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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Basic properties of rings

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抽象代数Abstract Algebra在代数(数学中一个已经很广泛的部门)中,抽象代数(偶尔也称为现代代数)是对代数结构的研究。代数结构包括群、环、场、模块、向量空间、网格和代数。抽象代数这个术语是在20世纪初创造的,目的是将这一研究领域与代数的旧部分区分开来,更具体地说,是与初等代数,即在计算和推理中使用变量来表示数字。

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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Basic properties of rings

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Basic properties of rings

Believe it or not, even with all we’ve accomplished, we still haven’t developed a theory to solve equations as simple as $\frac{1}{2} x+1=0$. That’s because the expression $\frac{1}{2} x+1$ isn’t just about multiplication or addition: it involves both operations. Group theory is all about the properties of sets with a single binary operation, so group theory won’t provide the means to solve this type of linear equation. That means we need to develop a new algebraic structure that comes with more than one operation.

Definition 12.1. Let $R$ be a set with two binary operations on $R$, called addition and denoted + , and multiplication and denoted $\cdot$ Then $\langle R,+, \cdot\rangle$ is a ring if and only if the following hold:
(1) $\langle R,+\rangle$ is an abelian group.
(2) $\langle R, \cdot\rangle$ is an associative binary structure.
(3) $a \cdot(b+c)=a \cdot b+a \cdot c$ and $(b+c) \cdot a=b \cdot a+c \cdot a$ for all $a, b, c \in R$ (the distributive laws).

Before we proceed with examples, some observations about this definition are in order. First, we do just write $a b$ to mean $a \cdot b$ as we did with groups under multiplication, and we simply say that $R$ is a ring without explicitly mentioning the two operations. Second, notice that multiplication in a ring is very, very unstructured. Multiplication is only closed and associative: there need not be a multiplicative identity, and even if there is, there need not be any multiplicative inverses, and just like groups, multiplication need not be commutative. In particular, that means that we should not expect to be able to solve equations involving multiplication, since we need inverses to be able to “undo” an operation. Third, a ring’s additive structure is really, really nice: an abelian group! Addition commutes, and in fact we can now talk about subtraction in a ring by defining $a-b=a+(-b)$. Because of that, we also introduce a notation for the additive identity element: we use the symbol $\mathbf{0}$ to denote the additive identity.

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Homomorphisms

Just as we did with groups, we need to develop a notion of maps between rings that preserve structure. Now that we have two operations to deal with, those maps need to preserve both structures.

Definition 12.18. Let $R$ and $R^{\prime}$ be rings and $\phi: R \rightarrow R^{\prime}$ be a function. Then $\phi$ is a (ring) homomorphism if $\phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b)$ and $\phi(a b)=\phi(a) \phi(b)$ for all $a, b \in R$. A ring homomorphism $\phi$ is an isomorphism if and only if $\phi$ is also a bijection, and a ring automorphism is a ring isomorphism from a ring to itself. Two rings are isomorphic if and only if there is a ring isomorphism from one ring to the other.

Notice that since ring homomorphisms and isomorphisms are, in fact, group homomorphisms and group isomorphisms under addition, all of the results from group theory still apply to the additive structure of a ring. On the other hand, since the multiplicative structure of a ring isn’t a group structure, we don’t get all of the nice multiplicative properties we might hope for. However, if you have a ring isomorphism, then all of the algebraic properties like commutativity, unity, and inverses are preserved, as well as unity and inverses being mapped to unity and inverses. Yet even with ring homomorphisms, we do get a few nice properties similar to our results from groups.
Theorem 12.19. Let $\phi: R \rightarrow R^{\prime}$ be a ring homomorphism.
(1) $\phi\left(a^n\right)=\phi(a)^n$ for all $a \in R$ and $n \in \mathbb{Z}^{+}$.
(2) If $S$ is a subring of $R$, then $\phi(S)$ is a subring of $R^{\prime}$, and if $S$ is commutative, then $\phi(S)$ is also commutative.
(3) If $S^{\prime}$ is a subring of $R^{\prime}$, then $\phi^{-1}\left(S^{\prime}\right)$ is a subring of $R$.

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抽象代数代写

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信不信由你,即使我们取得了这么多成就,我们仍然没有发展出一种理论来解决$\frac{1}{2} x+1=0$这样简单的方程。这是因为表达式$\frac{1}{2} x+1$不只是关于乘法或加法:它涉及这两种操作。群论是关于具有单个二元操作的集合的性质,所以群论不会提供解决这类线性方程的方法。这意味着我们需要开发一种新的代数结构,它包含不止一种运算。

12.1.定义设$R$是一个集合,在$R$上有两个二进制运算,分别是加法运算,记为+,和乘法运算,记为$\cdot$,那么$\langle R,+, \cdot\rangle$是一个环,当且仅当以下条件成立:
(1) $\langle R,+\rangle$是一个阿贝尔群。
(2) $\langle R, \cdot\rangle$是一个结合二元结构。
(3)所有$a, b, c \in R$(分配律)为$a \cdot(b+c)=a \cdot b+a \cdot c$和$(b+c) \cdot a=b \cdot a+c \cdot a$。

在我们继续示例之前,有必要对这个定义进行一些观察。首先,我们只是写$a b$来表示$a \cdot b$,就像我们对乘法组所做的那样,我们只是说$R$是一个环,而没有明确提到这两个操作。其次,注意到环中的乘法是非常非结构化的。乘法只是封闭的和结合的:不需要有乘法的恒等式,即使有,也不需要有乘法的逆,就像群一样,乘法不需要交换。特别是,这意味着我们不应该期望能够解决涉及乘法的方程,因为我们需要逆才能“撤消”操作。第三,环的加性结构非常非常好:一个阿贝尔群!加法交换,实际上我们现在可以通过定义$a-b=a+(-b)$来讨论环中的减法。因此,我们还为可加单位元素引入了一种符号:我们使用符号$\mathbf{0}$来表示可加单位元素。

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就像我们对群体所做的那样,我们需要在环之间建立一种保持结构的地图概念。现在我们有两个操作要处理,这些映射需要保留这两个结构。

12.18.定义让 $R$ 和 $R^{\prime}$ 他响了铃, $\phi: R \rightarrow R^{\prime}$ 是一个函数。然后 $\phi$ 环是同态的吗 $\phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b)$ 和 $\phi(a b)=\phi(a) \phi(b)$ 对所有人 $a, b \in R$. 一个环同态 $\phi$ 同构是否当且仅当 $\phi$ 也是一个双射,一个环自同构是一个环到它自己的环同构。两个环是同构的当且仅当从一个环到另一个环存在环同构。

注意,由于环同态和同构实际上是加法下的群同态和群同构,所以群论的所有结果仍然适用于环的加性结构。另一方面,由于环的乘法结构不是群结构,我们没有得到我们希望的所有好的乘法性质。然而,如果你有一个环同构,那么所有的代数性质,如交换性、单位和逆都被保留,以及单位和逆被映射到单位和逆。然而,即使使用环同态,我们也能得到一些与群的结果相似的很好的性质。
定理12.19。设$\phi: R \rightarrow R^{\prime}$为环同态。
(1)所有$a \in R$和$n \in \mathbb{Z}^{+}$为$\phi\left(a^n\right)=\phi(a)^n$。
(2)如果$S$是$R$的子带,则$\phi(S)$是$R^{\prime}$的子带;如果$S$是可交换的,则$\phi(S)$也是可交换的。
(3)如果$S^{\prime}$是$R^{\prime}$的子带,那么$\phi^{-1}\left(S^{\prime}\right)$就是$R$的子带。

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Cayley’s theorem

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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Cayley’s theorem

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Cayley’s theorem

What began as a simple example of permutations from geometry gave rise to an interesting concept: recognizing a given group as a subgroup of a symmetric group. Is that possible for all groups? Not only is it true, but the theorem that answers our question is a famous result in abstract algebra.

Lemma 10.14. Let $G$ be a group. For each $g \in G$, define $\lambda_g: G \rightarrow G$ by $\lambda_g(x)=g x$, and let $\Lambda=\left{\lambda_g \mid g \in G\right}$. Likewise, for each $g \in G$, define $\rho_g: G \rightarrow G$ by $\rho_g(x)=x g$, and let $P=\left{\rho_g \mid g \in G\right}$. Then both $\Lambda$ and $P$ are subgroups of $S_G$.

Theorem 10.15 (Cayley’s Theorem). Let $G$ be a group. Then $G$ is isomorphic to a subgroup of $S_G$. In particular, every finite group of order $n$ is isomorphic to a subgroup of $S_n$

Notice that what Cayley’s theorem says is that every group $G$, no matter how large, is a subgroup of the (rather large) symmetric group $S_G$. You might be able to find a subgroup isomorphic to $G$ in a “smaller” symmetric group, and there might be multiple subgroups of $S_G$ isomorphic to $G$. In fact, if you used the lemma in your proof of Cayley’s theorem, then you showed that there are, in fact, at least two ways to view $G$ as a subgroup of $S_G$ : as the subgroups $\Lambda$ and $P$ of $S_G$.

Exercise 10.16. Let’s apply Cayley’s theorem to some known groups. For each small group $G$ below, find a collection of permutations of the elements of $G$ that correspond to $\Lambda$ and to $P$ as given by Cayley’s theorem.
(1) $G=\mathbb{Z}_3$
(3) $G=\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$
(2) $G=\mathbb{Z}_4$
(4) $G=S_3$

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Orbits and cycles

Our ability to recognize the dihedral groups as subgroups of the symmetric groups suggests that we might be able to think of any permutation of a set $A$ as “moving” the elements of $A$ around. Let’s see if we can develop this idea by considering what repeated application of an individual permutation in $S_A$ does to an element of the set $A$.

Definition 11.1. Let $A$ be a set, let $a \in A$, and let $\sigma \in S_A$. Then the orbit of $a$ under $\sigma$ is the $\operatorname{set}\left{\sigma^n(a) \mid n \in \mathbb{Z}\right}$
Theorem 11.2. Let $A$ be a set, and let $\sigma \in S_A$. Then the relation $\sim$ on $A$ defined by $a \sim b$ if and only if $b$ is in the orbit of $a$ under $\sigma$
is an equivalence relation on $A$ whose equivalence classes are the orbits of the elements of A under $\sigma$.

Definition 11.3. Let $A$ be a set. A permutation of $A$ is a cycle if and only if the permutation has at most one orbit with more than one element, and the length of a cycle is the number of elements in its largest orbit. A cycle of length one is the trivial cycle, and a cycle of length two is a transposition. We say two nontrivial cycles are disjoint if their largest orbits are disjoint.

Exercise 11.4. List all the orbits of the given element of $S_6$. Which are cycles? Which are transpositions?
(1) $f(1)=5, f(2)=2, f(3)=1, f(4)=6, f(5)=3, f(6)=4$.
(2) $f(1)=2, f(2)=4, f(3)=1, f(4)=5, f(5)=6, f(6)=3$.
(3) $f(1)=1, f(2)=5, f(3)=3, f(4)=6, f(5)=2, f(6)=4$.
(4) $f(1)=4, f(2)=2, f(3)=3, f(4)=1, f(5)=5, f(6)=6$.

(5) $f(1)=3, f(2)=1, f(3)=6, f(4)=4, f(5)=5, f(6)=2$.
(6) $f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3, f(4)=4, f(5)=5, f(6)=6$.

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Cayley’s theorem

抽象代数代写

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Cayley’s theorem

从一个简单的几何排列例子开始,产生了一个有趣的概念:将给定群识别为对称群的子群。这对所有群体都可能吗?它不仅是正确的,而且回答我们问题的定理是抽象代数中一个著名的结果。

引理10.14。让$G$成为一个团体。对于每个$g \in G$,用$\lambda_g(x)=g x$定义$\lambda_g: G \rightarrow G$,并让$\Lambda=\left{\lambda_g \mid g \in G\right}$。同样,对于每个$g \in G$,用$\rho_g(x)=x g$定义$\rho_g: G \rightarrow G$,并让$P=\left{\rho_g \mid g \in G\right}$。那么$\Lambda$和$P$都是$S_G$的子组。

定理10.15(凯莱定理)。让$G$成为一个团体。那么$G$与$S_G$的子群是同构的。特别地,每个阶为$n$的有限群都同构于的子群 $S_n$

注意,凯利定理说的是,每个群$G$,无论多大,都是(相当大的)对称群$S_G$的子群。您可能能够在“较小的”对称组中找到与$G$同构的子组,并且可能有多个与$G$同构的$S_G$子组。事实上,如果你在凯利定理的证明中使用了这个引理,那么你就证明了,事实上,至少有两种方法可以把$G$看作$S_G$的子群:$S_G$的子群$\Lambda$和$P$。

练习10.16。让我们把凯莱定理应用到一些已知的群上。对于下面的每一个小组$G$,根据Cayley的定理,找到对应于$\Lambda$和$P$的$G$的元素排列的集合。
(1) $G=\mathbb{Z}_3$
(3) $G=\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$
(2) $G=\mathbb{Z}_4$
(4) $G=S_3$

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我们将二面体群识别为对称群的子群的能力表明,我们可能能够将集合$A$的任何排列视为$A$的元素的“移动”。让我们看看是否可以通过考虑$S_A$中单个排列的重复应用对集合$A$中的一个元素的影响来发展这个想法。

11.1.定义设$A$为一组,设$a \in A$,设$\sigma \in S_A$。那么$\sigma$下面的$a$轨道就是$\operatorname{set}\left{\sigma^n(a) \mid n \in \mathbb{Z}\right}$
定理11.2。设$A$为一组,设$\sigma \in S_A$。那么$a \sim b$定义的$A$上的关系$\sim$当且仅当$b$在$\sigma$下的$a$的轨道上
是$A$上的等价关系,其等价类是$\sigma$下A元素的轨道。

11.3.定义设$A$为集合。$A$的排列是一个循环当且仅当该排列最多有一个包含多个元素的轨道,周期的长度是其最大轨道上的元素数。长度为1的循环是平凡循环,长度为2的循环是转置。我们说两个非平凡循环是不相交的如果它们最大的轨道是不相交的。

练习11.4。列出$S_6$中给定元素的所有轨道。哪些是周期?哪些是换位?
(1) $f(1)=5, f(2)=2, f(3)=1, f(4)=6, f(5)=3, f(6)=4$。
(2) $f(1)=2, f(2)=4, f(3)=1, f(4)=5, f(5)=6, f(6)=3$。
(3) $f(1)=1, f(2)=5, f(3)=3, f(4)=6, f(5)=2, f(6)=4$。
(4) $f(1)=4, f(2)=2, f(3)=3, f(4)=1, f(5)=5, f(6)=6$。
(5) $f(1)=3, f(2)=1, f(3)=6, f(4)=4, f(5)=5, f(6)=2$。
(6) $f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3, f(4)=4, f(5)=5, f(6)=6$。

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微观经济学代写

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Finitely generated abelian groups

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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Finitely generated abelian groups

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Finitely generated abelian groups

We now arrive at a foundational theorem in the subject. This theorem provides a comprehensive list of all abelian groups that are finitely generated. Unfortunately, the particular details of the proof require techniques that we haven’t covered, but its power is too great to leave this theorem alone. Instead, we’ll prove aspects of the theorem that will give you some ideas as to why it might be true. We’ll begin with an interesting theorem.

Theorem 8.15. Let $G$ be an abelian group. If $T$ is the set of all elements of $G$ with finite order, then $T$ is a subgroup of $G$.

Definition 8.16. Let $G$ be an abelian group. The subgroup $T$ of all elements of $G$ with finite order is called the torsion subgroup of $G$. If the torsion subgroup of $G$ is the trivial group (that is, the only element of $G$ with finite order is $e$ ), then we say $G$ is torsion free.

Exercise 8.17. Many students mistakenly remember the torsion subgroup as “the set of all elements of finite order of a group.” That would be true, if the group itself were abelian. But nonabelian groups are far more problematic. Show that the two matrices $A=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \ 1 & 0\end{array}\right]$ and $B=\left[\begin{array}{cc}0 & \frac{1}{2} \ 2 & 0\end{array}\right]$ each have finite order, but their product has infinite order. This shows that the set of elements of finite order need not be closed in a nonabelian group.

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|The first isomorphism theorem

We’re now in a position to put what we’ve learned in the past three chapters together. Specifically, we learned how to construct quotient groups in Chapter 6; the structure of cyclic groups in Chapter 7; and the nature of finitely generated abelian groups in Chapter 8. What we’d like to know now is how to identify the structure of quotient groups. What we need is a way to tell when a quotient group is isomorphic to a well known group, such as a cyclic group or a finitely generated abelian group. Such a method is our first and most important theorem of the chapter.

Theorem 9.1 (The First Isomorphism Theorem). Let $\phi: G \rightarrow G^{\prime}$ be a homomorphism with kernel $K$. Then the function $\bar{\phi}: G / K \rightarrow \phi(G)$ given by $\bar{\phi}(g K)=\phi(g)$ is a welldefined isomorphism.

Corollary 9.2. Let $\phi: G \rightarrow G^{\prime}$ be a surjective homomorphism with kernel $K$. Then $G^{\prime}$ is isomorphic to $G / K$.

With this theorem, we have the power to make intuition precise. Think of quotient groups as collapsing part of the group together, leaving only part of the group left. When this happens, what structure do we have left after the quotient? We’ll make an educated guess and then use the corollary to the First Isomorphism Theorem to verify our guess! The next example and the first few theorems that follow should help develop this intuition.

Example 9.3. Let’s see an example of how to use the First Isomorphism Theorem on a fact we already know: $\mathbb{Z} /\langle n\rangle \cong \mathbb{Z}_n$. What we should do is find an onto homomorphism $\phi: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_n$ whose kernel is specifically $\langle n\rangle$. So, let’s use Theorem 7.7 and define a homomorphism $\phi$ by $\phi(1)=1$ (so that $\phi(x)=\phi(x \cdot 1)=x \phi(1)$, which means that $\phi(x)$ is the remainder of $x$ divided by $n$ ). We simply need to show that $\phi$ is onto and that $\operatorname{Ker}(\phi)=\langle n\rangle$.

The first is easy: for any $b \in \mathbb{Z}_n$, we have $\phi(b)=\phi(b \cdot 1)=b \phi(1)=b$. We now need to compute the kernel of $\phi$, and since $\operatorname{Ker}(\phi)$ are all those integers $x$ such that $\phi(x)=0$, we need to find all integers $x$ such that $\phi(x)$ is a multiple of $n$. But $\phi(x)$ is simply the remainder of $x$ when divided by $n$. That means that $x$ itself must be a multiple of $n$, so $\operatorname{Ker}(\phi)$ is the set of all multiples of $n$. That’s what $\langle n\rangle$ is, and thus $\operatorname{Ker}(\phi)=\langle n\rangle$. By the First Isomorphism Theorem, $\mathbb{Z} /\langle n\rangle \cong \mathbb{Z}_n$.

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Finitely generated abelian groups

抽象代数代写

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Finitely generated abelian groups

现在我们得到了这门学科的一个基本定理。这个定理提供了有限生成的所有阿贝尔群的一个综合列表。不幸的是,证明的具体细节需要我们没有涉及的技术,但它的力量太大了,不能把这个定理单独留下。相反,我们将证明这个定理的一些方面这将给你一些关于为什么它可能是正确的想法。我们将从一个有趣的定理开始。

定理8.15。设$G$是一个阿贝尔群。如果$T$是$G$中所有有限阶元素的集合,那么$T$是$G$的一个子群。

8.16.定义设$G$是一个阿贝尔群。所有具有有限阶的$G$元素的子群$T$称为$G$的扭转子群。如果$G$的扭转子群是平凡群(即$G$的唯一有限阶元素是$e$),那么我们说$G$是无扭转的。

练习8.17。许多学生错误地将扭转子群记为“群的有限阶元素的集合”。如果这个群体本身是阿贝尔的,那就对了。但非abel群体的问题要大得多。证明两个矩阵$A=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \ 1 & 0\end{array}\right]$和$B=\left[\begin{array}{cc}0 & \frac{1}{2} \ 2 & 0\end{array}\right]$都有有限阶,但它们的乘积有无限阶。这表明有限阶元素的集合在非贝尔群中不必是封闭的。

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|The first isomorphism theorem

现在我们可以把过去三章学到的东西放在一起了。具体来说,我们在第六章学习了如何构造商群;第7章环群的结构;以及第八章中有限生成阿贝尔群的性质。我们现在想知道的是如何识别商群的结构。我们需要的是一种方法来判断一个商群是否同构于一个已知的群,比如一个循环群或一个有限生成的阿贝尔群。这种方法是本章第一个也是最重要的定理。

定理9.1(第一同构定理)。设$\phi: G \rightarrow G^{\prime}$为核$K$的同态。那么由$\bar{\phi}(g K)=\phi(g)$给出的函数$\bar{\phi}: G / K \rightarrow \phi(G)$是一个定义良好的同构。

推论9.2。设$\phi: G \rightarrow G^{\prime}$是核$K$的满射同态。那么$G^{\prime}$和$G / K$是同构的。

有了这个定理,我们就有能力让直觉变得精确。把商群想象成群的一部分塌缩在一起,只剩下群的一部分。当这种情况发生时,商之后还剩下什么结构?我们将做一个有根据的猜测,然后使用第一同构定理的推论来验证我们的猜测!下一个例子和接下来的几个定理应该有助于培养这种直觉。

例9.3。让我们看一个例子,看看如何在我们已经知道的事实上使用第一同构定理:$\mathbb{Z} /\langle n\rangle \cong \mathbb{Z}_n$。我们要做的是找到一个映同态$\phi: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_n$它的核是$\langle n\rangle$。因此,让我们使用7.7定理并定义一个同态$\phi$除以$\phi(1)=1$(因此$\phi(x)=\phi(x \cdot 1)=x \phi(1)$,这意味着$\phi(x)$是$x$除以$n$的余数)。我们只需要证明$\phi$是on和$\operatorname{Ker}(\phi)=\langle n\rangle$。

第一个很简单:对于任何$b \in \mathbb{Z}_n$,我们都有$\phi(b)=\phi(b \cdot 1)=b \phi(1)=b$。现在我们需要计算$\phi$的内核,因为$\operatorname{Ker}(\phi)$是所有的整数$x$,因此$\phi(x)=0$,我们需要找到所有的整数$x$,使得$\phi(x)$是$n$的倍数。但是$\phi(x)$就是$x$除以$n$的余数。这意味着$x$本身一定是$n$的倍数,所以$\operatorname{Ker}(\phi)$是$n$的所有倍数的集合。这就是$\langle n\rangle$,所以是$\operatorname{Ker}(\phi)=\langle n\rangle$。根据第一同构定理,$\mathbb{Z} /\langle n\rangle \cong \mathbb{Z}_n$。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Homomorphisms and kernel

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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Homomorphisms and kernel

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Homomorphisms and kernel

To begin our second part of our survey of group theory, consider the following two functions: $\phi: n \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ given by $\phi(x)=x$, and the function $\psi: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_n$ given by $\psi(x)=r$, where $r$ is the remainder of $x$ divided by $n$. Neither map is an isomorphism, since $\phi$ is not surjective and $\psi$ is not injective. Yet despite this fact, the maps do preserve the group structure of the domain; that is, $\phi(x+y)=\phi(x)+\phi(y)$ and $\psi(x+y)=\psi(x)+\psi(y)$ (this latter fact is tedious to check, but true nonetheless). Hence, while neither map matches the two groups up perfectly, they at least relate the group structures faithfully. Consequently, we’ll define such maps precisely and turn our attention to their properties.

Definition 6.1. Let $G$ and $G^{\prime}$ be groups. A function $\phi: G \rightarrow G^{\prime}$ is a (group) homomorphism from $G$ to $G^{\prime}$ if and only if $\phi(a b)=\phi(a) \phi(b)$ for all $a, b \in G$.

Notice then that an isomorphism is simply a bijective homomorphism. It’s worthwhile to see what properties of isomorphisms still hold even when the homomorphism isn’t bijective.
Theorem 6.2. Let $\phi: G \rightarrow G^{\prime}$ be a group homomorphism and let $H<G$.
(1) The image of the identity of $G$ under $\phi$ is the identity of $G^{\prime}$.
(2) $\phi\left(g^{-1}\right)=\phi(g)^{-1}$ for all $g \in G$.
(3) $\phi\left(g^n\right)=(\phi(g))^n$ for all $g \in G$ and integers $n$.
(4) If $g \in G$ has finite order, then $\phi(g)$ has finite order and is a divisor of the order of $g$.
(5) $\phi(H)<G^{\prime}$
(6) If $H$ is abelian, then $\phi(H)$ is abelian.
(7) If $A \subset H$ generates $H$, then $\phi(A)$ generates $\phi(H)$.

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Normal subgroups

Theorem 6.10 gives us the opportunity to do something truly innovative. Recall that an isomorphism matched elements from two groups in such a way that the operations on the two groups also matched. A homomorphism still matches the operation, but the function need not be bijective, so individual elements aren’t always matched up perfectly. However, we just saw that it’s not the individual elements that are matched up: it’s the cosets of the kernel that are matched with elements of $G^{\prime}$. Does that mean that, somehow, we can put a group operation on cosets? What would that even mean?
Let’s first play with the kernel $K$ of a group homomorphism $\phi: G \rightarrow G^{\prime}$. If we pick two elements $a^{\prime}, b^{\prime} \in G^{\prime}$ and take their inverse images, we’ll get two cosets $a K$ and $b K$, where $\phi(a)=a^{\prime}$ and $\phi(b)=b^{\prime}$. On the other hand, if we take the inverse image of the product $a^{\prime} b^{\prime}$, we’ll get some coset $c K$, where $\phi(c)=a^{\prime} b^{\prime}$. But wait: since $\phi$ is a homomorphism, we know that $\phi(a b)=\phi(a) \phi(b)=a^{\prime} b^{\prime}$. Thus, we can choose $c=a b$. It therefore makes sense that we would want to say something like, “Define the product of cosets by $a K \cdot b K=(a b) K$.” Will this always work?

Let’s begin with a group $G$ and an arbitrary subgroup $H<G$. What we’re going to attempt is to define an operation on the set $G / H$ of left cosets of $H$ in $G$. The previous paragraph gives us what looks like the natural binary operation to use: given two left cosets $a H, b H \in G / H$, define
$$
(a H)(b H)=(a b) H
$$
But any time we define a function on cosets – and a binary operation is a function – we have to prove that the function is well-defined. This is now our first crucial theorem.
Theorem 6.11. Let $G$ be a group and $H<G$. Then the binary operation on $G / H$ given by $(a H)(b H)=(a b) H$ is well defined if and only if $g H=H g$ for all $g \in G$.

In other words, this operation makes sense – and only makes sense – when the left and right cosets of $H$ in $G$ are the same. These subgroups form the backbone of much of group theory.

Definition 6.12. Let $G$ be a group and $H<G$. The subgroup $H$ is a normal subgroup of $G$ if and only if $g H=H g$ for all $g \in G$. If $H$ is a normal subgroup of $G$, we write $H<G$.

Using this definition, the operation $(a H)(b H)=(a b) H$ is well-defined if and only if $H$ is a normal subgroup of $G$. Let’s now verify that $G / H$ is a group under this operation when $H$ is a normal subgroup of $G$.

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抽象代数代写

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开始我们的群论调查的第二部分,考虑以下两个函数: $\phi: n \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ 由 $\phi(x)=x$, 和功能 $\psi: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_n$ 由 $\psi(x)=r \mathrm{~ , 在 哪 里 ~} r$ 是剩下的 $x$ 除以 $n$. 两个映射都不是同构的,因为 $\phi$ 不是满射的并且 $\psi$ 不是单射的。尽管如 此,地图确实保留了域的组结构;那是, $\phi(x+y)=\phi(x)+\phi(y)$ 和 $\psi(x+y)=\psi(x)+\psi(y)$ (后一 个事实很难检查,但仍然是事实)。因此,虽然两张地图都无法完美匹配这两个群体,但它们至少忠实地关联 了群体结构。因此,我们将精确定义此类地图并将注意力转移到它们的属性上。
定义 6.1。让 $G$ 和 $G^{\prime}$ 成为团体。一个功能 $\phi: G \rightarrow G^{\prime}$ 是一个 (群) 同态来自 $G^{\text {到 }} G^{\prime}$ 当且仅当 $\phi(a b)=\phi(a) \phi(b)$ 对全部 $a, b \in G$.
请注意,同构只是双射同态。值得一看的是,即使同态不是双射的,同构的哪些性质仍然成立。 定理 6.2。让 $\phi: G \rightarrow G^{\prime}$ 是一个群同态并且让 $H<G$.
(一)身份形象 $G$ 在下面 $\phi$ 是的身份 $G^{\prime}$.
(2) $\phi\left(g^{-1}\right)=\phi(g)^{-1}$ 对全部 $g \in G$.
(3) $\phi\left(g^n\right)=(\phi(g))^n$ 对全部 $g \in G$ 和整数 $n$.
(4) 如果 $g \in G$ 有有限阶,那么 $\phi(g)$ 具有有限阶并且是阶的除数 $g$.
(5) $\phi(H)<G^{\prime}$
(6) 如果 $H$ 是交换矩阵,那么 $\phi(H)$ 是阿贝尔的。
(7) 如果 $A \subset H$ 产生 $H$ ,然后 $\phi(A)$ 产生 $\phi(H)$.

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Normal subgroups

定理 6.10 让我们有机会做一些真正创新的事情。回想一下,同构以这样的方式匹配来自两个组的元淸,使得对 两个组的操作也匹配。同态仍然匹配操作,但函数不必是双射的,因此单个元素并不总是完美匹配。然而,我 们刚刚看到,匹配的不是单个元龶:匹配的是核的陪集 $G^{\prime}$. 这是否意味看我们可以以某种方式对陪集进行群操 作? 这甚至意味着什么?
让我们先玩一下内核 $K$ 群同态 $\phi: G \rightarrow G^{\prime}$. 如果我们选择两个元素 $a^{\prime}, b^{\prime} \in G^{\prime}$ 并拍摄他们的反像,我们会得 到两个陪集 $a K$ 和 $b K$ ,在哪里 $\phi(a)=a^{\prime}$ 和 $\phi(b)=b^{\prime}$. 另一方面,如果我们取产品的反像 $a^{\prime} b^{\prime}$ ,我们会得到 一些陪集 $c K$ ,在哪里 $\phi(c)=a^{\prime} b^{\prime}$. 但是等等: 因为 $\phi$ 是同态的,我们知道 $\phi(a b)=\phi(a) \phi(b)=a^{\prime} b^{\prime}$. 这 样,我们可以选择 $c=a b$. 因此,我们想说这样的话是有道理的,“定义陪集的乘积 $a K \cdot b K=(a b) K^{\prime \prime}$ 这会 一直有效吗?
让我们从一组开始 $G$ 和任意子群 $H<G$. 我们要尝试的是在集合上定义一个操作 $G / H$ 的左陪集 $H$ 在 $G$. 上一段 给了我们使用的自然二元运算: 给定两个左陪集 $a H, b H \in G / H$ ,定义
$$
(a H)(b H)=(a b) H
$$
但是任何时候我们在陪集上定义一个函数一一而二元运算是一个函数一一我们必须证明这个函数是明确定义的。 现在这是我们的第一个关键定理。
定理 6.11。让 $G$ 成为一个团体并且 $H<G$. 然后二元运算 $G / H$ 由 $(a H)(b H)=(a b) H$ 是明确定义的当且仅 当 $g H=H g$ 对全部 $g \in G$.
换句话说,当 $H$ 在 $G$ 是相同的。这些子群构成了大部分群论的支柱。
定义 6.12。让 $G$ 成为一个团体并且 $H<G$. 子群 $H$ 是正规子群 $G$ 当且仅当 $g H=H g$ 对全部 $g \in G$. 如果 $H$ 是 正规子群 $G$ ,我们写 $H<G$.
使用这个定义,操作 $(a H)(b H)=(a b) H$ 是明确定义的当且仅当 $H$ 是正规子群 $G$. 现在让我们验证一下 $G / H$ 是这个操作下的一个组,当 $H$ 是正规子群 $G$.

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什么是计量经济学?
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Subgroups and generating sets

如果你也在 怎样代写抽象代数Abstract Algebra 这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。抽象代数Abstract Algebra是代数的一组高级课题,涉及抽象代数结构而不是通常的数系。这些结构中最重要的是群、环和场。通用代数是一个相关的学科,它将代数结构的类型作为单一对象进行研究。例如,群的结构是普遍代数中的一个单一对象,它被称为群的变种。

抽象代数Abstract Algebra在代数(数学中一个已经很广泛的部门)中,抽象代数(偶尔也称为现代代数)是对代数结构的研究。代数结构包括群、环、场、模块、向量空间、网格和代数。抽象代数这个术语是在20世纪初创造的,目的是将这一研究领域与代数的旧部分区分开来,更具体地说,是与初等代数,即在计算和推理中使用变量来表示数字。

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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Subgroups and generating sets

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Subgroups and generating sets

As we have seen in Chapter 3 , examples of groups are quite varied: sets of numbers or matrices under addition or multiplication, sets of functions under composition, and even finite sets with a suitably constructed table are groups. However, for many of these examples, it’s not the operation that’s different, but rather only the set that changes.
Example 4.1. Consider the groups $G=\mathbb{R}$ and $H=\mathbb{Q}$. Although they are both groups in their own right, there’s a natural relationship between them: not only is $\mathbb{Q}$ a subset of $\mathbb{R}$, but their operations are identical: addition of elements of $\mathbb{Q}$ is identical to addition of those same elements in $\mathbb{R}$. When this special relationship of being both a subset and agreement on the operation occurs, we tend to think not of two different groups, but of one “large” group inside of which lies the “smaller” group as a subset.

There is a technical issue we must first raise. The binary operation of a group $\langle G, \cdot\rangle$ is a function with domain $G \times G$. Given a subset $H \subset G$, we can restrict the domain of – to $H \times H$ and see if this restricted operation – the “same” one used to define a valid operation on $G$ – yields a group (or a binary operation, at least). Hence, we need a preliminary definition to deal with this technicality.

Definition 4.2. Let $\langle G, \cdot\rangle$ be a binary structure and let $H \subset G$. Then the function $: H \times H \rightarrow G$ given by $(a, b)=a \cdot b$ is called the operation induced by $\cdot$
With this terminology, we can now define the key term precisely.
Definition 4.3. Let $G$ be a group. We say a subset $H \subset G$ is a subgroup of $G$ if and only if $H$ is a group under the operation induced by the operation on $G$. We write $H<G$ to denote that $H$ is a subgroup of $G$.

Given a group $G$, there are always two (not necessarily different) subgroups of $G$ : the group $G$ itself, and the subgroup consisting of the identity element alone. Since we’re often interested in subgroups other than those two, let’s name them for future reference.

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|The center of a group

All we’ve done so far is identify what subgroups are, so we might try to use them to help us understand the structure of a group. To begin, let’s see if we can use subgroups to measure how close to abelian a given group is.

Theorem 4.13. Let $G$ be a group. Then the subset $Z(G)={g \in G \mid x g=g x$ for all $x \in G}$ is a subgroup of $G$.

Definition 4.14. Let $G$ be a group. The subgroup $Z(G)={g \in G \mid x g=g x$ for all $x \in G}$ is called the center of $G$.
Corollary 4.15. Let $G$ be a group. Then $G$ is abelian if and only if $Z(G)=G$.
Ah, an actual object that detects if a group is abelian or not. But even if a group $G$ isn’t abelian, that doesn’t mean that the center is the trivial subgroup. After all, there might be only a few elements that don’t commute. Can we use subgroups to see if an individual element commutes well?

Theorem 4.16. Let $G$ be a group and $a \in G$. Then the subset $C(a)={g \in G \mid g a=a g}$ is a subgroup of $G$.

Definition 4.17. Let $G$ be a group and $a \in G$. The subgroup $C(a)={g \in G \mid g a=a g}$ is called the centralizer of $a$ in $G$.

This means that centralizers are objects that tell us how well individual elements commute with others in the group. In fact, you might have anticipated this next theorem.
Theorem 4.18. Let $G$ be a group. Then $Z(G)=\bigcap_{a \in G} C(a)$.
Exercise 4.19. Find the centralizers of the elements $\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \ 0 & 2\end{array}\right]$ and $\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \ 0 & 3\end{array}\right]$ in the group $G L_2(\mathbb{R})$. Use this to state what elements are in $Z\left(G L_2(\mathbb{R})\right)$, and justify your answer.

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抽象代数代写

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正如我们在第 3 章中看到的,群的例子是多种多样的:加法或乘法下的数集或矩阵集、组合下的函数集,甚至 具有适当构造的表的有限集都是群。但是,对于其中许多示例,不同的不是操作,而是集合发生了变化。
例 4.1。考虑群体 $G=\mathbb{R}$ 和 $H=\mathbb{Q}$. 虽然他们本身都是群体,但他们之间有一种天然的关系:不仅是 $\mathbb{Q}$ 的一个 子集 $\mathbb{R}$ ,但它们的操作是相同的: 添加元渍 $\mathbb{Q}$ 与添加那些相同的元素相同 $\mathbb{R}$. 当这种既是子集又是操作一致的特 殊关系出现时,我们往往不会想到两个不同的组,而是想到一个“大”组,其中“较小”组作为一个子集。
我们必须首先提出一个技术问题。群的二元运算 $\langle G, \cdot\rangle$ 是一个有定义域的函数 $G \times G$. 给定一个子集 $H \subset G$ , 我们可以将 – 的域限制为 $H \times H$ 并查看此受限操作是否与用于定义有效操作的“相同“操作 $G$ – 产生一个组 (或至少是一个二元运算) 。因此,我们需要一个初步的定义来处理这个技术问题。
定义 4.2。让 $\langle G, \cdot\rangle$ 是一个二元结构,让 $H \subset G$. 然后是函数: $H \times H \rightarrow G$ 由 $(a, b)=a \cdot b$ 称为由. 有了这个术语,我们现在可以精确定义关键术语。
定义 4.3。让 $G$ 成为一个团体。我们说一个子集 $H \subset G$ 是一个子群 $G$ 当且仅当 $H$ 是由操作诱导的操作下的一组 $G$. 我们写 $H<G$ 表示 $H$ 是一个子群 $G$.
给定一组 $G$ ,总有两个 (不一定不同) 的子群 $G$ :群组 $G$ 本身,以及仅由身份元素组成的子群。由于我们通常 对这两个以外的子组感兴趣,所以让我们为它们命名以供将来参考。

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到目前为止,我们所做的只是确定子群是什么,因此我们可能会尝试使用它们来帮助我们理解群的结构。首 先,让我们看看是否可以使用子群来衡量给定群与阿贝尔群的接近程度。
定理 4.13。让 $G$ 成为一个团体。然后是子集 $Z(G)=g \in G \mid x g=g x \$$ forall $\$ x \in G$ 是一个子群 $G$.
定义 4.14。让 $G$ 成为一个团体。子群 $Z(G)=g \in G \mid x g=g x \$$ forall $\$ x \in G$ 被称为中心 $G$.
推论 4.15。让 $G$ 成为一个团体。然后 $G$ 是交换的当且仅当 $Z(G)=G$.
啊,检测一个群是否是交换群的实际对象。但即使是一群 $G$ 不是阿贝尔群,这并不意味着中心是平凡子群。毕 竟,可能只有少数元龶不通勤。我们可以使用子组来龺看单个元龶是否通勒良好吗?
定理 4.16。让 $G$ 成为一个团体并且 $a \in G$. 然后是子集 $C(a)=g \in G \mid g a=a g$ 是一个子群 $G$.
定义 4.17。让 $G$ 成为一个团体并且 $a \in G$. 子群 $C(a)=g \in G \mid g a=a g$ 称为中心化器 $a$ 在 $G$.
这意味着中心化器是告诉我们各个元清与组中其他元嫊的交换情况的对象。事实上,您可能已经预料到下一个 定理。
定理 4.18。让 $G$ 成为一个团体。然后 $Z(G)=\bigcap_{a \in G} C(a)$.
练习 4.19。找到元淸的中心化器 $\left[\begin{array}{lllll}1 & 0 & 0 & 2\end{array}\right]$ 和 $\left[\begin{array}{llll}3 & 0 & 0 & 3\end{array}\right]$ 在群里 $G L_2(\mathbb{R})$. 用它来说明元龶是什么 $Z\left(G L_2(\mathbb{R})\right)$ ,并证明你的答案。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Binary operations

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Binary operations

When one begins to think on the variety of equations one tries to solve, it doesn’t take long to realize that each subject has its own objects, upon which are defined a variety of processes that you can use to manipulate them: addition on numbers, matrix multiplication on matrices, etc. But despite the apparent differences between them, they all share one fundamental property: whenever you combine two or more of the objects, you get another object of the same type: the sum of two numbers is a number, the product of two $n \times n$ matrices is another matrix, etc. Hence, that’s where we’ll start our study of abstract algebra proper.

To begin, let’s reflect on what we’re really doing when we “combine” objects. We take two objects from a set and apply some kind of rule or process to this pair of objects, and the result produces an object from that same set. Yet what we’ve described here is nothing more than a function whose domain is ordered pairs of elements from a set and whose range is contained back in that same set. This basic observation is codified in the following definition.

Definition 2.1. Let $G$ be a set. Any function, $$, whose domain is $G \times G$ is a binary operation on $G$ if and only if the range of $$ is a subset of $G$. When $$ is a binary operation on $G$, we say that $G$ is closed under $$. We denote the image of $(a, b)$ under $*$ as $a * b$. We write $\langle G, *\rangle$ to indicate that * is a binary operation on $G$, and we say that $\langle G, *\rangle$ is a binary structure.

Although a binary operation is simply a particular function, it’s probably best to review the terms about functions and how they apply to this definition. If you need, read Section A.2 in Appendix A for a refresher on the relevant terminology.
(1) If $*$ is a binary operation on a set $G$, then the element $a * b$ cannot be undefined for any elements $a, b \in G$. For instance, if we let $G=\mathbb{Q}$ and define $\frac{a}{b} * \frac{c}{d}=\frac{a}{b} / \frac{c}{d}$, then this rule isn’t defined when $c=0$, since division by zero isn’t defined.

(2) Likewise, if $*$ is a binary operation on a set $G$, then the element $a * b$ must be welldefined for each pair of elements $a, b \in G$. For instance, if we let $G=\mathbb{Q}$ and define $\frac{a}{b} * \frac{c}{d}=a+c$, then this rule isn’t well-defined, since $\frac{1}{2}$ and $\frac{2}{4}$ represent the same number, but $\frac{a}{b} * \frac{1}{2}=a+1$, and $\frac{a}{b} * \frac{2}{4}=a+2$, which are always different.

Aside. Students often fail to appreciate the import of this example. The issue of a welldefined function always arises whenever the objects in the set have more than one description or form. The standard way to verify that a binary operation $*$ is well-defined is to take two equivalent forms of the objects in your set and prove that the result does not depend on the form of the objects. Functions dealing with rational numbers frequently fall in this category, since every rational number has infinitely many equivalent fractional forms. Hence, to check that a function $f$ is well-defined in this case, you would need to suppose that $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ and prove that $f\left(\frac{a}{b}\right)=f\left(\frac{c}{d}\right)$.

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Binary tables

When a set $G$ is small, one way to define a binary operation $*$ on $G$ is to list all of the possible combinations of $a * b$ for elements $a, b \in G$. The most convenient way to do this is to set up a table whose entries indicate the result of applying the binary operation to two elements. Specifically, we create a binary table to define a binary operation on the set $G=\left{a_1, \ldots, a_n\right}$ in the following way:
1) Write the elements of $G$ in a column, then write them in a row at the top in the same order as you did in the column.
2) Fill in the corresponding $n^2$ entries with exactly one element in $G$.
3) Define the element $a_i * a_j$ to be the entry in the $i^{\text {th }}$ row and the $j^{\text {th }}$ column.
It’s also easy to verify that your table gives a rule that is both well-defined and is defined everywhere. After all, as long as every entry is filled with at least one element of $G$, then $a * b$ is defined everywhere; and as long as you don’t put more than one element from $G$ in any entry, then your rule is well-defined.

Exercise 2.9. Let $G={a, b, c}$. Suppose we define a binary operation on $G$ with the following table:
\begin{tabular}{|c||c|c|c|}
\hline$*$ & $a$ & $b$ & $c$ \
\hline \hline$a$ & $a$ & $c$ & $c$ \
\hline$b$ & $b$ & $b$ & $b$ \
\hline$c$ & $a$ & $a$ & $b$ \
\hline
\end{tabular}
(So, for instance, $c * a=a$.)
(1) Compute $a * b, \quad b * a, \quad b * b, \quad(a * c) * b, \quad a *(c * b), \quad c *(c * c)$, and $(c * c) * c$.
(2) Determine if the operation is commutative, associative, neither, or both.

There’s really no theory about binary tables, but there are several observations that are useful to have. First, since you can put any of the $n$ elements of $G$ into any of the $n^2$ entries, there are a total of $n^{n^2}$ possible ways to construct a binary operation on $G$. Second, checking to see if a binary table’s operation is commutative is easy: reflect the table along the “main diagonal” and compare with the original table. If they’re the same, then it’s a commutative operation; otherwise, you’ll have at least one pair of elements $a_i, a_j$ such that $a_i * a_j \neq a_j * a_i$.

Associativity, on the other hand, is never easy to check by looking at the table. That’s because checking associativity deals with using the table sequentially. It also means verifying that $(a * b) * c=a *(b * c)$ for all choices of $a, b, c \in G$, which means you’ve got $n^3$ different pairs of triples to compare. That’s just too tedious to do by hand; a computer is almost a necessity if you need to know if your operation is associative.

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Binary operations

抽象代数代写

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Binary operations

当一个人开始思考试图求解的各种方程式时,很快就会意识到毎个主题都有自己的对象,在这些对象上定义了可以用来操它们的 各种过程: 数字加法,矩阵乘法等。尽管它们之间存在明显差异,但它们都具有一个其本属性: 无论何时组合两个或多个对彖,都 会得到另一个相同类型的对象:两个数字的总和是一个数字,两个的乘积 $n \times n$ 矩阵是另一个矩阵,等等。因此,这就是我们开始 研究抽象代数的地方。
首先,让我们反思一下当我们”组合”对象时我们实际上在做什么。我们从一组中取出两个对彖,并将某种规则或过程应用于这对对 象,结果从同一组中生成一个对彖。然而,我们在这里描述的只不过是一个函数,它的域是一个集合中有序的元䋤对,并且它的范 围包含在同一个集合中。这一基本观察被編入以下定义。
定义 2.1。让 $G$ 是一个集合。任何功能,
, whosedomainis $\$ G \times G$ \$isabinaryoperationon $\$ G \$$ fandonlyiftherangeof
是一个子集 $G$. 什么时候
isabinaryoperationon $\$ G \$$, wesaythat $\$ G$ sclosedunder
. 我们表示图像 $(a, b)$ 在下面*作为 $a * b$. 我们写 $\langle G, *\rangle$ 表示 * 是对的二元运算 $G$ ,我们说 $\langle G, *\rangle$ 是二进制结构。

. 我们表示图像 $(a, b)$ 在下面 $*$ 作为 $a * b$. 我们写 $\langle G, \rangle$ 表示 $$ 是对的二元运算 $G$ ,我们说 $\langle G, *\rangle$ 是二进制姞构。
尽管二元运算只是一个特定的函数,但最好还是复习一下有关函数的术语以及它们如何应用于此定义。如果需要,请阅渎附录 $A$ 中的 A.2节以复习相关术语。 $\frac{a}{b} * \frac{c}{d}=\frac{a}{b} / \frac{c}{d}$, 则此规则末定义时 $c=0$, 因为末定义被零除。
(2) 同样,如果 $*$ 是对集合的二元运算 $G$ ,那 $/$ 元䋤 $a * b$ 必须为每对元表明确定义 $a, b \in G$. 例如,如果我们让 $G=\mathbb{Q}$ 并定义 $\frac{a}{b} * \frac{c}{d}=a+c$ ,那么这个规则没有明确定义,因为 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{2}{4}$ 代表相同的数字,但 $\frac{a}{b} * \frac{1}{2}=a+1 ,$ 和 $\frac{a}{b} * \frac{2}{4}=a+2$ ,它们总 是不同的。
在旁边。学生们常常无法理解这个例子的重要性。每当集合中的对象具有不止一种描述或形式时,总会出现定义良好的函数问题。 验证二元运算的标准方法*定义明确的是取集合中对象的两种等价形式,并证明结果不依赖于对象的形式。处理有理数的函数经常 属于这一类,因为每个有理数都陏无限多个等价的小数形式。因此,要检龺一个函数 $f$ 在这种情况下是明确定义的,您需要假设 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ 并证明 $f\left(\frac{a}{b}\right)=f\left(\frac{c}{d}\right)$.

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当一镸 $G$ 很小,一种定义二元运算的方法*在 $G$ 是列出所有可能的组合 $a * b$ 对于元素 $a, b \in G$. 最方便的方法是建立一个表,表中
的条目表示将二元运算应用于两个元表的结果。具体来说,我们创建一个二进制表来定义集合上的二进制操作
$G=\backslash$ left{a_l, \Idots, a_n right $}$ 以下列方式:
1) 编写元責 $G$ 在一列中,然后按照与在该列中相同的顺序将它们写在顶部的一行中。
2) 填写相应的 $n^2$ 条目中只有一个元綘 $G$.
3) 定义元莍 $a_i * a_j$ 成为 $i^{\text {th }}$ 行和 ${ }^{\text {th }}$ 柱子。
也很容易验证您的表给出的规则是否定义明确且在任何地方都陏定义。毕竟只要每一个entry都至少填充了一个元䋤 $G ,$ 然后 $a * b$ 到处都有定义; 只要你不放一个以上的元䋤 $G$ 在任何条目中,那么您的规则定义明确。
练习2.9。让 $G=a, b, c$ 假设我们定义一个二元运算 $G$ 与下表:
(所以,例如, $c * a=a$.)
(1) 计算 $a * b, b * a, b * b, \quad(a * c) * b, \quad a *(c * b), \quad c *(c * c)$ ,和 $(c * c) * c$.
(2) 确定运算是可交换的、结合的、两者都不是,还是两者都是。
确实没有关于二进制表的理论,但有一些有用的观䕓结果。首先,因为你可以把任何 $n$ 要点 $G$ 进入任何一个 $n^2$ 条目,共有 $n^{n^2}$ 构造
二元运算的可能方法 $G$. 其次,检龺二进制表的操作是否可交换很容易: 沿“主对角线”反映该表并与原始表进行比较。如果它们相
同,那么这是一个交换㨐作; 否则,您将至少有一对元䋘 $a_i, a_j$ 伩样 $a_i * a_j \neq a_j * a_i$.
另一方面,结合性从来都不容易通过查看表格来检龺。那是因为检龺关联性涉及按顺序使用表格。这也意味着验证
$(a * b) * c=a *(b * c)$ 对于所有的选择 $a, b, c \in G$ ,这意味着你有 $n^3$ 要比较的不同对的三元组。手工操作太乏味了;如果您
需要知道您的操作是否具有关联性, 那么计算机几乎是必不可少的。

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。