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固体物理Solid Physics是由密密麻麻的原子形成的，这些原子之间有强烈的相互作用。这些相互作用产生了固体的机械（如硬度和弹性）、热、电、磁和光学特性。根据所涉及的材料及其形成的条件，原子可能以有规律的几何模式排列（晶体固体，包括金属和普通水冰）或不规则地排列（非晶体固体，如普通窗玻璃）。

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物理代写|固体物理代写SOLID PHYSICS代考|k · p Theory

Another approximation method, which is very useful for understanding interactions between bands, uses a perturbation expansion of a different type. This method takes note of the fact that the critical points of the Brillouin zone have well-defined properties. If the energies at these critical points are known, then we can treat the band energy at a nearby point in the Brillouin zone as the sum of the energy at the critical point plus a small perturbation.
We begin by writing the Schrödinger equation in terms of the Bloch functions,
$$
\left(\frac{p^2}{2 m}+U(\vec{r})\right) u_{n \vec{k}}(\vec{r}) e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}}=E_n(\vec{k}) u_{n \vec{k}}(\vec{r}) e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}},
$$

where $\vec{p}=-i \hbar \nabla$. Since the derivative of $e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}}$ is known, we can rewrite this as
$$
\left(\frac{1}{2 m}|\vec{p}+\hbar \vec{k}|^2+U(\vec{r})\right) u_{n \vec{k}}(\vec{r})=E_n(\vec{k}) u_{n \vec{k}}(\vec{r}) .
$$
We can then write this as the sum of three terms,
$$
\left(H_0+H_1+H_2\right) u_{n \vec{k}}(\vec{r})=E_n(\vec{k}) u_{n \vec{k}}(\vec{r})
$$
where
$$
\begin{aligned}
H_0 & =\frac{p^2}{2 m}+U(\vec{r}) \
H_1 & =\frac{\hbar}{m} \vec{k} \cdot \vec{p} \
H_2 & =\frac{\hbar^2 k^2}{2 m} .
\end{aligned}
$$

物理代写|固体物理代写SOLID PHYSICS代考|Other Methods ofCalculating Band Structure

We have already seen in Section 1.6 that the Bloch states of different bands are orthogonal. Since the core electrons are nearly the same as the atomic states, which have slow variation near the atomic nucleus, this means that the electron wave functions for higher levels will tend to have strong spatial oscillations near a nucleus, so that the overlap integral $\int \psi_n^* \psi_m d^3 r$ will vanish. This leads to problems for numerical calculations.

One way to solve for the higher band states without using rapidly oscillating wave functions is the pseudopotential method. In this method, instead of using just the potential $U(\vec{r})$ of the bare nucleus, a new $U(\vec{r})$ is used which includes the effects of the Coulomb repulsion and Pauli exclusion of the core electrons, to repel the electrons in higher states from the core region.

Using this new $U(\vec{r})$, the upper electron states can be calculated using the nearly free electron approximation; the inner, core electron states are assumed to remain nearly the same as the atomic core states. This strong distinction between the two types of states is one of the major assumptions of this method.

There is no exact way of calculating the potential $U(\vec{r})$; in this method one simply starts with a guess and then improves $U(\vec{r})$ by iteration. This can be done either by comparing the calculated band structure to experimental data or by adjusting $U(\vec{r})$ to give self-consistency. Once the valence electron states are calculated, the local charge density due to these electrons can be calculated, which is proportional to $\rho(\vec{r})=\psi^*(\vec{r}) \psi(\vec{r})$. The Coulomb repulsion from this charge density then gives an adjustment to $U(\vec{r})$. Eventually, the adjusted $U(\vec{r})$ will not change upon iteration, when it is consistent with the charge density of the valence states.

The band structure of silicon in Figure 1.26(a) was calculated using a pseudopotential method. Notice how the bands have the character of nearly free electrons – for example, the lowest energy band is nearly parabolic and the next energy band has a maximum at zone center, as in Figure 1.30. In general, pseudopotential methods give reasonable predictions of many band structure parameters, but still require some experimental input for realistic calculations.

固体物理代写

物理代写|固体物理代写SOLID PHYSICS代考|k · p Theory

另一种近似方法使用了不同类型的微扰展开，这对理解带间的相互作用非常有用。这种方法注意到布里渊区的临界点具有定义良好的性质。如果这些临界点的能量是已知的，那么我们就可以把布里渊区附近点的能带能量看作是临界点的能量加上一个小扰动的总和。
我们从用布洛赫函数表示Schrödinger方程开始，
$$
\left(\frac{p^2}{2 m}+U(\vec{r})\right) u_{n \vec{k}}(\vec{r}) e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}}=E_n(\vec{k}) u_{n \vec{k}}(\vec{r}) e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}},
$$

在哪里$\vec{p}=-i \hbar \nabla$。因为$e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}}$的导数是已知的，我们可以把它写成
$$
\left(\frac{1}{2 m}|\vec{p}+\hbar \vec{k}|^2+U(\vec{r})\right) u_{n \vec{k}}(\vec{r})=E_n(\vec{k}) u_{n \vec{k}}(\vec{r}) .
$$
我们可以把它写成三项的和，
$$
\left(H_0+H_1+H_2\right) u_{n \vec{k}}(\vec{r})=E_n(\vec{k}) u_{n \vec{k}}(\vec{r})
$$
在哪里
$$
\begin{aligned}
H_0 & =\frac{p^2}{2 m}+U(\vec{r}) \
H_1 & =\frac{\hbar}{m} \vec{k} \cdot \vec{p} \
H_2 & =\frac{\hbar^2 k^2}{2 m} .
\end{aligned}
$$

物理代写|固体物理代写SOLID PHYSICS代考|Other Methods ofCalculating Band Structure

在1.6节中我们已经看到，不同波段的布洛赫态是正交的。由于核心电子与原子状态几乎相同，原子状态在原子核附近变化缓慢，这意味着更高能级的电子波函数将倾向于在原子核附近具有强的空间振荡，因此重叠积分$\int \psi_n^* \psi_m d^3 r$将消失。这就导致了数值计算的问题。

在不使用快速振荡波函数的情况下求解高带态的一种方法是伪势法。在这种方法中，不只是使用裸核的势能$U(\vec{r})$，而是使用了一个新的$U(\vec{r})$，它包含了核心电子的库仑排斥和泡利排斥的影响，将高能级的电子从核心区域排斥出去。

利用这个新的$U(\vec{r})$，可以用近自由电子近似计算上电子态;内部的核心电子状态被假定与原子核心状态保持几乎相同。这两种状态之间的强烈区别是该方法的主要假设之一。

没有精确的方法来计算势能$U(\vec{r})$;在此方法中，只需从猜测开始，然后通过迭代改进$U(\vec{r})$。这可以通过将计算的能带结构与实验数据进行比较或通过调整$U(\vec{r})$来实现自一致性。一旦价电子态被计算出来，由这些电子引起的局部电荷密度就可以计算出来，它与$\rho(\vec{r})=\psi^*(\vec{r}) \psi(\vec{r})$成正比。这个电荷密度的库仑斥力然后给$U(\vec{r})$一个调整。最终，当调整后的$U(\vec{r})$与价态的电荷密度一致时，迭代后的不变。

图1.26(a)中硅的能带结构采用赝势法计算。注意这些带是如何具有接近自由电子的特征的——例如，最低的能带几乎是抛物线的，下一个能带在区中心有一个最大值，如图1.30所示。一般来说，赝势方法给出了许多能带结构参数的合理预测，但仍需要一些实验输入才能进行实际计算。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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物理代写|固体物理代写SOLID PHYSICS代考|Density ofStatesatCritical Points

As we saw in Section 1.6, $\nabla_{\vec{k}} E$ vanishes at zone center and at the boundaries of the Brillouin zone. This means that the density of states will have special properties at these points. It might seem that the density of states diverges at these points, but this is not always the case. For example, in the case of isotropic bands, the density of states formula (1.8.4) can be simplified to
$$
\mathcal{D}(E) d E=\frac{V}{(2 \pi)^3} 4 \pi d E \frac{1}{\left|\nabla_{\vec{k}} E\right|} k^2(E)
$$

Since the band at zone center must be at a minimum or maximum, we can expand the energy in powers of $k$ as
$$
E(k)=E_0+\left.\frac{1}{2} \frac{\partial^2 E}{\partial k^2}\right|{k=0} k^2+\cdots $$ The leading order of the gradient of $E$ is therefore linear in $k$, which means that the density of states is proportional to $k$, which implies $$ \mathcal{D}(E) d E \propto \sqrt{\left(E-E_0\right)} d E $$ The same thing occurs at the critical points on the zone boundaries where $\nabla{\vec{k}} E$ vanishes, discussed in Section 1.6. In general, the band minimum or maximum at the critical point can be expanded in powers of $k$ as
$$
E(k)=E_0+\frac{1}{2} \sum_{i, j} \frac{\partial^2 E}{\partial k_i \partial k_j}\left(k_i-k_i^{\mathrm{crit}}\right)\left(k_j-k_j^{\mathrm{crit}}\right)+\cdots
$$

物理代写|固体物理代写SOLID PHYSICS代考|Disorderand Density ofStates

Density-of-states plots give us a natural way to look at the effect of disorder, that is, what happens to the electron bands when a crystal is not perfectly periodic. As discussed in Section 1.1 , bands and band gaps appear whenever there is overlap of atomic orbitals, regardless of periodicity.

In the long wavelength limit (when the characteristic length of the disorder is much longer than the atomic lattice spacing), we can model disorder as regions with slightly larger or smaller spacing between atoms. We can then approximate the effect of the disorder by recalculating the band energy for a larger or smaller lattice spacing in each region. Larger spacing corresponds to less orbital overlap of adjacent atoms, which means less bonding-antibonding splitting. This corresponds to a smaller band gap; in other words, the upper, antibonding states will have lower energy and the lower, bonding states will have higher energy. This means that in a region of larger lattice spacing, there will be electron states inside the nominal energy gap.

In the absence of any other information, we can assume that the disorder is distributed randomly. In the long wavelength limit, we can view the disordered crystal as a set of perfectly ordered crystals with band gaps that are distributed according to a Gaussian distribution, according to the central limit theorem,
$$
P\left(E_g\right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}(\Delta E)} e^{-\left(E_g(0)-E_g\right)^2 / 2(\Delta E)^2},
$$
where $E_g$ is the band gap for a perfectly ordered crystal and $\Delta E_g$ is a characteristic range of energy fluctuations. The total density of states of the crystal will then be given by the convolution of this distribution with the density of states for a periodic structure,
$$
\mathcal{D}(E)=\int d E_g \mathcal{D}\left(E-E_g\right) P\left(E_g\right)
$$

The effect of the convolution is to smear out the band gaps of a solid. Disorder does not necessarily eliminate the existence of bands and band gaps, however. Figure 1.23(b) illustrates how a small degree of disorder smears the bands, while leaving them still much the same. In general, every real crystal has some degree of band smearing because there is always some degree of disorder.

固体物理代写

物理代写|固体物理代写SOLID PHYSICS代考|Bloch’sTheorem

在第1.2节中，我们使用系统的周期性来猜测除了每个细胞内恒定的相位因子外，每个细胞中都相同的解决方案。这是所有周期系统的一般性质，对于任意维数。这被称为布洛赫定理对于任何周期性的势，使得$U(\vec{r}+\vec{R})=$$U(\vec{r})$对于所有的$\vec{R}=N \vec{a}$，这里$\vec{a}$是某个向量，哈密顿函数的特征态具有这样的性质
$$
\psi_{n \vec{k}}(\vec{r}+\vec{R})=\psi_{n \vec{k}}(\vec{r}) e^{i \vec{k} \cdot \vec{R}}
$$
其中$n$是我们添加的波段指数，因为正如我们在Kronig-Penney模型中看到的那样，可以有多个具有相同$k$的特征态。

这可以用另一种方式重申。乘以相位因子$e^{-i \vec{k} \cdot \vec{r}}$，我们得到
$$
\begin{aligned}
& \psi_{n \vec{k}}(\vec{r}+\vec{R}) e^{-i \vec{k} \cdot \vec{r}}=\psi_{n \vec{k}}(\vec{r}) e^{i \vec{k} \cdot \vec{R}} e^{-i \vec{k} \cdot \vec{r}} \
& \psi_{n \vec{k}}(\vec{r}+\vec{R}) e^{-i \vec{k} \cdot(\vec{R}+\vec{r})}=\psi_{n \vec{k}}(\vec{r}) e^{-i \vec{k} \cdot \vec{r}} .
\end{aligned}
$$
这意味着$\psi_{n \vec{k}}(\vec{r}) e^{-i \vec{k} \cdot \vec{r}}$是一个周期函数。因此我们可以把特征态写成
$$
\psi_{n \vec{k}}(\vec{r})=\frac{1}{\sqrt{V}} u_{n \vec{k}}(\vec{r}) e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}},
$$
其中$V$是晶体的体积(为波函数的归一化而引入)，$u_{n \vec{k}}(\vec{r})$与势具有相同的周期性。注意，这里相位因子取决于连续变量$\vec{r}$而不是离散向量$\vec{R}$。函数$\psi_{n \vec{k}}(\vec{r})$称为Bloch函数，函数$u_{n \vec{k}}(\vec{r})$可称为单元格函数。

物理代写|固体物理代写SOLID PHYSICS代考|BravaisLattices and ReciprocalSpace

正如第1.1节所讨论的，固态物理不仅仅处理周期结构。然而，周期结构理论是极其重要的，因为许多固体确实具有周期性。具有周期性原子排列的固体称为晶体。大多数金属和半导体都是晶体。

晶体在自然界中很常见，因为有序结构比无序结构具有更低的熵，并且在低温下更有利于低熵状态。一个体系在室温下能否形成有序晶体取决于热能$k_B T$与两个原子结合能的比值。如果$k_B T$与结合能相比很小，那么系统本质上处于零温度状态，即使它与室温相比相当热。我们将在第5.4节讨论固相转变。

为了用周期结构填充所有的空间，我们取一个有限体积的空间，我们称之为原始细胞或单位细胞，通过三个向量的整数倍$\vec{a}_1, \vec{a}_2$和$\vec{a}_3$不旋转地平移它，使其彼此相邻。这些被称为原始向量的向量必须是线性无关的，但不必是正交的。图1.13显示了一些由原语向量生成的格的例子。单位单元格的所有位置的集合由
$$
\vec{R}=N_1 \vec{a}_1+N_2 \vec{a}_2+N_3 \vec{a}_3
$$
其中$N_1, N_2$和$N_3$是三个整数。所有向量$\vec{R}$的集合构成了晶体的Bravais晶格。这些向量指向一组点，这些点定义每个原始细胞的原点。

在整个空间中复制的原始细胞不需要是立方体或矩形;它可以是任何形状，只要周期性地复制，就可以填满所有的空间——它可以像埃舍尔版画的重复元素一样复杂。然而，最自然的选择是一个平行六面体，其三条边等于原始向量。

一个晶体每个原始细胞可以有一个以上的原子。在每个原始细胞中，我们可以指定一个基，它是一组向量，给出原子相对于每个细胞原点的位置。图1.14显示了两个具有基的格的例子。表1.1给出了一些比较常见的晶体类型的标准基元向量和基向量。

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微观经济学代写

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博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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固体物理Solid Physics是由密密麻麻的原子形成的，这些原子之间有强烈的相互作用。这些相互作用产生了固体的机械（如硬度和弹性）、热、电、磁和光学特性。根据所涉及的材料及其形成的条件，原子可能以有规律的几何模式排列（晶体固体，包括金属和普通水冰）或不规则地排列（非晶体固体，如普通窗玻璃）。

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物理代写|固体物理代写SOLID PHYSICS代考|Bloch’sTheorem

In Section 1.2, we used the periodicity of the system to guess a solution that was the same in every cell except for a phase factor that is constant within each cell. It turns out that this is a general property of all periodic systems, for any number of dimensions. This is known as Bloch’s theorem For any potential that is periodic such that $U(\vec{r}+\vec{R})=$ $U(\vec{r})$ for all $\vec{R}=N \vec{a}$, where $\vec{a}$ is some vector, the eigenstates of the Hamitonian have the property
$$
\psi_{n \vec{k}}(\vec{r}+\vec{R})=\psi_{n \vec{k}}(\vec{r}) e^{i \vec{k} \cdot \vec{R}}
$$
where $n$ is a band index that we add because, as we have seen with the Kronig-Penney model, there can be more than one eigenstate with the same $k$.

This can be restated in another way. Multiplying through by a phase factor $e^{-i \vec{k} \cdot \vec{r}}$, we get
$$
\begin{aligned}
& \psi_{n \vec{k}}(\vec{r}+\vec{R}) e^{-i \vec{k} \cdot \vec{r}}=\psi_{n \vec{k}}(\vec{r}) e^{i \vec{k} \cdot \vec{R}} e^{-i \vec{k} \cdot \vec{r}} \
& \psi_{n \vec{k}}(\vec{r}+\vec{R}) e^{-i \vec{k} \cdot(\vec{R}+\vec{r})}=\psi_{n \vec{k}}(\vec{r}) e^{-i \vec{k} \cdot \vec{r}} .
\end{aligned}
$$
This implies that $\psi_{n \vec{k}}(\vec{r}) e^{-i \vec{k} \cdot \vec{r}}$ is a periodic function. We can therefore write the eigenstates as
$$
\psi_{n \vec{k}}(\vec{r})=\frac{1}{\sqrt{V}} u_{n \vec{k}}(\vec{r}) e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}},
$$
where $V$ is the volume of the crystal (introduced for normalization of the wave function) and $u_{n \vec{k}}(\vec{r})$ has the same periodicity as the potential. Note that here the phase factor depends on the continuous variable $\vec{r}$ instead of the discrete vector $\vec{R}$. The function $\psi_{n \vec{k}}(\vec{r})$ is called a Bloch function and the function $u_{n \vec{k}}(\vec{r})$ can be called the cell function.

物理代写|固体物理代写SOLID PHYSICS代考|BravaisLattices and ReciprocalSpace

As discussed in Section 1.1, solid state physics does not only deal with periodic structures. Nevertheless, the theory of periodic structures is extremely important because many solids do have periodicity. Solids that have periodic arrays of atoms are called crystals. Most metals and most semiconductors are crystals.

Crystals are common in nature because an ordered structure has lower entropy than a disordered structure, and lower entropy states are favored at low temperatures. Whether or not a system forms an ordered crystal at room temperature depends on the ratio of the thermal energy $k_B T$ to the binding energy of two atoms. If $k_B T$ is small compared to the binding energy, then the system is essentially in a zero-temperature state, even if it is quite hot compared to room temperature. We will return to discuss solid phase transitions in Section 5.4.

Bravais lattices In order to fill all of space with a periodic structure, we take a finite volume of space, which we call the primitive cell or unit cell and make copies of it adjacent to each other by translating it without rotation through integer multiples of three vectors, $\vec{a}_1, \vec{a}_2$, and $\vec{a}_3$. These vectors, known as the primitive vectors must be linearly independent, but need not be orthogonal. Some examples of lattices generated from primitive vectors are shown in Figure 1.13. The set of all locations of the unit cells is given by
$$
\vec{R}=N_1 \vec{a}_1+N_2 \vec{a}_2+N_3 \vec{a}_3
$$
where $N_1, N_2$, and $N_3$ are three integers. This set of all the vectors $\vec{R}$ makes up the Bravais lattice of the crystal. These vectors point to a set of points which define the origin of each primitive cell.

The primitive cell that is copied throughout space does not need to be cubic or rectangular; it can be any shape that will fill all space when copied periodically – it can be as complicated as the repeated elements of an Escher print. The most natural choice, however, is a parallelepiped with three edges equal to the primitive vectors.

A crystal can have more than one atom per primitive cell. Within each primitive cell, we can specify a basis, which is a set of vectors giving the location of the atoms relative to the origin of each cell. Figure 1.14 shows two examples of lattices with a basis. Table 1.1 gives the standard primitive vectors and basis vectors of some of the more common types of crystals.

固体物理代写

物理代写|固体物理代写SOLID PHYSICS代考|Bloch’sTheorem

在第1.2节中，我们使用系统的周期性来猜测除了每个细胞内恒定的相位因子外，每个细胞中都相同的解决方案。这是所有周期系统的一般性质，对于任意维数。这被称为布洛赫定理对于任何周期性的势，使得$U(\vec{r}+\vec{R})=$$U(\vec{r})$对于所有的$\vec{R}=N \vec{a}$，这里$\vec{a}$是某个向量，哈密顿函数的特征态具有这样的性质
$$
\psi_{n \vec{k}}(\vec{r}+\vec{R})=\psi_{n \vec{k}}(\vec{r}) e^{i \vec{k} \cdot \vec{R}}
$$
其中$n$是我们添加的波段指数，因为正如我们在Kronig-Penney模型中看到的那样，可以有多个具有相同$k$的特征态。

这可以用另一种方式重申。乘以相位因子$e^{-i \vec{k} \cdot \vec{r}}$，我们得到
$$
\begin{aligned}
& \psi_{n \vec{k}}(\vec{r}+\vec{R}) e^{-i \vec{k} \cdot \vec{r}}=\psi_{n \vec{k}}(\vec{r}) e^{i \vec{k} \cdot \vec{R}} e^{-i \vec{k} \cdot \vec{r}} \
& \psi_{n \vec{k}}(\vec{r}+\vec{R}) e^{-i \vec{k} \cdot(\vec{R}+\vec{r})}=\psi_{n \vec{k}}(\vec{r}) e^{-i \vec{k} \cdot \vec{r}} .
\end{aligned}
$$
这意味着$\psi_{n \vec{k}}(\vec{r}) e^{-i \vec{k} \cdot \vec{r}}$是一个周期函数。因此我们可以把特征态写成
$$
\psi_{n \vec{k}}(\vec{r})=\frac{1}{\sqrt{V}} u_{n \vec{k}}(\vec{r}) e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}},
$$
其中$V$是晶体的体积(为波函数的归一化而引入)，$u_{n \vec{k}}(\vec{r})$与势具有相同的周期性。注意，这里相位因子取决于连续变量$\vec{r}$而不是离散向量$\vec{R}$。函数$\psi_{n \vec{k}}(\vec{r})$称为Bloch函数，函数$u_{n \vec{k}}(\vec{r})$可称为单元格函数。

物理代写|固体物理代写SOLID PHYSICS代考|BravaisLattices and ReciprocalSpace

正如第1.1节所讨论的，固态物理不仅仅处理周期结构。然而，周期结构理论是极其重要的，因为许多固体确实具有周期性。具有周期性原子排列的固体称为晶体。大多数金属和半导体都是晶体。

晶体在自然界中很常见，因为有序结构比无序结构具有更低的熵，并且在低温下更有利于低熵状态。一个体系在室温下能否形成有序晶体取决于热能$k_B T$与两个原子结合能的比值。如果$k_B T$与结合能相比很小，那么系统本质上处于零温度状态，即使它与室温相比相当热。我们将在第5.4节讨论固相转变。

为了用周期结构填充所有的空间，我们取一个有限体积的空间，我们称之为原始细胞或单位细胞，通过三个向量的整数倍$\vec{a}_1, \vec{a}_2$和$\vec{a}_3$不旋转地平移它，使其彼此相邻。这些被称为原始向量的向量必须是线性无关的，但不必是正交的。图1.13显示了一些由原语向量生成的格的例子。单位单元格的所有位置的集合由
$$
\vec{R}=N_1 \vec{a}_1+N_2 \vec{a}_2+N_3 \vec{a}_3
$$
其中$N_1, N_2$和$N_3$是三个整数。所有向量$\vec{R}$的集合构成了晶体的Bravais晶格。这些向量指向一组点，这些点定义每个原始细胞的原点。

在整个空间中复制的原始细胞不需要是立方体或矩形;它可以是任何形状，只要周期性地复制，就可以填满所有的空间——它可以像埃舍尔版画的重复元素一样复杂。然而，最自然的选择是一个平行六面体，其三条边等于原始向量。

一个晶体每个原始细胞可以有一个以上的原子。在每个原始细胞中，我们可以指定一个基，它是一组向量，给出原子相对于每个细胞原点的位置。图1.14显示了两个具有基的格的例子。表1.1给出了一些比较常见的晶体类型的标准基元向量和基向量。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。