus 代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。 最高质量的微积分Calculus 作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此微积分Calculus 作业代写的价格不固定。通常在专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。 ## avatest™帮您通过考试 avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！ 在不断发展的过程中，avatest™如今已经成长为论文代写，留学生作业代写服务行业的翘楚和国际领先的教育集团。全体成员以诚信为圆心，以专业为半径，以贴心的服务时刻陪伴着您， 用专业的力量帮助国外学子取得学业上的成功。 •最快12小时交付 •200+ 英语母语导师 •70分以下全额退款 想知道您作业确定的价格吗? 免费下单以相关学科的专家能了解具体的要求之后在1-3个小时就提出价格。专家的 报价比上列的价格能便宜好几倍。 我们在数学Mathematics代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在微积分Calculus 代写方面经验极为丰富，各种微积分Calculus 相关的作业也就用不着 说。 ## 数学代写|微积分代写Calculus代考|Integration by Parts Integration by parts is a technique for simplifying integrals of the form$$
\int u(x) v^{\prime}(x) d x .
$$It is useful when u can be differentiated repeatedly and v^{\prime} can be integrated repeatedly without difficulty. The integrals$$
\int x \cos x d x \text { and } \int x^2 e^x d x
$$are such integrals because u(x)=x or u(x)=x^2 can be differentiated repeatedly to become zero, and v^{\prime}(x)=\cos x or v^{\prime}(x)=e^x can be integrated repeatedly without difficulty. Integration by parts also applies to integrals like$$
\int \ln x d x \text { and } \int e^x \cos x d x .
$$In the first case, the integrand \ln x can be rewritten as (\ln x)(1), and u(x)=\ln x is easy to differentiate while v^{\prime}(x)=1 easily integrates to x. In the second case, each part of the integrand appears again after repeated differentiation or integration. Product Rule in Integral Form If u and v are differentiable functions of x, the Product Rule says that$$
\frac{d}{d x}[u(x) v(x)]=u^{\prime}(x) v(x)+u(x) v^{\prime}(x) .
$$In terms of indefinite integrals, this equation becomes$$
\int \frac{d}{d x}[u(x) v(x)] d x=\int\left[u^{\prime}(x) v(x)+u(x) v^{\prime}(x)\right] d x
$$or$$
\int \frac{d}{d x}[u(x) v(x)] d x=\int u^{\prime}(x) v(x) d x+\int u(x) v^{\prime}(x) d x .
$$Rearranging the terms of this last equation, we get$$
\int u(x) v^{\prime}(x) d x=\int \frac{d}{d x}[u(x) v(x)] d x-\int v(x) u^{\prime}(x) d x,
$$leading to the integration by parts formula Integration by Parts Formula$$
\int u(x) v^{\prime}(x) d x=u(x) v(x)-\int v(x) u^{\prime}(x) d x
$$## 数学代写|微积分代写Calculus代考|Trigonometric Integrals Trigonometric integrals involve algebraic combinations of the six basic trigonometric functions. In principle, we can always express such integrals in terms of sines and cosines, but it is often simpler to work with other functions, as in the integral$$
\int \sec ^2 x d x=\tan x+C .
$$The general idea is to use identities to transform the integrals we have to find into integrals that are easier to work with. Products of Powers of Sines and Cosines We begin with integrals of the form$$
\int \sin ^m x \cos ^n x d x,
$$where m and n are nonnegative integers (positive or zero). We can divide the appropriate substitution into three cases according to m and n being odd or even. Case 1 If \boldsymbol{m} is odd, we write m as 2 k+1 and use the identity \sin ^2 x= 1-\cos ^2 x to obtain$$
\sin ^m x=\sin ^{2 k+1} x=\left(\sin ^2 x\right)^k \sin x=\left(1-\cos ^2 x\right)^k \sin x .
$$Then we combine the single \sin x with d x in the integral and set \sin x d x equal to -d(\cos x). Case 2 If \boldsymbol{n} is odd in \int \sin ^m x \cos ^n x d x, we write n as 2 k+1 and use the identity \cos ^2 x=1-\sin ^2 x to obtain$$
\cos ^n x=\cos ^{2 k+1} x=\left(\cos ^2 x\right)^k \cos x=\left(1-\sin ^2 x\right)^k \cos x .
$$We then combine the single \cos x with d x and set \cos x d x equal to d(\sin x). Case 3 If both \boldsymbol{m} and \boldsymbol{n} are even in \int \sin ^m x \cos ^n x d x, we substitute$$
\sin ^2 x=\frac{1-\cos 2 x}{2}, \quad \cos ^2 x=\frac{1+\cos 2 x}{2}
$$to reduce the integrand to one in lower powers of \cos 2 x. ## 微积分代写 ## 数学代写|微积分代写Calculus代考|Integration by Parts 分部积分法是一种简化这种形式的积分的方法$$
\int u(x) v^{\prime}(x) d x .
$$当u可以反复区分，v^{\prime}可以毫无困难地反复整合时，它是有用的。积分$$
\int x \cos x d x \text { and } \int x^2 e^x d x
$$是这样的积分，因为u(x)=x或u(x)=x^2可以反复微分为零，v^{\prime}(x)=\cos x或v^{\prime}(x)=e^x可以毫无困难地反复积分。分部积分法也适用于$$
\int \ln x d x \text { and } \int e^x \cos x d x .
$$在第一种情况下，被积项\ln x可以重写为(\ln x)(1), u(x)=\ln x很容易区分，而v^{\prime}(x)=1很容易集成到x。在第二种情况下，被积函数的每个部分经过多次微分或积分后再次出现。 积分形式的乘积法则 如果u和v是x的可微函数，根据乘积法则$$
\frac{d}{d x}[u(x) v(x)]=u^{\prime}(x) v(x)+u(x) v^{\prime}(x) .
$$对于不定积分，这个方程变成$$
\int \frac{d}{d x}[u(x) v(x)] d x=\int\left[u^{\prime}(x) v(x)+u(x) v^{\prime}(x)\right] d x

\int \frac{d}{d x}[u(x) v(x)] d x=\int u^{\prime}(x) v(x) d x+\int u(x) v^{\prime}(x) d x .
$$重新排列最后一个方程的项，我们得到$$
\int u(x) v^{\prime}(x) d x=\int \frac{d}{d x}[u(x) v(x)] d x-\int v(x) u^{\prime}(x) d x,
$$引出分部积分公式 分部积分公式$$
\int u(x) v^{\prime}(x) d x=u(x) v(x)-\int v(x) u^{\prime}(x) d x
$$## 数学代写|微积分代写Calculus代考|Trigonometric Integrals 三角积分涉及六个基本三角函数的代数组合。原则上，我们总是可以用正弦和余弦来表示这样的积分，但用其他函数来表示通常更简单，比如积分$$
\int \sec ^2 x d x=\tan x+C .
$$总的思路是用恒等式把我们要求的积分转换成更容易处理的积分。 sin和cos的幂的乘积 我们从这种形式的积分开始$$
\int \sin ^m x \cos ^n x d x,

## 数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Rooted Trees

Posted on Categories:Number Theory, 数学代写, 数论

## avatest™帮您通过考试

avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！

•最快12小时交付

•200+ 英语母语导师

•70分以下全额退款

## 数学代写|数论代写Number Theory代考|Units of Norm 1

Let $m$ be a positive squarefree integer. Theorem 11.2.1 tells us that there exist positive integers $x$ and $y$ such that $x^2-m y^2=1$. Hence $\lambda=x+y \sqrt{m}$ is a unit of $O_K$, where $K=\mathbb{Q}(\sqrt{m})$, such that $\lambda>1$ and $N(\lambda)=1$. Since $\lambda^n \rightarrow \infty$ as $n \rightarrow \infty, O_K$ has infinitely many units of norm 1 , namely $\left{\lambda^n \mid n \in \mathbb{Z}\right}$. All of these units are of the form $u+v \sqrt{m}$, where $u$ and $v$ are integers such that $u^2-m v^2=1$. However, when $m \equiv 1(\bmod 4)$, there may be units in $O_K$ of the form $(u+v \sqrt{m}) / 2$, where $u$ and $v$ are both odd integers. For example $(3+\sqrt{5}) / 2$ is a unit of norm 1 in $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{5})}$. In contrast, $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{17})}$ does not contain any units of the form $(u+v \sqrt{17}) / 2$, where $u$ and $v$ are both odd integers, since $u^2-17 v^2= \pm 4$ cannot hold modulo 8 for odd integers $u$ and $v$.

Let $\lambda=x+y \sqrt{m}$ be a unit of $O_K(K=\mathbb{Q}(\sqrt{m}))$ of norm 1 with $x$ and $y$ both integers or possibly in the case $m \equiv 1(\bmod 4)$ both halves of odd integers. We now show how the signs of $x$ and $y$ determine to which of the four intervals $(-\infty,-1),(-1,0),(0,1)$, or $(1, \infty) \lambda$ belongs.

Theorem 11.3.1 Let $m$ be a positive squarefree integer. Let $x$ and $y$ both be integers or both halves of odd integers such that $x^2-m y^2=1$. Then
\begin{aligned} x+y \sqrt{m}>1 & \Longleftrightarrow x>0, y>0, \ 00, y<0, \ -10, \ x+y \sqrt{m}<-1 & \Longleftrightarrow x<0, y<0 . \end{aligned}

## 数学代写|数论代写Number Theory代考|Units of Norm −1

Let $m$ be a positive squarefree integer. We have already observed that the ring $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$ of integers of the real quadratic field $\mathbb{Q}(\sqrt{m})$ may or may not contain units of norm -1 . Indeed $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})}$ has units such as $1+\sqrt{2}$ of norm -1 whereas $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{3})}$ does not contain any units of norm -1 . We suppose that $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$ contains units of norm -1 and show that there exists a unique unit $\sigma>1$ in $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$ of norm -1 such that all units in $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$ of norm -1 are given by $\pm \sigma^{2 k+1}(k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots)$ and all units in $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$ of norm 1 are given by $\pm \sigma^{2 k}(k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots)$.

Theorem 11.4.1 Let $m$ be a positive squarefree integer. Suppose that $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$ contains units of norm -1 . Then there exists a unique unit $\sigma>1$ of norm -1 in $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$ such that every unit in $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$ is of the form $\pm \sigma^n$ for some integer $n$.

Proof: Let $\rho$ be a unit in $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$ of norm -1 . Let $\rho^{\prime}$ denote its conjugate. Then
$$\rho \rho^{\prime}=N(\rho)=-1$$
so that
$$\rho^2 \rho^{\prime 2}=1$$
Thus $\rho^2$ is a unit of $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$ of norm 1. Hence, by Theorem 11.3.2(b), we have
$$\rho^2= \pm \epsilon^n$$
for some integer $n$, where $\epsilon$ is the fundamental unit of $O_{\mathbb{Q}(\sqrt{m})}$ of norm 1. Clearly $\rho^2>0$ and $\epsilon^n>0$ so that
$$\rho^2=\epsilon^n .$$
If $n$ is even, say $n=2 k$, then
$$\rho^2=\epsilon^{2 k}$$
so that
$$\rho= \pm \epsilon^k$$
Hence
$$N(\rho)=N\left( \pm \epsilon^k\right)=N(\epsilon)^k=1,$$
contradicting $N(\rho)=-1$. Thus $n$ must be odd, say $n=2 l+1$, and so
$$\rho^2=\epsilon^{2 l+1} .$$
Hence
$$\epsilon=\left(\rho \epsilon^{-l}\right)^2 .$$

## 数学代写|数论代写Number Theory代考|Units of Norm 1

\begin{aligned} x+y \sqrt{m}>1 & \Longleftrightarrow x>0, y>0, \ 00, y<0, \ -10, \ x+y \sqrt{m}<-1 & \Longleftrightarrow x<0, y<0 . \end{aligned}

## 数学代写|数论代写Number Theory代考|Units of Norm −1

$$\rho \rho^{\prime}=N(\rho)=-1$$

$$\rho^2 \rho^{\prime 2}=1$$

$$\rho^2= \pm \epsilon^n$$

$$\rho^2=\epsilon^n .$$

$$\rho^2=\epsilon^{2 k}$$

$$\rho= \pm \epsilon^k$$

$$N(\rho)=N\left( \pm \epsilon^k\right)=N(\epsilon)^k=1,$$

$$\rho^2=\epsilon^{2 l+1} .$$

$$\epsilon=\left(\rho \epsilon^{-l}\right)^2 .$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。