Category: Convex optimization

如果你也在 怎样代写凸优化Convex optimization 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。凸优化Convex optimization凸优化是数学优化的一个子领域，研究的是凸集上凸函数最小化的问题。许多类凸优化问题允许采用多项式时间算法，而数学优化一般来说是NP-hard。

凸优化Convex optimization是数学优化的一个子领域，研究的是凸集上凸函数最小化的问题。许多类别的凸优化问题允许采用多项式时间算法，而数学优化一般来说是NP困难的。凸优化在许多学科中都有应用，如自动控制系统、估计和信号处理、通信和网络、电子电路设计、数据分析和建模、金融、统计（最佳实验设计）、和结构优化，其中近似概念被证明是有效的。

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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Uniformly Convex Functions

In this section, we will often use the cubic power function
$$
d_3(x)=\frac{1}{3}\left|x-x_0\right|^3, \quad \nabla d_3(x)=\left|x-x_0\right| \cdot B\left(x-x_0\right), \quad x \in \mathbb{E} .
$$
This is the simplest example of the uniformly convex function. In order to understand their properties, we need to develop some theory.

Let the function $d(\cdot)$ be differentiable on a closed convex set $Q$. We call it uniformly convex on $Q$ of degree $p \geq 2$ if there exists a constant $\sigma_p=\sigma_p(d)>0$ such that $^1$
$$
d(y) \geq d(x)+\langle\nabla d(x), y-x\rangle+\frac{1}{p} \sigma_p|y-x|^p, \quad \forall x, y \in Q .
$$
The constant $\sigma_p$ is called the parameter of uniform convexity of this function. By adding such a function to an arbitrary convex function, we get a uniformly convex function of the same degree and with the same value of parameter. Recall that degree $p=2$ corresponds to strongly convex functions (see (2.1.20)). In our old notation, the parameter $\mu$ of strong convexity for the function $f$ corresponds to $\sigma_2(f)$.
Note that any uniformly convex function grows faster than any linear function. Therefore, its level sets are always bounded. This implies that any minimization problem with uniformly convex objective is always solvable provided that its feasible set is nonempty. Moreover, its solution is always unique.
Adding two copies of inequality (4.2.10) with $x$ and $y$ interchanged, we get
$$
\langle\nabla d(x)-\nabla d(y), x-y\rangle \geq \frac{2}{p} \sigma_p|x-y|^p, \quad \forall x, y \in Q .
$$
It appears that this condition is sufficient for uniform convexity (however, for $p>2$ the convexity parameter is changing).

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Cubic Regularization of Newton Iteration

Consider the following minimization problem:
$$
\min _{x \in \mathbb{E}} f(x)
$$
where $\mathbb{E}$ is a finite-dimension real vector space, and $f$ is a twice differentiable convex function with Lipschitz-continuous Hessian. As was shown in Sect. 4.1, the global rate of convergence of the Cubic Newton Method (CNM) on this problem class is of the order $O\left(\frac{1}{k^2}\right)$, where $k$ is the iteration counter (see Theorem 4.1.4). However, note that $\mathrm{CNM}$ is a local one-step second-order method. From the complexity theory of smooth Convex Optimization, it is known that the rate of convergence of the local one-step first-order method (this is just the Gradient Method, see Theorem 2.1.14) can be improved from $O\left(\frac{1}{k}\right)$ to $O\left(\frac{1}{k^2}\right)$ by applying a multi-step strategy (see, for example, Theorem 2.2.3). In this section we show that a similar trick also works with CNM. As a result, we get a new method, which converges on the specified problem class as $O\left(\frac{1}{k^3}\right)$.

Let us recall the most important properties of cubic regularization of Newton’s method, taking into account the convexity of the objective function.
As suggested in Sect. 4.1, we introduce the following mapping:
$$
T_M(x) \stackrel{\text { def }}{=} \operatorname{Arg} \min {y \in \mathbb{E}}\left[\hat{f}_M(x ; y) \stackrel{\text { def }}{=} f_2(x ; y)+\frac{M}{6}|y-x|^3\right] . $$ Note that $T=T_M(x)$ is a unique solution of the following equation $$ \nabla f(x)+\nabla^2 f(x)(T-x)+\frac{1}{2} M \cdot|T-x| \cdot B(T-x)=0 $$ Define $r_M(x)=\left|x-T_M(x)\right|$. Then, $$ \begin{aligned} |\nabla f(T)|* & \stackrel{(4.2 .25)}{=}\left|\nabla f(T)-\nabla f(x)-\nabla^2 f(x)(T-x)-\frac{M}{2} r_M(x) B(T-x)\right|_* \
& \stackrel{(4.2 .8)}{\leq} \frac{L_3+M}{2} r_M^2(x)
\end{aligned}
$$
Further, multiplying (4.2.25) by $T-x$, we obtain
$$
\langle\nabla f(x), x-T\rangle=\left\langle\nabla^2 f(x)(T-x), T-x\right\rangle+\frac{1}{2} M r_M^3(x)
$$

凸优化代写

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Uniformly Convex Functions

在本节中，我们将经常使用三次募函数
$$
d_3(x)=\frac{1}{3}\left|x-x_0\right|^3, \quad \nabla d_3(x)=\left|x-x_0\right| \cdot B\left(x-x_0\right), \quad x \in \mathbb{E} .
$$
这是一致凸函数的最简单示例。为了理解它们的特性，我们需要发展一些理论。
让函数 $d(\cdot)$ 在闭凸集上可微 $Q$. 我们称它为一致凸的 $Q$ 学位 $p \geq 2$ 如果存在常数 $\sigma_p=\sigma_p(d)>0$ 这样 ${ }^1$
$$
d(y) \geq d(x)+\langle\nabla d(x), y-x\rangle+\frac{1}{p} \sigma_p|y-x|^p, \quad \forall x, y \in Q .
$$
常量 $\sigma_p$ 称为该函数的一致凸性参数。通过将这样的函数添加到任意凸函数，我们得到相同次数和相同参数值的 一致凸函数。回忆那个学位 $p=2$ 对应于强凸函数（见 (2.1.20) ) 。在我们的旧符号中，参数 $\mu$ 函数的强凸性 $f$ 对应于 $\sigma_2(f)$.
请注意，任何一致凸函数比任何线性函数增长得都快。因此，它的水平集总是有界的。这意味着任何具有一致 凸目标的最小化问题总是可解的，只要它的可行集是非空的。而且，它的解总是唯一的。
添加两个不等式 (4.2.10) 与 $x$ 和 $y$ 互换，我们得到
$$
\langle\nabla d(x)-\nabla d(y), x-y\rangle \geq \frac{2}{p} \sigma_p|x-y|^p, \quad \forall x, y \in Q .
$$
看起来这个条件对于均匀凸性是足够的 (但是，对于 $p>2$ 凸性参数正在改变)。

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Cubic Regularization of Newton Iteration

考虑以下最小化问题：
$$
\min {x \in \mathbb{E}} f(x) $$ 在哪里止是有限维实向量空间，并且 $f$ 是具有 Lipschitz 连续 Hessian 矩阵的二次可微凸函数。如节所示。 4.1、三次牛顿法 (CNM) 在该问题坣上的全局收敛速度为 $O\left(\frac{1}{k^2}\right)$ ，在哪里 $k$ 是迭代计数器（见定理 4.1.4) 。但是，请注意 $\mathrm{CNM}$ 是局部一步二阶方法。从平滑凸优化的复杂性理论可知，局部一步一阶法（这只 是梯度法，见定理2.1.14) 的收敛速度可以提高为 $O\left(\frac{1}{k}\right)$ 到 $O\left(\frac{1}{k^2}\right)$ 通过应用多步策略 (例如，参见定理 2.2.3) 。在本节中，我们将展示类似的技巧也适用于 $\mathrm{CNM}{\text {。 }}$ 结果，我们得到了一种新方法，它收敛于指定的 问题类，如下所示 $O\left(\frac{1}{k^3}\right)$.
让我们回顾一下牛顿法三次正则化的最重要性质，同时考虑到目标函数的凸性。 正如 Sect 中所建议的那样。4.1、我们引入如下映射:
$$
T_M(x) \stackrel{\text { def }}{=} \operatorname{Arg} \min y \in \mathbb{E}\left[\hat{f}M(x ; y) \stackrel{\text { def }}{=} f_2(x ; y)+\frac{M}{6}|y-x|^3\right] . $$ 注意 $T=T_M(x)$ 是下列方程的唯一解 $$ \nabla f(x)+\nabla^2 f(x)(T-x)+\frac{1}{2} M \cdot|T-x| \cdot B(T-x)=0 $$ 定义 $r_M(x)=\left|x-T_M(x)\right|$ 然后， $$ |\nabla f(T)| * \stackrel{(4.2 .25)}{=}\left|\nabla f(T)-\nabla f(x)-\nabla^2 f(x)(T-x)-\frac{M}{2} r_M(x) B(T-x)\right|* \stackrel{(4.2 .8)}{\leq} \frac{L_3+M}{2} r_M^2(x)
$$
此外，将 (4.2.25) 乘以 $T-x$ ，我们获得
$$
\langle\nabla f(x), x-T\rangle=\left\langle\nabla^2 f(x)(T-x), T-x\right\rangle+\frac{1}{2} M r_M^3(x)
$$

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Star-Convex Functions

Let us start from a definition.
Definition 4.1.1 We call the function $f$ star-convex if its set of global minimums $X^$ is not empty and for any $x^ \in X^$ and any $x \in \mathbb{R}^n$ we have $$ f\left(\alpha x^+(1-\alpha) x\right) \leq \alpha f\left(x^*\right)+(1-\alpha) f(x) \quad \forall x \in \mathscr{F}, \forall \alpha \in[0,1]
$$
A particular example of a star-convex function is a usual convex function. However, in general star-convex function need not to be convex, even in the scalar case. For instance, $f(x)=|x|\left(1-e^{-|x|}\right), x \in \mathbb{R}$, is star-convex, but not convex. Star-convex functions arise quite often in optimization problems related to sum of squares. For example the function $f(x, y)=x^2 y^2+x^2+y^2$ with $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ belongs to this class.

Theorem 4.1.4 Assume that the objective function in the problem (4.1.14) is starconvex, and the set $\mathscr{F}$ is bounded: diam $\mathscr{F}=D<\infty$. Let the sequence $\left{x_k\right}$ be generated by method (4.1.16).

1. If $f\left(x_0\right)-f^* \geq \frac{3}{2} L D^3$, then $f\left(x_1\right)-f^* \leq \frac{1}{2} L D^3$.
2. If $f\left(x_0\right)-f^* \leq \frac{3}{2} L D^3$, then the rate of convergence of process (4.1.16) is as follows:
   $$
   f\left(x_k\right)-f\left(x^\right) \leq \frac{3 L D^3}{2\left(1+\frac{1}{3} k\right)^2}, \quad k \geq 0 $$ Proof Indeed, in view of inequality (4.1.11) the upper bound on the parameters $M_k$, and definition (4.1.25), for any $k \geq 0$ we have: $$ \begin{aligned} & f\left(x_{k+1}\right)-f\left(x^\right) \leq \min y[ f(y)-f\left(x^\right)+\frac{L}{2}\left|y-x_k\right|^3: \ &\left.y=\alpha x^+(1-\alpha) x_k, \alpha \in[0,1]\right] \
   & \leq \min {\alpha \in[0,1]}[ f\left(x_k\right)-f\left(x^\right) \ &\left.-\alpha\left(f\left(x_k\right)-f\left(x^\right)\right)+\frac{L}{2} \alpha^3\left|x^-x_k\right|^3\right] \ & \leq \min _{\alpha \in[0,1]}\left[f\left(x_k\right)-f\left(x^\right)-\alpha\left(f\left(x_k\right)-f\left(x^*\right)\right)+\frac{L}{2} \alpha^3 D^3\right] .
   \end{aligned}
   $$

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Gradient-Dominated Functions

Let us now look at another interesting class of nonconvex functions.
Definition 4.1.3 A function $f(\cdot)$ is called gradient dominated of degree $p \in[1,2]$ if it attains a global minimum at some point $x^$ and for any $x \in \mathscr{F}$ we have $$ f(x)-f\left(x^\right) \leq \tau_f|\nabla f(x)|^p
$$
where $\tau_f$ is a positive constant. The parameter $p$ is called the degree of domination.
We do not assume here that the global minimum of function $f$ is unique. Let us give several examples of gradient dominated functions.

Example 4.1.1 (Convex Functions) Let $f$ be convex on $\mathbb{R}^n$. Assume it achieves its minimum at point $x^$. Then, for any $x \in \mathbb{R}^n$ with $\left|x-x^\right|<R$, we have
$$
f(x)-f\left(x^\right) \stackrel{(2.1 .2)}{\leq}\left\langle\nabla f(x), x-x^\right\rangle \leq|\nabla f(x)| \cdot R
$$
Thus, the function $f$ is a gradient dominated function of degree one on the set $\mathscr{F}=\left{x:\left|x-x^*\right|<R\right}$ with $\tau_f=R$.

Example 4.1.2 (Strongly Convex Functions) Let $f$ be differentiable and strongly convex on $\mathbb{R}^n$. This means that there exists a constant $\mu>0$ such that
$$
f(y) \stackrel{(2.1 .20)}{\geq} f(x)+\langle\nabla f(x), y-x\rangle+\frac{1}{2} \mu|y-x|^2
$$
for all $x, y \in \mathbb{R}^n$. Then, minimizing both sides of this inequality in $y$, we obtain,
$$
f(x)-f\left(x^\right) \leq \frac{1}{2 \mu}|\nabla f(x)|^2 \quad \forall x \in \mathbb{R}^n $$ Thus, $f$ is a gradient dominated function of degree two on the set $\mathscr{F}=\mathbb{R}^n$ with $\tau_f=\frac{1}{2 \mu}$ Example 4.1.3 (Sum of Squares) Consider a system of non-linear equations: $$ g(x)=0 $$ where $g(x)=\left(g_1(x), \ldots, g_m(x)\right)^T: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ is a differentiable vector function. We assume that $m \leq n$ and that there exists a solution $x^$ to (4.1.33). Let us assume in addition that the Jacobian
$$
J^T(x)=\left(\nabla g_1(x), \ldots, \nabla g_m(x)\right)
$$
is uniformly non-degenerate on a certain convex set $\mathscr{F}$ containing $x^*$. This means that the value
$$
\sigma \equiv \inf {x \in \mathscr{F}} \lambda{\min }\left(J(x) J^T(x)\right)
$$
is positive. Consider the function
$$
f(x)=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^m g_i^2(x)
$$

凸优化代写

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Star-Convex Functions

让我们从一个定义开始。
$$
f\left(\alpha x^{+}(1-\alpha) x\right) \leq \alpha f\left(x^*\right)+(1-\alpha) f(x) \quad \forall x \in \mathscr{F}, \forall \alpha \in[0,1]
$$
星-凸函数的一个特殊例子是通常的凸函数。然而，通常星凸函数不需要是凸的，即使在标量情兄下也是如此。例如，
$f(x)=|x|\left(1-e^{-|x|}\right), x \in \mathbb{R}$ ，是星凸的，但不是凸的。星凸函数经常出现在与平方和相关的优化问题中。例如函数
$f(x, y)=x^2 y^2+x^2+y^2$ 和 $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ 属于这一类。
生成。

1. 如果 $f\left(x_0\right)-f^* \geq \frac{3}{2} L D^3$ ，然后 $f\left(x_1\right)-f^* \leq \frac{1}{2} L D^3$.
2. 如果 $f\left(x_0\right)-f^* \leq \frac{3}{2} L D^3$ ，则过程 (4.1.16) 的收玫速度如下:
   $f \backslash$ feft $\left(x_{-} k \backslash\right.$ right)-f $\backslash$ left( $(x \wedge \backslash$ right) $\backslash$ leq $\backslash$ frac ${3 L D \wedge 3}{2 \backslash$ left(1+|frac ${1}{3} k \backslash$ right) $\wedge 2}, \mid$ quad $k \backslash$ Igeq 0
   证明事实上，鉴于不等式 (4.1.11) 参数的上界 $M_k$, 和定义 (4.1.25), 对于任何 $k \geq 0$ 我们有:

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现在让我们看看另一类有趣的非凸函数。
$$
f(x)-f \backslash \text { left }(x \wedge \backslash r i g h t) \backslash \text { leq } \backslash \text { tau_f } f \backslash \text { nabla } f(x) \mid \wedge p
$$
在哪里 $\tau_f$ 是正常数。参数 $p$ 称为支配度。
我们这里不假设函数的全局最小值 $f$ 是独特的。让我们举几个梯度主导函数的例子。
例 4.1.1 (凸函数) 令 $f$ 凸出 $\mathbb{R}^n$. 假设它在点达到最小值 $\times \wedge$. 那么，对于任何 $x \in \mathbb{R}^n$ 和 $\backslash$ 左 $\mid \times \times \wedge \backslash$ 右|0$ 这样
$$
f(y) \stackrel{(2.1 .20)}{\geq} f(x)+\langle\nabla f(x), y-x\rangle+\frac{1}{2} \mu|y-x|^2
$$
对全部 $x, y \in \mathbb{R}^n$. 然后，最小化这个不等式的两边 $y$ ，我们获得，
$$
f(x) \text {-f \left } ( x \wedge \backslash r i g h t ) \backslash \text { leq } \backslash \text { frac } { 1 } { 2 \backslash m u } | \backslash \text { nabla } f ( x ) | \wedge 2 \backslash q u a d \backslash \text { forall } x \backslash \text { in } \backslash m a t h b b { R } \wedge n}
$$
因此， $f$ 是集合上二次的梯度主导函数 $\mathscr{F}=\mathbb{R}^n$ 和 $\tau_f=\frac{1}{2 \mu}$ 示例 4.1.3 (平方和) 考虑一个非线性方程组:
$$
g(x)=0
$$
让我们另外假设雅可比矩阵
$$
J^T(x)=\left(\nabla g_1(x), \ldots, \nabla g_m(x)\right)
$$
在某个凸集上一致非退化 $\mathscr{F}$ 含有 $x^*$. 这意味着价值
$$
\sigma \equiv \inf x \in \mathscr{F} \lambda \min \left(J(x) J^T(x)\right)
$$
是积极的。考虞函数
$$
f(x)=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^m g_i^2(x)
$$

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什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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凸优化Convex optimization是数学优化的一个子领域，研究的是凸集上凸函数最小化的问题。许多类别的凸优化问题允许采用多项式时间算法，而数学优化一般来说是NP困难的。凸优化在许多学科中都有应用，如自动控制系统、估计和信号处理、通信和网络、电子电路设计、数据分析和建模、金融、统计（最佳实验设计）、和结构优化，其中近似概念被证明是有效的。

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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Nonsmooth Models of the Objective Function

In the previous section, we looked at several methods for solving the following problem:
$$
\min _{x \in Q} f(x)
$$
where $f$ is a Lipschitz continuous convex function and $Q$ is a closed convex set. We have seen that the optimal method for problem (3.3.1) is the Subgradient Method (3.2.14), (3.2.16). Note that this conclusion is valid for the whole class of Lipschitz continuous functions. However, if we are going to minimize a particular function from this class, we can expect that it will not be as bad as in the worst case. We usually can hope that the actual performance of the minimization methods can be much better than the worst-case theoretical bound. Unfortunately, as far as the Subgradient Method is concerned, these expectations are too optimistic. The scheme of the Subgradient Method is very strict and in general it cannot converge faster than in theory. It can also be shown that the Ellipsoid Method (3.2.53) inherits this drawback of subgradient schemes. In practice it works more or less in accordance with its theoretical bound even when it is applied to a very simple function like $|x|^2$.

In this section, we will discuss algorithmic schemes which are more flexible than the Subgradient Method and Ellipsoid Method. These schemes are based on the notion of a nonsmooth model of a convex objective function.
Definition 3.3.1 Let $X=\left{x_k\right}_{k=0}^{\infty}$ be a sequence of points in $Q$. Define
$$
\hat{f}k(X ; x)=\max {0 \leq i \leq k}\left[f\left(x_i\right)+\left\langle g\left(x_i\right), x-x_i\right\rangle\right]
$$
where $g\left(x_i\right)$ are some subgradients of $f$ at $x_i$. The function $\hat{f}_k(X ; \cdot)$ is called a nonsmooth model of the convex function $f$.

Note that $f_k(X ; \cdot)$ is a piece-wise linear function. In view of inequality (3.1.23), we always have
$$
f(x) \geq \hat{f}k(X ; x) $$ for all $x \in \mathbb{R}^n$. However, at all test points $x_i, 0 \leq i \leq k$, we have $$ f\left(x_i\right)=\hat{f}_k\left(X ; x_i\right), \quad g\left(x_i\right) \in \partial \hat{f}_k\left(X ; x_i\right) . $$ Moreover, the next model is always better than the previous one: $$ \hat{f}{k+1}(X ; x) \geq \hat{f}_k(X ; x)
$$
for all $x \in \mathbb{R}^n$.

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Kelley’s Method

The model $\hat{f}_k(X ; \cdot)$ represents complete information on the function $f$ accumulated after $k$ calls of the oracle. Therefore, it seems natural to develop a minimization scheme, based on this object. Perhaps, the most natural method of this type is as follows.
Kelley’s Method

Choose $x_0 \in Q$.

$k$ th iteration $(k \geq 0)$. Find $x_{k+1} \in \operatorname{Arg} \min _{x \in Q} \hat{f}_k(X ; x)$.

Intuitively, this scheme looks very attractive. Even the presence of a complicated auxiliary problem is not too disturbing, since for polyhedral $Q$ it can be solved by linear optimization methods in finite time. However, it turns out that this method cannot be recommended for practical applications. The main reason for this is its instability. Note that the solution of the auxiliary problem in method (3.3.2) may be not unique. Moreover, the whole set $\operatorname{Arg} \min {x \in Q} \hat{f}_k(X ; x)$ can be unstable with respect to an arbitrary small variation of data $\left{f\left(x_i\right), g\left(x_i\right)\right}$. This feature results in unstable practical behavior of the scheme. At the same time, it can be used to construct an example of a problem for which method (3.3.2) has a very disappointing lower complexity bound. Example 3.3.1 Consider the problem (3.3.1) with $$ \begin{gathered} f(y, x)=\max \left{|y|,|x|^2\right}, \quad y \in \mathbb{R}, x \in \mathbb{R}^n, \ Q=\left{z=(y, x): y^2+|x|^2 \leq 1\right} \end{gathered} $$ where the norm is standard Euclidean. Thus, the solution of this problem is $z^=$ $\left(y^, x^\right)=(0,0)$, and the optimal value $f^=0$. Denote by $Z_k^=\operatorname{Arg} \min {z \in Q} \hat{f}_k(Z ; z)$ the optimal set of model $\hat{f}_k(Z ; z)$ and let $\hat{f}_k^=\hat{f}_k\left(Z_k^*\right)$ be the optimal value of the model.

Let us choose $z_0=(1,0)$. Then the initial model of the function $f$ is $\hat{f}_0(Z ; z)=$ $y$. Therefore, the first point, generated by Kelley’s method, is $z_1=(-1,0)$. Hence, the next model of the function $f$ is as follows:
$$
\hat{f}_1(Z ; z)=\max {y,-y}=|y|
$$

凸优化代写

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Nonsmooth Models of the Objective Function

在上一节中，我们研究了解决以下问题的几种方法：
$$
\min _{x \in Q} f(x)
$$
在哪里 $f$ 是 Lipschitz 连续凸函数，并且 $Q$ 是闭凸集。我们已经看到问题（3.3.1）的最优方法是次梯度法（3.2.14），（3.2.16）。 请注意，此结论适用于整类 Lipschitz 连续函数。但是，如果我们要最小化此类中的某个特定函数，我们可以预期它不会像最坏的 情况那样糟糕。我们通常希望最小化方法的实际性能比最坏情况下的理论界限好得多。不幸的是，就 Subgradient Method 而 言，这些期望过于乐观。Subgradient Method 的方案非常严格，一般来说它不能比理论收玫得面快。还可以证明椭圆体方法 (3.2.53) 继承了次梯度方案的这个缺点。 $|x|^2$.
在本节中，我们将讨论比次梯度法和椭球法更灵活的算法方穼。这些方案基于凸目标函数的非光滑模型的概念。 定义 3.3.1 诀 $\mathrm{x}=\backslash$ left $\left{\mathrm{x} _k \backslash\right.$ right $} _{\mathrm{k}=0} \wedge{\backslash i n f t y}$ 是点序列 $Q$. 定义
$$
\hat{f} k(X ; x)=\max 0 \leq i \leq k\left[f\left(x_i\right)+\left\langle g\left(x_i\right), x-x_i\right\rangle\right]
$$
在哪里 $g\left(x_i\right)$ 是一些子梯度 $f$ 在 $x_i$. 功能 $\hat{f}_k(X ; \cdot)$ 称为凸函数的非光滑模型 $f$.
注意 $f_k(X ; \cdot)$ 是分段线性函数。䇺于不等式 (3.1.23)，我们总是有
$$
f(x) \geq \hat{f} k(X ; x)
$$
对全部 $x \in \mathbb{R}^n$. 然而，在所有测试点 $x_i, 0 \leq i \leq k$ ，我们有
$$
f\left(x_i\right)=\hat{f}_k\left(X ; x_i\right), \quad g\left(x_i\right) \in \partial \hat{f}_k\left(X ; x_i\right) .
$$
此外，下一个模型总是比前一个模型电好:
$$
\hat{f} k+1(X ; x) \geq \hat{f}_k(X ; x)
$$
对全部 $x \in \mathbb{R}^n$.

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Kelley’s Method

该模型 $\hat{f}k(X ; \cdot)$ 表示函数的完整信息 $f$ 異积后 $k$ 神谕的召唤。因此，基于此对象开发最小化方案似乎很自然。也许，这种棠型最自 然的方法如下。 凯利法 选择 $x_0 \in Q$. $k$ 第次迭代 $(k \geq 0)$. 寻找 $x{k+1} \in \operatorname{Arg} \min {x \in Q} \hat{f}_k(X ; x)$. 直觉上，这个方案看起来很有吸引力。即使存在晵杂的辅助问题也不会太令人不安，因为对于多面体 $Q$ 可以在有限时间内用线性优 化方法求解。然而，事实证明这种方法不能推荐用于实际应用。造成这种情况的主要原因是它的不稳定性。请注意，方法 (3.3.2) 中的辅助问题的解可能不是唯一的。而且，整套Arg $\min x \in Q \hat{f}_k(X ; x)$ 对于数据的任意小变化可能是不稳定的 方法 (3.3.2) 的复杂度下界非常令人失望。示例 3.3.1 考虑问题 (3.3.1) $Z{\bar{k}} \operatorname{Arg} \min z \in Q \hat{f}_k(Z ; z)$ 最佳模型集 $\hat{f}_k(Z ; z)$ 然后让 $\hat{f}_k^{=} \hat{f}_k\left(Z_k^*\right)$ 是模型的最优值。
让我们选择 $z_0=(1,0)$. 然后是函数的初始模型 $f$ 是 $\hat{f}_0(Z ; z)=y$. 因此，由 Kelley 方法生成的第一个点是 $z_1=(-1,0)$. 因 此，函数的下一个模型 $f$ 如下:
$$
\hat{f}_1(Z ; z)=\max y,-y=|y|
$$

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

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凸优化Convex optimization是数学优化的一个子领域，研究的是凸集上凸函数最小化的问题。许多类别的凸优化问题允许采用多项式时间算法，而数学优化一般来说是NP困难的。凸优化在许多学科中都有应用，如自动控制系统、估计和信号处理、通信和网络、电子电路设计、数据分析和建模、金融、统计（最佳实验设计）、和结构优化，其中近似概念被证明是有效的。

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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Operations with Convex Functions

In the previous section, we have seen several examples of convex functions. Let us describe a set of invariant operations which allow us to create more complicated objects.

Theorem 3.1.5 Let functions $f_1$ and $f_2$ be closed and convex on convex sets $Q_1$ and $Q_2$, and $\beta \geq 0$. Then all functions below are closed and convex on the corresponding sets $Q$ :

1. $f(x)=\beta f_1(x), Q=Q_1$.
2. $f(x)=f_1(x)+f_2(x), Q=Q_1 \cap Q_2 \cdot{ }^1$
3. $f(x)=\max \left{f_1(x), f_2(x)\right}, Q=Q_1 \bigcap Q_2$.
   Proof
4. The first item is evident:
   $$
   f\left(\alpha x_1+(1-\alpha) x_2\right) \leq \beta\left(\alpha f_1\left(x_1\right)+(1-\alpha) f_1\left(x_2\right)\right), \quad x_1, x_2 \in Q_1
   $$
5. For all $x_1, x_2 \in Q=Q_1 \bigcap Q_2$ and $\alpha \in[0,1]$ we have
   $$
   \begin{aligned}
   & f_1\left(\alpha x_1+(1-\alpha) x_2\right)+f_2\left(\alpha x_1+(1-\alpha) x_2\right) \
   & \leq \alpha f_1\left(x_1\right)+(1-\alpha) f_1\left(x_2\right)+\alpha f_2\left(x_1\right)+(1-\alpha) f_2\left(x_2\right) \
   & =\alpha\left(f_1\left(x_1\right)+f_2\left(x_1\right)\right)+(1-\alpha)\left(f_1\left(x_2\right)+f_2\left(x_2\right)\right)
   \end{aligned}
   $$

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Separation Theorems

Up to now, we have looked at the properties of convex functions in terms of function values. We have not yet introduce any directions, which could be used by minimization schemes. In Convex Analysis, such directions are defined by separation theorems, which are presented in this section.
Definition 3.1.4 Let $Q$ be a convex set. We say that the hyperplane
$$
\mathscr{H}(g, \gamma)=\left{x \in \mathbb{R}^n \mid\langle g, x\rangle=\gamma\right}, \quad g \neq 0,
$$

is supporting to $Q$ if any $x \in Q$ satisfies inequality $\langle g, x\rangle \leq \gamma$. The hyperplane $\mathscr{H}(g, \gamma) \nsupseteq Q$ separates a point $x_0$ from $Q$ if
$$
\langle g, x\rangle \leq \gamma \leq\left\langle g, x_0\right\rangle
$$
for all $x \in Q$. If one of the inequalities in (3.1.19) is strict, the we call the separation strong.

In a similar way, we define separability of convex sets. Two sets $Q_1$ and $Q_2$ are called separable if there exist $g \in \mathbb{R}^n, g \neq 0$, and $\gamma \in \mathbb{R}$ such that
$$
\langle g, x\rangle \leq \gamma \leq\langle g, y\rangle \quad \forall x \in Q_1, y \in Q_2
$$

凸优化代写

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Operations with Convex Functions

在上一节中，我们看到了几个凸函数的例子。让我们描述一组不变的操作，它们允许我们创建更复杂 的对象。
定理 3.1.5 Let 函数 $f_1$ 和 $f_2$ 在凸集上是闭凸的 $Q_1$ 和 $Q_2$ ，和 $\beta \geq 0$. 那么下面的所有函数在对应的集 合上都是闭凸的 $Q$ :

1. $f(x)=\beta f_1(x), Q=Q_1$.
2. $f(x)=f_1(x)+f_2(x), Q=Q_1 \cap Q_2 \cdot{ }^1$
   3.\1eft 缺少或无法识别的分隔符 证明
3. 第一项很明显:
   $$
   f\left(\alpha x_1+(1-\alpha) x_2\right) \leq \beta\left(\alpha f_1\left(x_1\right)+(1-\alpha) f_1\left(x_2\right)\right), \quad x_1, x_2 \in Q_1
   $$
4. 对全部 $x_1, x_2 \in Q=Q_1 \cap Q_2$ 和 $\alpha \in[0,1]$ 我们有
   $$
   f_1\left(\alpha x_1+(1-\alpha) x_2\right)+f_2\left(\alpha x_1+(1-\alpha) x_2\right) \quad \leq \alpha f_1\left(x_1\right)+(1-\alpha) f_1\left(x_2\right)+\alpha f_2\left(x_1\right)+(1-\alpha) f_2\left(x_2\right)
   $$

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Separation Theorems

到目前为止，我们已经从函数值的角度研究了凸函数的性质。我们还没有介绍任何可以被最小化方案 使用的方向。在凸分析中，此类方向由本节介绍的分离定理定义。
定义 3.1.4 让 $Q$ 是一个凸集。我们说超平面
\eft 缺少或无法识别的分隔符
正在支持 $Q$ 如果有的话 $x \in Q$ 满足不等式 $\langle g, x\rangle \leq \gamma$. 超平面 $\mathscr{H}(g, \gamma) \nsupseteq Q$ 分隔一个点 $x_0$ 从 $Q$ 如果 $\langle g, x\rangle \leq \gamma \leq\left\langle g, x_0\right\rangle$
对全部 $x \in Q$. 如果 (3.1.19) 中的一个不等式是严格的，我们称分离为强。
以类似的方式，我们定义凸集的可分离性。两套 $Q_1$ 和 $Q_2$ 如果存在则称为可分离的 $g \in \mathbb{R}^n, g \neq 0$ ， 和 $\gamma \in \mathbb{R}$ 这样
$$
\langle g, x\rangle \leq \gamma \leq\langle g, y\rangle \quad \forall x \in Q_1, y \in Q_2
$$

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微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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凸优化Convex optimization是数学优化的一个子领域，研究的是凸集上凸函数最小化的问题。许多类别的凸优化问题允许采用多项式时间算法，而数学优化一般来说是NP困难的。凸优化在许多学科中都有应用，如自动控制系统、估计和信号处理、通信和网络、电子电路设计、数据分析和建模、金融、统计（最佳实验设计）、和结构优化，其中近似概念被证明是有效的。

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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|The Gradient Mapping

As compared with the unconstrained problem, in the constrained minimization problem (2.2.38), the gradient of the objective function should be treated differently. In the previous section, we have already seen that its role in optimality conditions is changing. Moreover, we can no longer use it for the gradient step since the result may be infeasible. If we look at the main properties of the gradient, which are useful for functions from the class $\mathscr{F}_L^{1,1}\left(\mathbb{R}^n\right)$, we can see that two of them are of the highest importance. The first is that the step along the direction of the anti-gradient decreases the function value by an amount comparable with the squared norm of the gradient:
$$
f\left(x-\frac{1}{L} \nabla f(x)\right) \leq f(x)-\frac{1}{2 L}|\nabla f(x)|^2 .
$$
The second is the inequality
$$
\left\langle\nabla f(x), x-x^*\right\rangle \geq \frac{1}{L}|\nabla f(x)|^2
$$

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Minimization over Simple Sets

Let us show that we can use the gradient mapping to solve the following problem:
$$
\min {x \in Q} f(x) $$ where $f \in \mathscr{S}{\mu, L}^{1,1}(Q)$ and $Q$ is a closed convex set. We assume that the set $Q$ is simple enough, so the gradient mapping can be computed by a closed form expression. This assumption is valid for some simple sets like positive orthants, $n$ dimensional boxes, simplexes, Euclidean balls, and some others.
Let us start with the Gradient Method.
Gradient Method for Simple Set

0. Choose a starting point $x_0 \in Q$ and a parameter $\gamma>0$.
   $(2.2 .60)$
1. $k$ th iteration $(k \geq 0)$.
   $$
   x_{k+1}=x_k-\frac{1}{\gamma} g_Q\left(x_k ; \gamma\right)
   $$

凸优化代写

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|The Gradient Mapping

与无约束问题相比，在约束最小化问题 (2.2.38) 中，目标函数的梯度应该区别对待。在上一节中， 我们已经看到它在最优条件中的作用正在发生变化。此外，我们不能再将其用于梯度步骄，因为结果 可能不可行。如果我们看一下梯度的主要属性，这些属性对类中的函数很有用 $\mathscr{F}_L^{1,1}\left(\mathbb{R}^n\right)$ ，我们可 以看到其中两个是最重要的。第一个是沿着反梯度方向的步瑝将函数值减小了与梯度的平方范数相当 的量:
$$
f\left(x-\frac{1}{L} \nabla f(x)\right) \leq f(x)-\frac{1}{2 L}|\nabla f(x)|^2 .
$$
第二个是不平等
$$
\left\langle\nabla f(x), x-x^*\right\rangle \geq \frac{1}{L}|\nabla f(x)|^2
$$

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Minimization over Simple Sets

让我们证明我们可以使用梯度映射来解决以下问题:
$$
\min x \in Q f(x)
$$
在哪里 $f \in \mathscr{S} \mu, L^{1,1}(Q)$ 和 $Q$ 是闭凸集。我们假设集合 $Q$ 足够简单，所以梯度映射可以通过一个封 闭形式的表达式来计算。这个假设对于一些简单的集合是有效的，比如 positive orthants， $n$ 维 盒、单纯形、欧几里得球等等。
让我们从梯度法开始。
简单集的梯度法

0. 选择起点 $x_0 \in Q$ 和一个参数 $\gamma>0$.
   $(2.2 .60)$
1. $k$ 第次迭代 $(k \geq 0)$.
   $$
   x_{k+1}=x_k-\frac{1}{\gamma} g_Q\left(x_k ; \gamma\right)
   $$

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。

微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Lagrangian Relaxation

This approach is based on the following fundamental Minimax Principle.

Theorem 1.3.1 Let the function $F(x, \lambda)$ be defined for $x \in Q_1 \subseteq \mathbb{R}^n$ and $\lambda \in$ $Q_2 \subseteq \mathbb{R}^m$, where both $Q_1$ and $Q_2$ are nonempty. Then,
$$
\sup {\lambda \in Q_2} \inf {x \in Q_1} F(x, \lambda) \leq \inf {x \in Q_1} \sup {\lambda \in Q_2} F(x, \lambda) .
$$
Proof Indeed, for arbitrary $x \in Q_1$ and $\lambda \in Q_2$, we have
$$
F(x, \lambda) \leq \sup {\xi \in Q_2} F(x, \xi) . $$ Since this inequality is valid for all $x \in Q_1$, we conclude that $$ \inf {x \in Q_1} F(x, \lambda) \leq \inf {x \in Q_1} \sup {\xi \in Q_2} F(x, \xi) .
$$

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Penalty Functions

Definition 1.3.1 A continuous function $\Phi(\cdot)$ is called a penalty function for a closed set $\mathscr{F} \subset \mathbb{R}^n$ if

$\Phi(x)=0$ for any $x \in \mathscr{F}$,

$\Phi(x)>0$ for any $x \notin \mathscr{F}$.
Sometimes, a penalty function is called just a penalty for the set $\mathscr{F}$. The main property of penalty functions is as follows.
If $\Phi_1(\cdot)$ is a penalty for $\mathscr{F}_1$ and $\Phi_2(\cdot)$ is a penalty for $\mathscr{F}_2$, then $\Phi_1(\cdot)+\Phi_2(\cdot)$ is a penalty for the intersection $\mathscr{F}_1 \cap \mathscr{F}_2$.

凸优化代写

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Lagrangian Relaxation

这种方法基于以下基本的极小极大原则。
定理 1.3.1 让函数 $F(x, \lambda)$ 被定义为 $x \in Q_1 \subseteq \mathbb{R}^n$ 和 $\lambda \in Q_2 \subseteq \mathbb{R}^m$ ，其中两者 $Q_1$ 和 $Q_2$ 是非空的。 然居，
$$
\sup \lambda \in Q_2 \inf x \in Q_1 F(x, \lambda) \leq \inf x \in Q_1 \sup \lambda \in Q_2 F(x, \lambda)
$$
证明确实，对于任意 $x \in Q_1$ 和 $\lambda \in Q_2$ ，我们有
$$
F(x, \lambda) \leq \sup \xi \in Q_2 F(x, \xi)
$$
因为这个不等式对所有人都有效 $x \in Q_1$ ，我们得出结论
$$
\inf x \in Q_1 F(x, \lambda) \leq \inf x \in Q_1 \sup \xi \in Q_2 F(x, \xi)
$$

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Penalty Functions

定义 1.3 .1 连续函数 $\Phi(\cdot)$ 称为闭集的罚函数 $\mathscr{F} \subset \mathbb{R}^n$ 如果
$\Phi(x)=0$ 对于任何 $x \in \mathscr{F}$ ，
$\Phi(x)>0$ 对于任何 $x \notin \mathscr{F}$.
有时，惩罚函数被称为集合的惩罚 $\mathscr{F}$. 惩罚函数的主要性质如下。
如果 $\Phi_1(\cdot)$ 是对的惩罚 $\mathscr{F}_1$ 和 $\Phi_2(\cdot)$ 是对的惩罚 $\mathscr{F}_2$ ，然后 $\Phi_1(\cdot)+\Phi_2(\cdot)$ 是交叉路口的惩罚 $\mathscr{F}_1 \cap \mathscr{F}_2$

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

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线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|ǫ-risk

$\mathbf{2}^o$. $\epsilon$-risk. In Proposition 4.16, we are speaking about $|\cdot|$-risk of an estimate – the maximal, over signals $x \in \mathcal{X}$, expected norm $|\cdot|$ of the error of recovering $B x$; what we need to prove is that the minimax optimal risk $\operatorname{RiskOpt}{\Pi,|\cdot|}[\mathcal{X}]$ as given by (4.53) can be lower-bounded by a quantity “of order of” Opt. To this end, of course, it suffices to build such a lower bound for the quantity $$ \operatorname{RiskOpt}{|\cdot|}:=\inf {\widehat{x}(\cdot)}\left[\sup {x \in \mathcal{X}} \mathbf{E}{\xi \sim \mathcal{N}\left(0, Q\right)}{|B x-\widehat{x}(A x+\xi)|}\right], $$ since this quantity is a lower bound on $\operatorname{RiskOpt}{\Pi,|\cdot| \cdot}$. Technically, it is more convenient to work with the $\epsilon$-risk defined in terms of “|. $|$-confidence intervals” rather than in terms of the expected norm of the error. Specifically, in the sequel we will heavily use the minimax $\epsilon$-risk defined as $$ \operatorname{RiskOpt}\epsilon=\inf {\widehat{x}, \rho}\left{\rho: \operatorname{Prob}{\xi \sim \mathcal{N}\left(0, Q_\right)}{|B x-\widehat{x}(A x+\xi)|>\rho} \leq \epsilon \forall x \in \mathcal{X}\right},
$$
where $\widehat{x}$ in the infimum runs through the set of all Borel estimates. When $\epsilon \in(0,1)$ is once and forever fixed (in the sequel, we use $\epsilon=\frac{1}{8}$ ) we can use $\epsilon$-risk to lowerbound $\operatorname{RiskOpt}{|\cdot|}$, since by evident reasons $$ \operatorname{RiskOpt}{|\cdot|} \geq \epsilon \cdot \operatorname{RiskOpt}_\epsilon
$$

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Let H be an m × ν matrix

Let $H$ be an $m \times \nu$ matrix. Applying Lemma 4.17 to $N=m, Y=\bar{H}, Q=Q_$, we get from $(4.59)$ $$ \operatorname{Prob}{\xi \sim \mathcal{N}\left(0, Q\right)}\left{\left|\bar{H}^T \xi\right| \geq[4 \varkappa]^{-1} \bar{\Psi}(\bar{H})\right} \geq \beta_{\varkappa} \forall \varkappa \geq 1
$$
where $\bar{\Psi}(H)$ is defined by (4.156). Similarly, applying Lemma 4.17 to $N=n$, $Y=\left(B-\bar{H}^T A\right)^T, Q=W$, we obtain
$$
\operatorname{Prob}{\eta \sim \mathcal{N}(0, W)}\left{\left|\left(B-\bar{H}^T A\right) \eta\right| \geq[4 \varkappa]^{-1} \bar{\Phi}(W, \bar{H})\right} \geq \beta{\varkappa} \forall \kappa \geq 1
$$
where
$$
\begin{aligned}
\bar{\Phi}(W, H)= & \min {\Upsilon=\left{\Upsilon{\ell}, \ell \leq L\right}, \Theta}\left{\operatorname{Tr}(W \Theta)+\phi_{\mathcal{R}}(\lambda[\Upsilon]): \Upsilon_{\ell} \succeq 0 \forall \ell\right. \
& {\left.\left[\begin{array}{c|c}
\Theta & \frac{1}{2}\left[B^T-A^T H\right] M \
\hline \frac{1}{2} M^T\left[B-H^T A\right] & \sum_{\ell} \mathcal{S}{\ell}^*\left[\Upsilon{\ell}\right]
\end{array}\right] \succeq 0\right} . }
\end{aligned}
$$

凸优化代写

数学代写|优代代写Convex Optimization代考|0-risk

$2^o . \epsilon$-风险。在命题 4.16 中，我们谈到||·|-估计的风险一一最大的信号 $x \in \mathcal{X}$, 预期范数|·|恢复的错 误 $B x$; 我们需要证明的是极小极大最优风险RiskOpt $\Pi,|\cdot|[\mathcal{X}]$ 如 (4.53) 给出的，可以下限为 “Opt.”的数量“顺序”。为此，当然，为数量建立这样一个下界就足够了
$$
\operatorname{RiskOpt}|\cdot|:=\inf \widehat{x}(\cdot)[\sup x \in \mathcal{X} \mathbf{E} \xi \sim \mathcal{N}(0, Q)|B x-\widehat{x}(A x+\xi)|],
$$
因为这个数量是下限RiskOpt $\Pi,|\cdot| \cdot$ 从技术上讲，使用 $\epsilon$ – 根据“”定义的风险。 $\mid$-置信区间”，而 不是根据误差的预期范数。具体来说，在续集中我们将大量使用 minimax $\epsilon$-风险定义为
\left 缺少或无法识别的分隔符
在哪里 $\widehat{x}$ infimum 贯穿所有 Borel 估计的集合。什么时候 $\epsilon \in(0,1)$ 是永远固定的（在续集中，我们 使用 $\epsilon=\frac{1}{8}$ ) 我们可以用 $\epsilon-$ 下限风险 $R i s k O p t|\cdot|$ ，因为有明显的原因
$$
\operatorname{RiskOpt}|\cdot| \geq \epsilon \cdot \operatorname{RiskOpt}_\epsilon
$$

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Let $\mathrm{H}$ be an $\mathrm{m}$ $x \mathrm{v}$ matrix

让 $H$ 豆 $m \times \nu$ 矩阵。将引理 4.17 应用于缺少上标或下标参数 , 我们从 $(4.59)$
、left 缺少或无法识别的分隔符
在哪里 $\bar{\Psi}(H)$ 由 (4.156) 定义。类似地，将引理 4.17 应用于 $N=n$ ， $Y=\left(B-\bar{H}^T A\right)^T, Q=W$, 我们获得
\left 缺少或无法识别的分隔符
在哪里
\left 缺少或无法识别的分隔符

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。

微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

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微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。